从“数字金字塔”说起

观察下面的数字金字塔。写一个程序查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以从当前点走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中，13 -> 8 -> 26 -> 15 -> 24的路径得到的和最大：86。

解题

• 我们要在所有路径中，找到经过数字之和的最大值。每条路径都是可逆的，同一条路径，从上往下和从下往上，得到的数字之和是相同的。
• 如果自上而下枚举的话，到最下面的第 n 行将得到 n 个数字，还需要再打擂台找最大值，多出一个步骤。我们采用自下而上枚举，到第一行就得到唯一的结果。
• 约定用[i][j]表示从第 n 行的某一列出发，到达第 i 行第 j 列的所有路径中数字之和的最大值， 要到达第 i 行第 j 列的位置，只有经过第 i + 1 行第 j 列，或者第 i + 1行第 j + 1列，也就是说
  f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + a[i][j];
• 递推到第 1 行第 1 列时，f[1][1]就是题目所求的最优路径的数字之和

这是完整代码

#include using namespace std;const int N = 1009;int n, a[N][N];int f[N][N];int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++) {for (int j = 1; j <= i; j ++) {cin >> a[i][j];}}for (int i = n; i >= 1; i --) {for (int j = 1; j <= i; j ++) {f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + a[i][j];}}cout << f[1][1];return 0;}

优化

• 回忆一下变量赋值语句a = a + b，是什么意思？它表示先获取变量 a 和变量 b 的值，将它们相加，再赋值给变量 a。注意前后顺序，先获取变量a和b的值，运算后，再赋值给变量a，实现更新变量a的目的。
• 再来观察上面代码的核心语句
  f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + a[i][j];
  将其改成下面这条语句，如何理解？
  f[j] = max(f[j], f[j + 1]) + a[i][j];
  它表示，先获取f[j]和f[j + 1]的值，运算后，再赋值给f[j]，实现更新数组元素f[j]的目的
• 我们在自下而上推算最大数字和的过程中，只关心前一步的数值对目前这一步的影响，而更早步骤得到的数值并没有保存的价值。也就是说，我们不必使用二维数组（实际上，二维数组的每一行可以看做是保存了自下而上每一步的中间结果），用一维数组就够了
• 重新思考这道题，我们先用f[j]表示自下而上走到第 i + 1 行第 j 列的所有路径中数字之和的最大值，用f[j + 1]表示自下而上走到第 i + 1 行第 j + 1 列的所有路径中数字之和的最大值，哪个位置的数值大，就选择从哪个位置向上走到第 i 行第 j 列，加上a[i][j]后，就得到自下而上走到第 i 行第 j 列的所有路径中数字之和的最大值，再将这个最优结果保存在f[j]中，用赋值语句来表示：
  f[j] = max(f[j], f[j + 1]) + a[i][j]
• 递推到第 1 行第 1 列时，f[1]就是题目所求的最优路径的数字之和

优化后的代码，仅使用一维数组，所需空间大大减少

#include using namespace std;const int N = 1009;int n, a[N][N];int f[N];int main() {cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i ++) {for (int j = 1; j <= i; j ++) {cin >> a[i][j];}}for (int i = n; i >= 1; i --) {for (int j = 1; j <= i; j ++) {f[j] = max(f[j], f[j + 1]) + a[i][j];}}cout << f[1];return 0;}

延伸

• 在内循环中，变量 j 从 1 到 i，对应着：
  f[1] = max(f[1], f[2]) + a[i][1];，用f[1]和f[2]更新f[1],
  f[2] = max(f[2], f[3]) + a[i][2];，用f[2]和f[3]更新f[2],
  ......
  每一次更新的 f 数组元素，都不会影响接下来的赋值语句
• 假如内循环中，变量 j 从 i 到 1，对应着：
  ......
f[2] = max(f[2], f[3]) + a[i][2];
f[1] = max(f[1], f[2]) + a[i][1];，新的f[2]被用来更新f[1],
  每一次更新的 f 数组元素，都会影响接下来的赋值语句。显然，这样得到的结果就不对了。
• 结论对我们后面的学习非常有用。在将二维数组压缩到一维数组的时候，循环变量 j 是一维数组 f 的下标，如果赋值语句右边的下标
  – 只出现j + *，循环变量j应该从小到大递增
  – 只出现j - *，循环变量j应该从大到小递增
  – 有的是j + *，有的是j - *，则无法将二维数组压缩到一维数组，因为在循环的过程中，前一次更新的数组元素，都会对后面的赋值语句产生影响