文章目录

• 前言： 排序的概念
• 1. 插入排序
• • 1.1 基本思想：
  • 1.2 1️⃣直接插入排序：
  • 1.3 2️⃣希尔排序( 缩小增量排序)
• 2. 选择排序
• • 2.1基本思想：
  • 2.2 3️⃣直接选择排序:
  • 2.3 4️⃣堆排序
• 3. 交换排序
• • 3.1基本思想：
  • 3.2 5️⃣冒泡排序
  • 3.3 6️⃣快速排序
  • • • 3.3.1 快速排序优化
      • 3.3.2 快速排序非递归
• 4. 7️⃣归并排序
• • 4.1 归并排序非递归
• 5. 非比较排序
• • 5.1 8️⃣计数排序
  • 5.2 9️⃣桶排序
  • 5.3 🔟基数排序
• 总结：排序算法复杂度及稳定性分析

前言： 排序的概念

排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。
稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次
序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排
序算法是稳定的；否则称为不稳定的。
内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。
外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。

常见排序算法的实现（全都以升序为例）

1. 插入排序

1.1 基本思想：

直接插入排序是一种简单的插入排序法，其是基本思想：

把待排序的记录按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录插入完为
止，得到一个新的有序序列 。

实际中我们玩扑克牌时，就用了插入排序的思想，在排序自己手中的扑克牌时经常会这样排。

1.2 1️⃣直接插入排序：

当插入第i(i>=1)个元素时，前面的array[0],array[1],…,array[i-1]已经排好序，此时用array[i]的排序码与
array[i-1],array[i-2],…的排序码顺序进行比较，找到插入位置即将array[i]插入，原来位置上的元素顺序后移

void InsertSort(int* a, int n){for (int i = 0; i < n - 1; i++){int end = i;//单趟排序int tmp = a[end + 1];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){a[end + 1] = a[end];//移开，腾位置end--;}elsebreak;}a[end + 1] = tmp;}}

直接插入排序的特性总结：

1️⃣元素集合越接近有序，直接插入排序算法的时间效率越高

2️⃣时间复杂度：O( N2 N^2 N2)

3️⃣空间复杂度：O(1)

4️⃣ 稳定性：稳定

1.3 2️⃣希尔排序( 缩小增量排序)

希尔排序法又称缩小增量法。希尔排序法的基本思想是：先选定一个整数，把待排序文件中所有记录分成多个
组，所有距离为的记录分在同一组内，并对每一组内的记录进行排序。然后，取不同的gap，重复上述分组和排序的工作。gap>1时在做预排序，当到达gap=1时相当于做直接插入排序，所有记录在统一组内排好序。

void ShellSort(int* a, int n){int gap = n;while (gap > 1){ //gap > 1 预排序 //最后一次gap = 1 直接插入排序gap = gap / 3 + 1;for (int i = 0; i < n - gap; i++){int end = i;int tmp = a[end + gap];while (end >= 0){if (a[end] > tmp){a[end + gap] = a[end];end -= gap;}else{break;}}a[end + gap] = tmp;}}}

希尔排序的特性总结：
1️⃣希尔排序是对直接插入排序的优化。
2️⃣ 当gap > 1时都是预排序，目的是让数组更快接近于有序（跳的快）。

​ 当gap == 1时（相当于直接插入排序），数组已经接近有序的了，这样就会很快。这样整体而言，可以达到优化的效果。我们实现后可以进行性能测试的对比。
3️⃣希尔排序的时间复杂度不好计算，因为gap的取值方法很多，导致很难去计算，因此在好些书中给出的希尔排序的时间复杂度都不固定：

举个🌰：Knuth在所著的《计算机程序设计技巧》第三卷中，利用大量的实验统计资料得出，当n很大时，关键码平均比较次数和对象平均移动次数大概在范围 n1.25 n^{1.25} n1.25到 1.6 ∗n1.25 1.6*n^{1.25} 1.6∗n1.25范围内，这是利用直接插入排序作为子序列排序方法的情况下得到的。

因为咱们的gap是按照Knuth提出的方式取值的，而且Knuth进行了大量的试验统计，我们暂时就按照：O( n 1.25 n^{1.25}n1.25​)到 O( 1.6∗ n 1.25 1.6*n^{1.25}1.6∗n1.25​)来算。

