网站导航
> 文档中心 > 【Java---数据结构】二叉树（理论篇）

【Java---数据结构】二叉树（理论篇）

网友: 文档中心 2022-04-12 21:06:45

目录

一、树型结构

🍓树的概念

🍓树的特点：

🍓关于树的术语解释

⭐结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度

⭐树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度

⭐叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点

⭐双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点

⭐孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点

⭐兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点

⭐堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟

⭐结点的层次：从根开始定义，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

⭐树的高度：树中结点的最大层次

⭐根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点

⭐非终端结点或分支结点：度不为0的结点

⭐结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点

⭐结点的子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙

⭐森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

🍓树的表示形式

二、二叉树

🍓 二叉树的概念

🍓两种特殊的二叉树

🍓二叉树的性质

🍓有关二叉树性质的练习

一、树型结构

🍓树的概念

  • 树是一种非线性的数据结构，它是由 n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
  • 当n=0时，表示该树是一棵空树。
  • 当n>0时，表示该树不是空树。

🍓树的特点：

  • 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
  • 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合{T1、T2、......、Tm}，其中每一个集合 Ti (1 <= i<= m) 又是一棵与树类似的子树。
  • 除根结点外，每个结点有且只有一个前驱结点。
  • 树中的每个结点可以有0个或多个后继结点。
  • 树是递归定义的。

💥注意：树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

  • 一棵树的子树是不交互的
  • 除了根节点外，每个结点有且仅有一个父结点
  • 一棵 N 个结点的树有 N-1 条边

🍓关于树的术语解释

⭐结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度

⭐树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度

⭐叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点

⭐双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点

⭐孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点

⭐兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点

⭐堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟

⭐结点的层次：从根开始定义，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

⭐树的高度：树中结点的最大层次

⭐根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点

⭐非终端结点或分支结点：度不为0的结点

⭐结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点

⭐结点的子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙

⭐森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

🍓树的表示形式

  • 树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。

🌊孩子兄弟表示法：

class Node {    int value; // 树中存储的数据    Node firstChild; // 第一个孩子引用    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用}

✨树的应用：最常见的就是电脑中的文件系统管理（目录和文件）。

二、二叉树

🍓 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

  • 或者为空
  • 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

  • 二叉树不存在度大于2的结点
  • 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

💥注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

🍓两种特殊的二叉树

满二叉树:

  • 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为k，且结点总数是 \tiny 2^{k}-1，则它就是满二叉树。满二叉树，除叶子结点外其他所有结点的度均为2。

完全二叉树:

  • 完全二叉树是由满二叉树而引出来的。从根结点开始，每个非空结点按照层次依次递增，每层从左至右的顺序排列的二叉树，称为完全二叉树。换个说法，完全二叉树实际上是对应的满二叉树删除叶结点层最右边若干个结点得到的。 

✨满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

🍓二叉树的性质

⭐性质1：若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 \large 2^{i-1} (i>0)个结点

⭐性质2：若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为k的二叉树的最大结点数是\large 2^{k-1} (k>=0)

⭐性质3：对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为n0，度为2的非叶结点个数为n2，则有n0＝n2＋1

🌌公式推导：

⭐性质4：具有n个结点的完全二叉树的高度k为 \large log_{2}(n+1){\color{Red}上取整

⭐性质5：对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

  • 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
  • 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
  • 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

🍓有关二叉树性质的练习

📔某二叉树共有 399 个结点, 其中有 199 个度为 2 的结点, 则该二叉树中的叶子结点数为（B ）

  • A 不存在这样的二叉树
  • B 200
  • C 198
  • D 199

解析：叶子结点个数 = 度为2的结点个数 + 1 = 199 + 1 = 200

📔在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ A ）

  • A n
  • B n+1
  • C n-1
  • D n/2

解析：

📔一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（ B ）

  • A 383
  • B 384
  • C 385
  • D 386

解析：

📔一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ B ）

  • A 11
  • B 10
  • C 8
  • D 12

解析：

郁金香导航

网络标签：

相关问题