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这里是目录

• TOP.堆排序前言
• 一、向下调整堆排序
• • 1.向下调整建堆
  • • 建堆的技巧
    • 建堆思路代码
  • 2.向下调整排序
  • • 调整思路
    • 排序整体代码
  • 3.时间复杂度(难点)
  • • 向下建堆O(N)
    • 向下调整(N*LogN)
• 二、向上调整堆排序
• • 1.向上调整建堆
  • 2.建堆代码

TOP.堆排序前言

什么是堆排序？假如给你下面的代码让你完善堆排序，你会怎么写？你会怎么排？

void HeapSort(int* a, int n){}int main(){int arr[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 };int sz = sizeof(arr) / sizoef(arr[0]);HeapSort(arr, sz);return 0;}

堆排序就是利用堆这个数据结构，对一组数据进行排序。
所以说，堆排序整体分两步完成。
第一步，建堆
第二步，进行排序

注意：以下代码针对的是对一组 数据 排升序

一、向下调整堆排序

对的，向下调整方法，是最优秀的堆排序。
不是太想介绍那种向上调整拉胯的堆排序，我们经常用的是这种优秀的向下排序。
二者区别在于建堆的方法不同。一个是向下建堆O(N)，一个是向上建堆O(N*logN)。

具体证明用到了高中 简单的数列公式。

1.向下调整建堆

建堆的技巧

向下建堆也有两种情况。
1.建大堆
2.建小堆
那么到底建大堆还是小堆呢？

解释：建堆在于你是想要排升序，还是排降序。假如建的大堆，因为堆顶的数是最大的，在我们对堆 向下调整排序时，这时候每次都需要把最大的交换到堆底。所以导致最后堆的顺序是升序。

建大堆前

建大堆后
向下调整排序后
此时数组就有序了。

结论：实质是在数组上建堆。排升序建大堆，排降序建小堆。

建堆思路代码

思路：
因为叶子结点本身就是一个大堆，所以从最后一个叶子结点的父亲结点开始进行向下建堆。这样就能够保证每次建的堆都是大堆。

注意：
1.注意循环结束条件，和if语句里的边界问题child + 1 < n
2.注意完全二叉树父子关系公式

#include //交换void swap(int* x, int* y){int t = 0;t = *x;*x = *y;*y = t;}//向下调整void AdjustDown(int* a, int n, int root){int parent = root;int child = parent * 2 + 1;while (child  < n){//每次调整都需要从左右两边选出孩子最大的那个//假设坐孩子较大，选出左右孩子大的那个if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]){++child;}//开始调整。if (a[child] > a[parent]){swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}//不满足就跳出，开始下次for循环调整。else{break;}}}void HeapSort(int* a, int n){//向下调整建堆int i = 0;for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}}int main(){int arr[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 };int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);HeapSort(arr, sz);return 0;}

2.向下调整排序

调整思路

1.从堆底依次 和 堆顶的数据进行交换。
2.对交换后的 堆顶的值 进行向下调整。向下调整时请无视交换到堆底那个最大的值。
3.继续循环第一步和第二步，直到到正数第二个数结束。

排序整体代码

void swap(int* x, int* y){int t = 0;t = *x;*x = *y;*y = t;}void AdjustDown(int* a, int n, int root){int parent = root;int child = parent * 2 + 1;while (child  < n){//每次调整都需要从左右两边选出孩子最大的那个//假设坐孩子较大，选出左右孩子大的那个if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]){++child;}//开始调整。if (a[child] > a[parent]){swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}//不满足就跳出，开始下次for循环调整。else{break;}}}void HeapSort(int* a, int n){//向下调整建堆int i = 0;for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}//向下调整排序int end = 0;for (end = n-1; end > 0; end--){swap(&a[0], &a[end]);//向下调整时无视最大的那个值，所以end是n-1。AdjustDown(a, end, 0);}}int main(){int arr[] = { 4,2,7,8,5,1,0,6 };int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);HeapSort(arr, sz);return 0;}

3.时间复杂度(难点)

向下建堆O(N)

//向下调整建堆int i = 0;for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}

很多人的误区在于他的时间复杂度是N*Log₂N。这是错误的。
时间复杂度的计算是看思想，而不是看循环猜测。
当是满二叉树，在最坏的情况下，除了最后一层，上面所有层都需要进行向下调整。
最坏情况下的调整次数 = 每层数据个数 * 向下调整次数

第一层向下调整次数是h-1，节点个数是2^1-1
第二层向下调整次数是h-2, 节点个数是2^2-1
第h-1层向下调整次数是1,节点个数是2^h-1-1

所以总的调整次数为n：
n = 2⁰*(h-1) + 2¹ *(h-2)+… + 2^h-1-1 *(1)
根据高中错位相减得到
n = 1−h+2¹+2²+…+2^h−2+2^h−1
由等比数列前n项和得到
n = 2^h−h−1
由二叉树性质N=2^h−1和 h = log₂(N+1) 得到
n=N−log2​(N+1)
大O渐进表示法为n= O(N)

向下调整(N*LogN)

需要向下调整n-1次。每次需要调整的高度为LogN，N为节点的个数，因为节点个数每次少一个。

所以n-1次调整总次数 = log2+log3+…+log(n-1)+log(n)≈log(n!)
由数学知识得log(n!)和nlog(n)是同阶函数。

所以向下调整排序时间复杂度为N*LogN
所以堆排序时间复杂度为：N + N*LogN
大O渐进表示法为:O(N*LogN)
总结：堆排序时间复杂度 O(N*LogN)

二、向上调整堆排序

向上调整排序和向下调整排序的唯一不同在于建堆的不同，导致二者的建堆的时间复杂度略微不同。

1.向上调整建堆

向上调整建堆时间复杂度为N*LogN.
具体原因还需要经过残酷的数学计算。孩子不会啊。但是经过网上查阅资料我又找到了计算方法。如图。

根据二叉树的性质：h = Log₂(N+1)
可以将T(h) = 2^h * (h-2) + 2换为：
所以总体来说就是向上调整的建堆时间复杂度为O(N * LogN).

2.建堆代码

思路：从第二个元素开始，只关注前两个元素建堆，然后再依次增加元素建堆，使它一直为堆。

向上调整建堆虽然时间复杂度略高，但是代码相对于向下调整简单一点点。

void AdjustUp(int* a, int child){//先把父亲节点表示出来。int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){//比较孩子和父亲，开始向上调整。if (a[child] > a[parent]){swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}