数学基础——向量 详解

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• 数学基础——向量 详解
• 1. 什么是向量
• 2. 向量的表示方式
• 3. 向量的基本定义
• 4. 向量的运算
• 5. 向量的相关定义
• 6. 向量定理

1. 什么是向量

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。

2. 向量的表示方式

·代数表示
大小或小写字母+箭头：
A→    或   b→         A B →    或    a b → \overrightarrow{A}\ \ 或\ \ \overrightarrow{b} \ \ \ \ \ \ \ \overrightarrow{AB}\ \ 或\ \ \overrightarrow{ab} A   或  b        AB   或  ab
·几何表示
1.二维

2.三维

坐标表示
1.二维
分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。
A→ = (ax ,ay )    ,   B→ = (bx ,by ) \overrightarrow{A}=(a_x,a_y)\ \ ,\ \ \overrightarrow{B}=(b_x,b_y) A =(ax​,ay​)  ,  B =(bx​,by​)
2.三维
分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i，j，k作为一组基底。有且只有一组实数(x,y,z)，使得a=ix+jy+kz，因此把实数对(x,y,z)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y,z)。
A→ = (ax ,ay ,az )    ,   B→ = (bx ,by ,bz ) \overrightarrow{A}=(a_x,a_y,a_z)\ \ ,\ \ \overrightarrow{B}=(b_x,b_y,b_z) A =(ax​,ay​,az​)  ,  B =(bx​,by​,bz​)

矩阵表示
1.二维
A→ =[ a x a y ]    B→ =[ b x b y ] \overrightarrow{A}= \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \end{bmatrix}\ \ \ \overrightarrow{B}= \begin{bmatrix} b_x \\ b_y \end{bmatrix} A =[ax​ay​​]   B =[bx​by​​]
2.三维
A→ =[ a x a y a z ]    B→ =[ b x b y b z ] \overrightarrow{A}= \begin{bmatrix} a_x \\ a_y\\ a_z \end{bmatrix}\ \ \ \overrightarrow{B}= \begin{bmatrix} b_x \\ b_y\\ b_z \end{bmatrix} A =⎣⎡​ax​ay​az​​⎦⎤​   B =⎣⎡​bx​by​bz​​⎦⎤​

3. 向量的基本定义

·向量是有大小和方向的有向线段
·向量没有位置，只有大小和方向
·向量的箭头是向量的结束，向量的开始
·向量描述的位移能被认为是与轴平行的位移序列

代码实现：
二维

public struct M_Vector2{    public float x;    public float y;    public M_Vector2(float x,float y)    { this.x = x; this.y = y;    }}

三维

public struct M_Vector3{    public float x;    public float y;    public float z;    public M_Vector3(float x,float y,float z)    { this.x = x; this.y = y; this.z = z;    }}

4. 向量的运算

设a→ = (ax ,ay )   ,  b→ = (bx ,by ) 设\overrightarrow{a}=(a_x,a_y) \ , \ \overrightarrow{b}=(b_x,b_y) 设a =(ax​,ay​) , b =(bx​,by​)
4.1加法
向 量 的 加 法 满 足 平 行 四 边 形 法 则 和 三 角 形 法 则 ， O A → + O B → = O C →  a =[ a x a y ]    ,    b =[ b x b y ]  a + b =[ a x + b x a y + b y ] =[ a x + b x a y + b y ] [ 1 1 ]  a + 0 = 0 + a   交 换 律 ： a + b = b + a   结 合 律 ： （ a + b ） + c = a + ( b + c ) 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则， \\ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC} \\ \ \\ a= \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \end{bmatrix}\ \ , \ \ b= \begin{bmatrix} b_x \\ b_y \end{bmatrix} \\ \ \\ a + b = \begin{bmatrix} a_x + b_x\\ a_y + b_y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_x + b_x\\ a_y + b_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} \\ \ \\ a+0 = 0+ a \\ \ \\ 交换律：a+b=b+a \\ \ \\ 结合律：（a+b）+c=a+(b+c) 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，OA +OB =OC  a=[ax​ay​​]  ,  b=[bx​by​​] a+b=[ax​+bx​ay​+by​​]=[ax​+bx​ay​+by​​][11​] a+0=0+a 交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+(b+c)
代码实现：
二维

    /// 两个向量相加    public static M_Vector2 operator+(M_Vector2 m_Vector2_A,M_Vector2 m_Vector2_B)    { return new M_Vector2(m_Vector2_A.x + m_Vector2_B.x, m_Vector2_A.y + m_Vector2_B.y);    }

三维

//加法    public static M_Vector3 operator +(M_Vector3 v3_A,M_Vector3 v3_B)    { return new M_Vector3(v3_A.x + v3_B.x, v3_A.y + v3_B.y, v3_A.z + v3_B.z);    }

4.2 减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.
0的反向量为0。
O A → − O B → = B A →  a = (ax ,ay ) ， b = (bx ,by ) ，   a − b = (ax −bx ,ay −by ) . \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA} \\ \ \\ a=(a_x,a_y)，b=(b_x,b_y) ， \\ \ \\ a-b=(a_x-b_x,a_y-b_y). OA −OB =BA  a=(ax​,ay​)，b=(bx​,by​)， a−b=(ax​−bx​,ay​−by​).

