图及图的遍历
图基本介绍
为什么要有图
- 前面我们学了线性表和树
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要表示多对多的关系时, 这里我们就用到了图。
图的举例说明
图是一种数据结构,其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为
顶点。如图:
图的常用概念
- 顶点(vertex) 2) 边(edge) 3) 路径 4) 无向图(右图
- 有向图 6) 带权图
图的表示方式
图的表示方式有两种:二维数组表示(邻接矩阵);链表表示(邻接表)。
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵,对于 n 个顶点的图而言,矩阵是的 row和 col 表示的是 1…n个点。
邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间,其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边,不关心不存在的边。因此没有空间浪费,邻接表由数组+链表组成
- 举例说明
图的快速入门案例
- 要求: 代码实现如下图结构.
- 思路分析
(1) 存储顶点 String 使用 ArrayList
(2) 保存矩阵 int[][] edges - 代码实现
核心代码,汇总在后面
图的深度优先遍历介绍
图遍历介绍
所谓图的遍历,即是对结点的访问。一个图有那么多个结点,如何遍历这些结点,需要特定策略,一般有两种
访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历
深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
- 深度优先遍历,从初始访问结点出发,初始访问结点可能有多个邻接结点,深度优先遍历的策略就是首先访问 第一个邻接结点,然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点, 可以这样理解: 每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接点。
- 我们可以看到,这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入,而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
- 显然,深度优先搜索是一个递归的过程
深度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点 v,并标记结点 v 为已访问。
- 查找结点 v 的第一个邻接结点w。
- 若w存在,则继续执行 4,如果w不存在,则回到第 1 步,将从 v 的下一个结点继续。
- 若w未被访问,对w进行深度优先遍历递归(即把w当做另一个 v,然后进行步骤 123)。
- 查找结点 v 的w邻接结点的下一个邻接结点,转到步骤 3。
- 分析图
深度优先算法的代码实现
核心代码 //深度优先遍历算法 // i 第一次就是 0 public void dfs(boolean[] isVisited, int i) { //首先我们访问该结点,输出 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); //将结点设置为已经访问 isVisited[i] = true; //查找结点 i 的第一个邻接结点w int w = getFirstNeighbor(i); while (w != -1) {//说明有 if (!isVisited[w]) { dfs(isVisited, w); } //如果w结点已经被访问过 w = getNextNeighbor(i, w); } }
图的广度优先遍历
广度优先遍历基本思想
- 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
- 类似于一个分层搜索的过程,广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序,以便按这个顺序来 访问这些结点的邻接结点
广度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
- 结点 v 入队列
- 当队列非空时,继续执行,否则算法结束。
- 出队列,取得队头结点 u。
- 查找结点 u 的第一个邻接结点w。
- 若结点 u 的邻接结点w不存在,则转到步骤 3;否则循环执行以下三个步骤:
6.1 若结点w尚未被访问,则访问结点w并标记为已访问。
6.2 结点w入队列
6.3 查找结点 u 的继w邻接结点后的下一个邻接结点w,转到步骤 6。
广度优先算法的图示
广度优先算法的代码实现
核心代码 //对一个结点进行广度优先遍历的方法 public void bfs(boolean[] isVisited, int i) { int u; // 表示队列的头结点对应下标 int w; // 邻接结点w //队列,记录结点访问的顺序 LinkedList queue = new LinkedList(); //访问结点,输出结点信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); //标记为已访问 isVisited[i] = true; //将结点加入队列 queue.addLast(i); while (!queue.isEmpty()) { //取出队列的头结点下标 u = (Integer) queue.removeFirst(); //得到第一个邻接结点的下标 w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1) {//找到 //是否访问过 if (!isVisited[w]) { //是否访问过 isVisited[w] = true; System.out.print(getValueByIndex(w) + "->"); //入队 queue.addLast(w); } //以 u 为前驱点,找w后面的下一个邻结点 w = getNextNeighbor(u, w); } } }
图的代码汇总
package com.iflytek.graph;import java.util.ArrayList;import java.util.Arrays;import java.util.LinkedList;public class Graph { //存储顶点集合 private ArrayList<String> vertexList; //存储图对应的邻结矩阵 private int[][] edges; //表示边的数目 private int numOfEdge; //定义给数组 boolean[], 记录某个结点是否被访问 private boolean[] isVisited; public static void main(String[] args) { //测试一把图是否创建 ok int n = 5;//结点的个数 String vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"}; //创建图对象 Graph graph = new Graph(n); //循环添加节点 for (String vertex : vertexs) { graph.insertVertex(vertex); } //添加边 //A-BA-C B-C B-D B-E