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深入浅出理解【树与二叉树】

网友: 文档中心 2022-04-26 07:18:40

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在之前的文章里，我们学习的一直是一对一的线性结构，可现实中，还有很多一对多的情况需要处理，所以我们需要研究这样一种一对多的数据结构 ——“树”

目录

🌺树

🍁树的定义

🍁树的名词解释

🌺树的表示

🍁树的存储结构

🌺二叉树的概念及结构

🍁二叉树的概念

🍁二叉树的性质

🍁二叉树的存储结构

🍀顺序存储结构

🍀链式存储结构

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🌺树

🍁树的定义

Q：什么是树

A：树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

Q：树有什么特点

  1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
  2. 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
  3. 树是递归定义的

对于树的定义还需要强调两点：

  • 当n>0时，根结点是唯一的，不可能存在多个根结点。数据结构中的树是只能有一个根结点。
  • 当m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。像下图中的结构就不符合树的定义，因为它们都有相交的子树。

🍁树的名词解释

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为3
叶节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：I,G,K,G,L,M节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：B、D、C、E、F等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为3
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m棵互不相交的树的集合称为森林

🌺树的表示

🍁树的存储结构

说到存储结构，自然就会想到我们前面讲过的顺序存储和链式存储两种结构。

顺序存储结构：树中某个结点的孩子可以有多个，若将树中所有结点存储到数组中，结点的存储位置无法直接反应其逻辑关系，因此：简单的顺序存储结构是不能满足树的实现要求的

链式存储结构：链式存储结构的特点，完全可以实现对树的存储结构的表示。

表示方式：实际中树有很多种表示方式， 如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

💬代码演示

typedef int DataType;struct Node{    struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点    struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点    DataType _data; // 结点中的数据域};

📖图像演示

🌺二叉树的概念及结构

🍁二叉树的概念

Q：什么是二叉树

A：二叉树是 n 个结点的有限集合。该集合或者为空集(空二叉树)或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

Q：二叉树有什么特点

  1. 每个结点最多有两棵子树，二叉树不存在度大于2的结点。
  2. 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
  3. 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分左子树还是右子树。

Q：二叉树有什么基本形式

  1. 空二叉树
  2. 只有一个根节点
  3. 根节点只有左子树
  4. 根节点只有右子树
  5. 根节点既有左子树又有右子树

Q：特殊的二叉树有哪些

        （1）满二叉树：在一颗二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

               

 

        （2）完全二叉树：对于一颗具有 n 个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则称这棵二叉树为完全二叉树。满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 

 

 

🍁二叉树的性质

性质一：在二叉树的第 i 层上至多有2^(i-1) 个结点。

性质二：深度为 k 的二叉树至多有2^(k)-1个结点。

性质三：对任何一棵二叉树, 如果度为0，其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2 + 1。

性质四：具有 n 个结点的完全二叉树的深度为log_{2}n-1

性质五：对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于任意结点 i 有：

  1. 如果 i=1，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i>1，则其双亲是结点 1/2
  2. 如果 2i>n，则结点 i无左孩子；否则其左孩子是结点2i
  3. 如果 2i<n，则结点 i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

🍁二叉树的存储结构

🍀顺序存储结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树。因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。 

🍀链式存储结构

二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它分配一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表。结点结构如图：

💬代码演示

typedef int BTDataType;struct BinaryTreeNode{    struct BinTreeNode* _pLeft;// 指向当前节点左孩子    struct BinTreeNode* _pRight;      // 指向当前节点右孩子    BTDataType _data;   // 当前节点值域}

 

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