加减变换律：a+(-b)=a-b
代码实现：
二维

    /// 两个向量相减    public static M_Vector2 operator -(M_Vector2 m_Vector2_A, M_Vector2 m_Vector2_B)    { return new M_Vector2(m_Vector2_A.x - m_Vector2_B.x, m_Vector2_A.y - m_Vector2_B.y);    }

三维

    //减法    public static M_Vector3 operator -(M_Vector3 v3_A, M_Vector3 v3_B)    { return new M_Vector3(v3_A.x - v3_B.x, v3_A.y - v3_B.y, v3_A.z - v3_B.z);    }

4.3 数乘
实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。

当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注： 按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当 |λ| >1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍。
当|λ|0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的 |λ|倍。

实数p和向量a的点乘乘积是一个数。

数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：
① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

注： 向量的加减乘（向量没有除法）运算满足实数加减乘运算法则。

代码实现：
二维

    /// 数乘    public static M_Vector2 operator *(M_Vector2 m_Vector2,float k)    { return new M_Vector2(m_Vector2.x * k, m_Vector2.y * k);    }

三维

    //数乘    public static M_Vector3 operator *(M_Vector3 v3, float lambda)    { return new M_Vector3(v3.x * lambda, v3.y * lambda, v3.z * lambda);    }

4.4 数量积
4.4.1 定义：
两个向量的数量积（内积、点积）是一个标量（没有方向），记作a·b。

已知两个非零向量a,b，作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π。

若a、b不共线，则 ；若a、b共线，则 。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x’+y·y’。

4.4.2 几何意义
1.可以用来计算两个向量的夹角
由点乘公式可得
c o s θ = a ⋅ b∣ a ∣ ∣ b ∣   cos \theta = \cfrac {a \cdot b}{\vert a \vert \vert b \vert \ } cosθ=∣a∣∣b∣ a⋅b​

    public static float Angle(M_Vector2 from,M_Vector2 to)    { float denominator = from.Magnitude * to.Magnitude; float dot = Dot(from, to) / denominator; //Cos弧度值的范围为-1到1 if(dot < -1) {     dot = -1; } else if(dot > 1) {     dot = 1; } return (float)Math.Acos(dot) * 180 / Mathf.PI;    }

2.x向量在x向量方向上的投影
例如a向量在b向量方向上的投影S为:
S = a ⋅ b∣ b ∣ S = \cfrac {a \cdot b}{\vert b \vert} S=∣b∣a⋅b​

    //A向量在B向量方向上的投影    public static float ProjectMagnitude(M_Vector2 m_Vector2_A, M_Vector2 m_Vector2_B)    { return Dot(m_Vector2_A,m_Vector2_B) * m_Vector2_B.Magnitude;    }

补充：x向量在x向量方向上的投影向量
例如a向量在b向量方向上的投影P为:
P =b ∣ b ∣ ⋅ ∣ a ∣ ⋅ c o s θ P = \cfrac {b}{\vert b \vert} \cdot\vert a \vert \cdot cos \theta P=∣b∣b​⋅∣a∣⋅cosθ

    //A向量在B向量方向上的投影向量    public static M_Vector2 Project(M_Vector2 m_Vector2_A, M_Vector2 m_Vector2_B)    { return m_Vector2_B.normalized * m_Vector2_A.Magnitude * (float)Math.Cos(Angle(m_Vector2_A, m_Vector2_B) * 2 * Mathf.PI / 360);    }

4.4.2 向量的数量积的运算律
交换律：a·b=b·a
结合律：(λa)·b=λ(a·b)
分配律：(a+b)·c=a·c+b·c

4.4.3 向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

4.4.4向量的数量积与实数运算的主要不同点
1．向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)²≠a²·b²。
2．向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。
3．|a·b|与|a|·|b|不等价
4．由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立。
4.4.5 编程计算
1.二维
a = (ax ,ay ) , b = (bx ,by )   a ⋅ b =[ a x a y ] [ b x b y ] =ax ∗bx +ay ∗by = ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ ⋅ c o s θ a=(a_x,a_y),b=(b_x,b_y) \\ \ \\ a \cdot b= \begin{bmatrix} a _x & a_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b _x \\ b_y \end{bmatrix} = a_x*b_x + a_y * b_y = \vert a \vert \cdot \vert b \vert \cdot cos \theta a=(ax​,ay​),b=(bx​,by​) a⋅b=[ax​​ay​​][bx​by​​]=ax​∗bx​+ay​∗by​=∣a∣⋅∣b∣⋅cosθ
代码实现：

    public static float Dot(M_Vector2 m_Vector2_A, M_Vector2 m_Vector2_B)    { return m_Vector2_A.x * m_Vector2_B.x + m_Vector2_A.y * m_Vector2_B.y;    }

