树以及二叉树的介绍

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  前言

之前我们学习了顺序表和链表，然后用他们分别实现了两种特殊的线性表栈和队列，今天我们再来看一种新的数据结构：树

树

树的概念

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

下图就是一颗树（画的不是很对称，强迫症勿怪）🙏

注意：树形结构中子树之间不能有交集，不然就不能称作树

树的相关概念

让我们来看看上面一颗树，各个节点之间的相互关系是什么

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为3

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：J,F,K,L,H,I等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：B,C,D…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为3

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、G互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示方法

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

对于这样一颗树，我们可以使用下面的方式来存储它

二叉树

二叉树的概念

二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树

通俗易懂的讲，就是一颗树，最多只能有两个分叉 （这是我自己的看法，哪儿说的不对，还请大佬指正）。

二叉树的五种形态

1. 空二叉树：

   

2. 只有一个根节点的二叉树：

   

3. 只有左子树：

   

4. 只有右子树：

   

5. 完全二叉树：

特殊的二叉树

1. . 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2 k −1 2^k - 12k−1。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K

   的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对

   应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2 ( i−1) 2^(i-1)2(i−1)个结点。
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2 h −1 2^h - 12h−1。
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n 0 n_0n0​ , 度为2的分支结点个数为 n 2 n_2n2​ ,则有 n 0 = n 2 +1 n_0 = n_2 + 1n0​=n2​+1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log ⁡2 (n+1) \log_2(n + 1)log2​(n+1)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2; i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1；否则，无左孩子
   3. . 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2；否则，无右孩子

结语

欢迎各位参考与指导！！！博主最近在冲击C/C++领域新人，拜托大家帮忙点赞收藏一下❤️

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