文章目录

• 1.树概念及结构
• • 1.1树的概念
  • 1.2 树的相关概念
  • 1.3 树的表示
  • 1.4 树在实际中的运用
• 2.二叉树概念及结构
• • 2.1概念
  • 2.2现实中的二叉树：
  • 2.3 特殊的二叉树：
  • 2.4 二叉树的性质
  • 2.5 二叉树的存储结构

目前在不断更新的知识总结，已经更新完了，未来我会系统地更新等内容。

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<=m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 树的相关概念

节点的度（娃的个数）：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
叶节点或终端节点（丁克）：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
**非终端节点或分支节点 **（有孩子的节点）：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点（亲兄弟）：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6（AEIJPQ）
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
堂兄弟节点（堂兄弟）：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先（AEJQ都是Q的祖先）（自己也是自己的祖先）

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林 （以后讲并查集会讲到）

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法 以及 孩子兄弟表示法等。
我们这里就简单的了解其中最常用的

孩子兄弟表示法 ：一个节点有多少个孩子都无所谓。父亲指向第一个孩子，剩下的孩子，用孩子的兄弟指针链接起来。

typedef int DataType;struct Node{    struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点    struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点    DataType _data; // 结点中的数据域};

1.4 树在实际中的运用

表示文件系统的目录树结构 :本质上运用了孩子兄弟表示法。

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
2. 或者为空

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的

2.2现实中的二叉树：

正常人：这树长得真对称，真标准！
程序员：卧槽，这不是满二叉树吗？

2.3 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2的K次方减1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树的前K-1层是满的，最后一层不满，但最后一层从左往右是连续的。

2.4 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2的（i-1）次方个结点。

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2＋1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，(ps： 是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。

链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链

typedef int BTDataType;// 二叉链struct BinaryTreeNode{    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子    BTDataType _data; // 当前节点值域}// 三叉链struct BinaryTreeNode{    struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子    BTDataType _data; // 当前节点值域}；

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199
2. 下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）
   A 非完全二叉树
   B 堆
   C 队列
   D 栈
3. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
   A n
   B n+1
   C n-1
   D n/2
4. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
   A 11
   B 10
   C 8
   D 12
5. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
   A 383
   B 384
   C 385
   D 386

答案：

1. B（n0 = n2 +1 = 199+1 = 200）规则请见二叉树的性质第三条
2. A
3. A
   正经解法：
   假设度为0 有n0个
   假设度为1 有n1个
   假设度为2 有n2个
   2n = n0+n1+n2 = n0 + n1 + n0-1 = 2*n0 + n1-1
   完全二叉树n1为1或0
   因为这个个数是整数，上面公式要满足，n1只能为1
   解得n0 = n
   取巧解法：
   假设n = 1
   总共2个节点，其中叶子节点只有1个，答案是n
4. B
   
   设高度为h
   最多：2^h-1
   最少：2^(h-1)-1+1（最后一层至少要有1个)
   套个数据进去试
5. B 跟第三题方法一样

这章初步介绍了数和二叉树的概念，以后会经常用到其中的部分概念，概念是一切的基础，概念不清更别提做出题了，大家加油！