4️⃣稳定性：不稳定（相同的数据可能被分到不同的gap组）

2. 选择排序

2.1基本思想：

每一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完 。

2.2 3️⃣直接选择排序:

在元素集合array[i]–array[n-1]中选择关键码最大(小)的数据元素
若它不是这组元素中的最后一个(第一个)元素，则将它与这组元素中的最后一个（第一个）元素交换
在剩余的array[i]–array[n-2]（array[i+1]–array[n-1]）集合中，重复上述步骤，直到集合剩余1个元素

在这我们写一种优化一点的，我们同时选出最大的和最小的，跟第一个数和最后一个数交换，效率提高了一倍。但也出现了一些问题：

void SelectSort(int* a, int n){int left = 0;int right = n - 1;while (left<right){int mini = left, maxi = left;for (int i = left+1; i <= right; i++){if (a[i] < a[mini]){mini = i;}if (a[i] > a[maxi]){maxi = i;}}Swap(&a[mini], &a[left]);if (maxi == left)//防止掉包（很容易漏，很重要！）{maxi = mini;}Swap(&a[maxi], &a[right]);left++;right--;}}

上面有块看上去莫名其妙的代码，用来防止数据被掉包，我来解释一下，这要防的是以下的情况：

为了解决这个问题，我们把maxi换成mini的位置。就有了上面那几行代码

直接选择排序的特性总结：
1️⃣直接选择排序思考非常好理解，但是效率不是很好。实际中很少使用
2️⃣时间复杂度：O( N2 N^2 N2​)
3️⃣空间复杂度：O(1)
4️⃣稳定性：不稳定（例如：3，3，3，1，1，3。可以保证1稳定，但无法保证3稳定）

2.3 4️⃣堆排序

堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。它是
通过堆来进行选择数据。需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆。想看详细的就去👉手把手教你写“堆排序”

//向下调整void AdjustDown(int* a, size_t size, size_t root){size_t parent = root;size_t child = root * 2 + 1;while (child < size){//选左右孩子中小的孩子if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1]){child++;}//如果孩子小于父亲，则交换，并继续向下调整if (a[parent] < a[child]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}}void HeapSort(int* a, int size){//向下调整，建堆（从倒数第一个非叶子节点开始,也就是最后一个节点的父亲）for (int i = (size - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, size, i);}size_t end = size - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}}

直接选择排序的特性总结：
1️⃣ 堆排序使用堆来选数，效率就高了很多。
2️⃣ 时间复杂度：O($N\ast logN$​​​)
3️⃣ 空间复杂度：O(1)
4️⃣ 稳定性：不稳定（例如：8，8，7，5，4。这里的8不稳定）

3. 交换排序

3.1基本思想：

所谓交换，就是根据序列中两个记录键值的比较结果来对换这两个记录在序列中的位置，交换排序的特点是：将键值较大的记录向序列的尾部移动，键值较小的记录向序列的前部移动。

3.2 5️⃣冒泡排序

冒泡排序，我们的老朋友了。依次比较两个相邻的元素，如果顺序不符合要求，就交换位置。走访元素的工作是重复地进行直到没有相邻元素需要交换，也就是说该元素列已经排序完成。

这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端（升序或降序排列），就如同碳酸饮料中二氧化碳的气泡最终会上浮到顶端一样，故名“冒泡排序”。”

在这里我们加一个exchange来判断待排序数列是否已经有序（不交换就是已经有序了），这样的一定程度上提高效率。

void BubbleSort(int* a, int n){for (int i = 0; i < n; i++){int exchange = 0;//单趟for (int j = 1; j < n - i; j++){if (a[j - 1] > a[j]){exchange = 1;Swap(&a[j - 1], &a[j]);}}if (exchange == 0)//已经有序了break;}}

冒泡排序的特性总结：
1️⃣ 冒泡排序是一种非常容易理解的排序
2️⃣ 时间复杂度：O( N2 N^2 N2​)
3️⃣ 空间复杂度：O(1)
4️⃣ 稳定性：稳定

3.3 6️⃣快速排序

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止

上述为快速排序递归实现的主框架，发现与二叉树前序遍历规则非常像，大家在写递归框架时可想想二叉
树前序遍历规则即可快速写出来，后续只需分析如何按照基准值来对区间中数据进行划分的方式即可。