graph.insertEdges(0, 1, 1); // A-B graph.insertEdges(0, 2, 1); graph.insertEdges(1, 2, 1); graph.insertEdges(1, 3, 1); graph.insertEdges(1, 4, 1); //更新边的关系// graph.insertEdges(0, 1, 1);// graph.insertEdges(0, 2, 1);// graph.insertEdges(1, 3, 1);// graph.insertEdges(1, 4, 1);// graph.insertEdges(3, 7, 1);// graph.insertEdges(4, 7, 1);// graph.insertEdges(2, 5, 1);// graph.insertEdges(2, 6, 1);// graph.insertEdges(5, 6, 1); //显示一把邻结矩阵 graph.showGraph(); //测试一把,我们的 dfs 遍历是否 ok System.out.println("深度遍历"); graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7] System.out.println(); System.out.println("广度优先!"); graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8] } //构造器 public Graph(int n) { //初始化矩阵和 vertexList edges = new int[n][n]; vertexList = new ArrayList<>(n); numOfEdge = 0; } //得到第一个邻接结点的下标 w /** * @param index * @return 如果存在就返回对应的下标,否则返回-1 */ public int getFirstNeighbor(int index) { for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) { if (edges[index][i] > 0) { return i; } } return -1; } //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点 public int getNextNeighbor(int v1, int v2) { for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) { if (edges[v1][i] > 0) { return i; } } return -1; } //图中常用的方法 // 返回结点的个数 public int getNumOfVertex() { return vertexList.size(); } //显示图对应的矩阵 public void showGraph() { for (int[] edge : edges) { System.err.println(Arrays.toString(edge)); } } //得到边的数目 public int getNumOfEdge() { return numOfEdge; } //返回结点 i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C" public String getValueByIndex(int i) { return vertexList.get(i); } //返回 v1 和 v2 的权值 public int getWeight(int v1, int v2) { return edges[v1][v2]; } //插入结点 public void insertVertex(String vertex) { vertexList.add(vertex); } //添加边 /** * @param v1 表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1 * @param v2 第二个顶点对应的下标 * @param weight 表示权重 */ public void insertEdges(int v1, int v2, int weight) { edges[v1][v2] = weight; edges[v2][v1] = weight; numOfEdge++; } //深度优先遍历算法 // i 第一次就是 0 public void dfs(boolean[] isVisited, int i) { //首先我们访问该结点,输出 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); //将结点设置为已经访问 isVisited[i] = true; //查找结点 i 的第一个邻接结点w int w = getFirstNeighbor(i); while (w != -1) {//说明有 if (!isVisited[w]) { dfs(isVisited, w); } //如果w结点已经被访问过 w = getNextNeighbor(i, w); } } //对 dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点,并进行 dfs public void dfs() { isVisited = new boolean[vertexList.size()]; //遍历所有的结点,进行 dfs[回溯] for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { dfs(isVisited, i); } } } //对一个结点进行广度优先遍历的方法 public void bfs(boolean[] isVisited, int i) { int u; // 表示队列的头结点对应下标 int w; // 邻接结点w //队列,记录结点访问的顺序 LinkedList queue = new LinkedList(); //访问结点,输出结点信息 System.out.print(getValueByIndex(i) + "->"); //标记为已访问 isVisited[i] = true; //将结点加入队列 queue.addLast(i); while (!queue.isEmpty()) { //取出队列的头结点下标 u = (Integer) queue.removeFirst(); //得到第一个邻接结点的下标 w w = getFirstNeighbor(u); while (w != -1) {//找到 //是否访问过 if (!isVisited[w]) { //是否访问过 isVisited[w] = true; System.out.print(getValueByIndex(w) + "->"); //入队 queue.addLast(w); } //以 u 为前驱点,找w后面的下一个邻结点 w = getNextNeighbor(u, w); } } } //遍历所有的结点,都进行广度优先搜索 public void bfs() { isVisited = new boolean[vertexList.size()]; for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) { if (!isVisited[i]) { bfs(isVisited, i); } } }}