将区间按照基准值划分为左右两半部分的常见方式有三种：
1️⃣ hoare版本

理解上可能会有的问题：

1. 偶数个数会不会相遇不上？不会，每次都有一边静止，只有一边在移动，一定能追上。

2. （key取左边）相遇位置的值与key交换，那么如何保证相遇位置的值比key小？右边先走就能保证这里要停下来，只有有两种情况：

   • right先停下（停在比key小的地方），left开始走，并且跟right相遇了

   • 或者left先停下（并跟right交换），然后right开始走，right没有找到比key小的，直接跟left相遇了。这两种情况相遇位置的值都比key小

如果key取右边，左边先走才能保证相遇位置的值比key大

//hoareint PartSort1(int* a, int left, int right){int keyi = left;while (left < right){//找小while (left < right && a[keyi] <= a[right]){right--;}//找大while (left < right && a[keyi] >= a[left]){left++;}Swap(&a[left], &a[right]);}//交换（右边先走，能停在比key小的地方）Swap(&a[keyi], &a[left]);return left;}

2️⃣ 挖坑法

挖坑法 VS hoare版本

效率上来说：两者区别不大

挖坑法的优势是：更容易理解！（如果key取左边）很自然的就右边先走，找小，放到左边的坑里······hoare版本理解上更有难度

//挖坑法int PartSort2(int* a, int left, int right){int key = a[left];int pit = left;while (left < right){//找小while (left < right && key <= a[right]){right--;}a[pit] = a[right];pit = right;//找大while (left < right && key >= a[left]){left++;}a[pit] = a[left];pit = left;}a[pit] = key;return pit;}

3️⃣ 前后指针版本

prev和cur之间间隔的值都比key大，所以prev和cur交换才能逐步把大的换到右侧，把小的换到左侧

//前后指针//leftint PartSort3(int* a, int left, int right){int keyi = left;int cur = left + 1;int prev = left;while (cur <= right){if (a[cur] < a[keyi] && a[++prev] != a[cur])//防止自己和自己交换Swap(&a[cur], &a[prev]);cur++;}Swap(&a[prev], &a[keyi]);return prev;}

3.3.1 快速排序优化

1️⃣如果每次选出的key都是最小或最大的会使效率大大降低。例如：1 2 3 4 5 6 这种已经顺序了的，取最左或者最右都会很慢，于是我们想到能否选出一个不是最大也不是最小的数做key。

三数取中法选key

最左，最右，中间三个位置的数进行比较，选出中等大小的那个做key

//选出中等大小数的下标int GetMidIndex(int* a, int left, int right){int mid = left + (right - left) / 2;if (a[left] < a[mid]){if (a[mid] < a[right]){return mid;}else if (a[left] < a[right]){return right;}else{return left;}}else{if (a[right] > a[left]){return left;}else if (a[mid] > a[right]){return mid;}else{return right;}}}int PartSort3(int* a, int left, int right){//三数取中int mid = GetMidIndex(a, left, right);Swap(&a[mid], &a[left]);int keyi = left;int cur = left + 1;int prev = left;while (cur <= right){if (a[cur] < a[keyi] && a[++prev] != a[cur])//防止自己和自己交换Swap(&a[cur], &a[prev]);cur++;}Swap(&a[prev], &a[keyi]);return prev;}

2️⃣快排的结构是类似于二叉树的，二叉树最后几层的数是最多的，排序难度也很低，是否能够不递归到最小区间，中途就运用另一种排序方法返回有序数组给上一层来优化呢？当然是可以的

小区间优化： 递归到小的子区间时，可以考虑使用插入排序 ，减少递归调用

//加小区间优化void QuickSort2(int* a, int begin, int end){// 子区间相等只有一个值或者不存在那么就是递归结束的子问题if (begin >= end)return;if (end - begin + 1 <= 13){InsertSort(a + begin, end - begin + 1);}else{int keyi = PartSort3(a, begin, end);// [begin, keyi-1]keyi[keyi+1, end]QuickSort2(a, begin, keyi - 1);QuickSort2(a, keyi + 1, end);}}

3.3.2 快速排序非递归

栈的代码可以到我之前的博文找 ，当然你如果会C++的话一切就更简单了。

//非递归void QuickSort3(int* a, int begin, int end){ST st;StackInit(&st);StackPush(&st, begin);StackPush(&st, end);//右边处理完了再处理左边while (!StackEmpty(&st)){int right = StackTop(&st);StackPop(&st);int left = StackTop(&st);StackPop(&st);int keyi = PartSort3(a, left, right);//[left,keyi-1][keyi+1,right]if (left < keyi - 1){StackPush(&st, left);StackPush(&st, keyi - 1);}if (keyi + 1 < right){StackPush(&st, keyi + 1);StackPush(&st, right);}}StackDestory(&st);}

快速排序的特性总结：
1️⃣ 快速排序整体的综合性能和使用场景都是比较好的，所以才敢叫快速排序
2️⃣ 时间复杂度：O($N\ast logN$)

3️⃣ 空间复杂度：O($logN$)~O($N$)（最坏情况每次key都取到最大或最小，要递归n层）

4️⃣ 稳定性：不稳定（选key，三数取中，很多因素使它不稳定）

4. 7️⃣归并排序

基本思想：
归并排序（MERGE-SORT）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide and
Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有
序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。 （有微积分那味了）

//有点像前序遍历void _MergeSort(int* a, int begin, int end, int* tmp){//停止条件——只有一个的时候if (begin >= end)return;int mid = begin + (end - begin) / 2;//区间的分割要小心，可能会出现死循环//[begin,mid][mid+1,end]_MergeSort(a, begin, mid, tmp);_MergeSort(a, mid + 1, end, tmp);//归并//printf("[%d, %d][%d, %d]\n", begin, mid, mid + 1, end);int begin1 = begin, end1 = mid;int begin2 = mid + 1, end2 = end;int index = begin;while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] < a[begin2]){tmp[index++] = a[begin1++];}else{tmp[index++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[index++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[index++] = a[begin2++];}//拷回去memcpy(a + begin, tmp + begin, (end - begin + 1) * sizeof(int));}void MergeSort(int* a, int n){int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);assert(tmp);_MergeSort(a, 0, n - 1, tmp);free(tmp);}

4.1 归并排序非递归

边界处理永远的泪😭

//非递归void MergeSortR(int* a, int n){int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);assert(tmp);int gap = 1;while (gap < n){//间距为gap为一组，两两归并for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap){int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;//只有end1越界，直接修正if (end1 >= n)end1 = n - 1;//begin2不存在，第二个区间不存在,修正成一个不存在的区间if (begin2 >= n){begin2 = n;end2 = n - 1;}//begin2没事end2越界，修正end2if (end2 >= n)end2 = n - 1;int index = i;//printf("[%d, %d][%d, %d]\n", begin1, end1, begin2, end2);while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2){if (a[begin1] < a[begin2]){tmp[index++] = a[begin1++];}else{tmp[index++] = a[begin2++];}}while (begin1 <= end1){tmp[index++] = a[begin1++];}while (begin2 <= end2){tmp[index++] = a[begin2++];}}memcpy(a, tmp, n * sizeof(int));gap *= 2;}free(tmp);}

归并排序的特性总结：
1️⃣ 归并的缺点在于需要O(N)的空间复杂度，归并排序的思考更多的是解决在磁盘中的外排序问题。
2️⃣ 时间复杂度：O(N*logN)
3️⃣ 空间复杂度：O(N)

4️⃣ 稳定性：稳定

5. 非比较排序

5.1 8️⃣计数排序

思想：计数排序又称为鸽巢原理，是对哈希直接定址法的变形应用。 操作步骤：

1. 统计相同元素出现次数
2. 根据统计的结果将序列回收到原来的序列中

//适用于范围集中的数，排负数也行void CountSort(int* a, int n){int min = a[0], max = a[0];for (int i = 1; i < n; i++){if (a[i] > max)max = a[i];if (a[i] < min)min = a[i];}int range = max - min + 1;int* countA = (int*)calloc(range, sizeof(int));assert(countA);for (int i = 0; i < n; i++){countA[a[i] - min]++;}int j = 0;for (int i = 0; i < range; i++){while (countA[i]--){a[j++] = i + min;}}}

计数排序的特性总结：
1️⃣ 计数排序在数据范围集中时，效率很高，但是适用范围及场景有限，浮点数就没法排。
2️⃣ 时间复杂度：O(MAX(N,范围))
3️⃣ 空间复杂度：O(范围)

4️⃣ 稳定性：稳定

5.2 9️⃣桶排序

桶排序是计数排序的升级版。它利用了函数的映射关系，高效与否的关键就在于这个映射函数的确定。桶排序 (Bucket sort)的工作的原理：假设输入数据服从均匀分布，将数据分到有限数量的桶里，每个桶再分别排序（有可能再使用别的排序算法或是以递归方式继续使用桶排序进行排）。

操作步骤：

1. 设置一个定量的数组当作空桶；
2. 每个桶存放该区间的数据，由于每个桶内的数据元素个数不确定，可以使用链表表示，同时使用插入排序，让每个桶的链表有序。
3. 这样按照次序将所有桶的元素连起来就得到完整的有序列表。

typedef int SLTDataType;typedef struct SListNode{SLTDataType data;struct SListNode* next;}SListNode;void InsertNode(SListNode** bucket, int data){SListNode* p = (SListNode*)malloc(sizeof(SListNode));p->data = data;p->next = NULL;// 桶为空 if (*bucket == NULL){*bucket = p;}else{SListNode* prev = NULL;SListNode* cur = *bucket;while (cur != NULL && cur->data <= data){prev = cur;cur = cur->next;}// 对插入到第一个结点前的情况处理if (prev == NULL){*bucket = p;p->next = cur;}else{prev->next = p;p->next = cur;}}}void BucketSort(int* arr, int n){//寻找最大值最小值int max = arr[0], min = arr[0];for (int x = 0; x < n; x++) {max = arr[x] > max ? arr[x] : max;min = arr[x] < min ? arr[x] : min;}//获取容量int bucketsize = (max - min) / n + 1;//获取桶数量int bucketcount = (max - min) / bucketsize + 1;//申请桶空间SListNode** b=(SListNode**)calloc(bucketcount, sizeof(SListNode*));//分配数据for (int i = 0; i < n; i++){//算出arr[i]对应的桶位置int pos = (arr[i] - min) / bucketsize;InsertNode(&b[pos], arr[i]);}//将数据返回到数组SListNode* tmp;for (int i = 0, j = 0; i < bucketcount && j < n; i++){if (b[i] != NULL){tmp = b[i];while (tmp != NULL){arr[j++] = tmp->data;tmp = tmp->next;}}}//freefor (int i = 0; i < bucketcount; i++){while (b[i] != NULL){tmp = b[i];b[i] = tmp->next;free(tmp);}}free(b);}

桶排序的特性总结：

1️⃣时间复杂度：O(range + N)

2️⃣空间复杂度：O(range + N)

3️⃣稳定性：稳定。

5.3 🔟基数排序

基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。

//求最大位数int Maxbit(int* arr, int n){int max = arr[0];for (int i = 1; i < n; i++){if (arr[i] > max)max = arr[i];}int k = 1;while (max >= 10){max /= 10;k++;}return k;}void RadixSort(int* arr, int n){int k = Maxbit(arr, n);int radix = 1;int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);while (k){int bucket[10] = { 0 };//统计每个桶的数据个数for (int i = 0; i < n; i++){bucket[arr[i] / radix % 10]++;}//累加for (int i = 1; i < 10; i++){bucket[i] += bucket[i - 1];}//向tmp数组存入数据for (int i = n - 1; i >= 0; i--){tmp[bucket[arr[i] / radix % 10] - 1] = arr[i];bucket[arr[i] / radix % 10]--;}//将tmp序列拷贝到原数组中memcpy(arr, tmp, n * sizeof(int));radix *= 10;k--;}free(tmp);}

基数排序的特性总结：

1️⃣时间复杂度：O(range * N)

2️⃣空间复杂度：O(range + N)

3️⃣稳定性：稳定。

总结：排序算法复杂度及稳定性分析

目前在不断更新的知识总结，已经更新完了，未来我会系统地更新等内容。想系统学习编程的朋友可以关注我！

排序要说的实在太多了！篇幅那么长也是意料之内的，希望对大家总结排序知识有所帮助。
肝了好久才完成，建议收藏起来日后慢慢阅读。