2.三维
a = (ax ,ay ,az ) , b = (bx ,by ,bz )   a ⋅ b =[ a x a y a z ] [ b x b y b z ] =ax bx +ay by +az bz = ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣   c o s θ a=(a_x,a_y,a_z),b=(b_x,b_y,b_z) \\ \ \\ a \cdot b= \begin{bmatrix} a _x & a_y & a_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b _x \\ b_y\\ b_z \end{bmatrix} = a_xb_x + a_y b_y + a_zb_z= \vert a \vert \cdot \vert b \vert\ cos \theta a=(ax​,ay​,az​),b=(bx​,by​,bz​) a⋅b=[ax​​ay​​az​​]⎣⎡​bx​by​bz​​⎦⎤​=ax​bx​+ay​by​+az​bz​=∣a∣⋅∣b∣ cosθ
代码实现：

    //点积    public static float Dot(M_Vector3 v3_A,M_Vector3 v3_B)    { return v3_A.x * v3_B.x + v3_A.y + v3_B.y + v3_A.z + v3_B.z;    }

4.5 向量积
4.5.1 定义：
两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同）。
若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。
若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|（此处与数量积不同，请注意），若a×b=0，则a、b平行。
向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

运算法则：
设i,j,k分别为沿x,y,z轴的单位向量
A = (ax ,ay ,az ) ， B = (bx ,by ,bz ） ， A=(a_x,a_y,a_z)，B=(b_x,b_y,b_z）， A=(ax​,ay​,az​)，B=(bx​,by​,bz​），
则有
A =ax i +ay j +az k , B =bx i +by j +bz k .    A= a_xi+a_yj+a_zk ,\\ B= b_xi+b_yj+b_zk.\ \ A=ax​i+ay​j+az​k,B=bx​i+by​j+bz​k.  
运用三阶行列式
1.二维
a × b =∣ i j k a x a y 0 b x b y 0 ∣ = (ax by −bx ay ) k a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k\\ a_x & a_y & 0\\ b_x & b_y & 0 \end{vmatrix} = (a_x b_y - b_x a_y)k a×b=∣∣∣∣∣∣​iax​bx​​jay​by​​k00​∣∣∣∣∣∣​=(ax​by​−bx​ay​)k

则有
∣ a × b ∣ = ∣ax ∗by −bx ∗ay ∣ = ∣ a ∣ ⋅ ∣ b ∣ ⋅ s i n θ \vert a \times b \vert =\vert a_x * b_y - b_x * a_y \vert = \vert a \vert \cdot \vert b \vert \cdot sin \theta ∣a×b∣=∣ax​∗by​−bx​∗ay​∣=∣a∣⋅∣b∣⋅sinθ

由上可见，叉乘在x,y平面上计算后的结果方向是在z轴上，在二维中的实际意义不大，大多引擎中也没有给出相关实现的代码。

2.三维
则   A × B =∣ i j k a x a y a z b x b y b z ∣= (ay bz −az by ) i − (ax bz −az bx ) j + (ax ay −ay bx ) k = (ay bz −az by ) i + (az bx −ax bz ) j + (ax ay −ay bx ) k 则\ A \times B=\begin{vmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\\=(a_yb_z-a_zb_y)i-(a_xb_z-a_zb_x)j+(a_xa_y-a_yb_x)k\\=(a_yb_z-a_zb_y)i+(a_zb_x - a_xb_z)j+(a_xa_y-a_yb_x)k 则 A×B=∣∣∣∣∣∣​iax​bx​​jay​by​​kaz​bz​​∣∣∣∣∣∣​=(ay​bz​−az​by​)i−(ax​bz​−az​bx​)j+(ax​ay​−ay​bx​)k=(ay​bz​−az​by​)i+(az​bx​−ax​bz​)j+(ax​ay​−ay​bx​)k

此时i,j,k轴对应的向量为
(ay bz −az by ，az bx −ax bz ，ax ay −ay bx ) (a_yb_z-a_zb_y，a_zb_x - a_xb_z，a_xa_y-a_yb_x) (ay​bz​−az​by​，az​bx​−ax​bz​，ax​ay​−ay​bx​)

所以有
∣ A × B ∣ = ( a y b z− a z b y ) 2+ ( a z b x− a x b z ) 2+ ( a x a y− a y b x ) 2 = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣   s i n θ \vert A \times B \vert = \sqrt{(a_yb_z-a_zb_y)^2 + (a_zb_x - a_xb_z)^2 + (a_xa_y-a_yb_x)^2} =\vert A \vert \cdot \vert B \vert \ sin \theta ∣A×B∣=(ay​bz​−az​by​)2+(az​bx​−ax​bz​)2+(ax​ay​−ay​bx​)2 ​=∣A∣⋅∣B∣ sinθ
代码实现：

    //叉积    public static M_Vector3 Cross(M_Vector3 V3_A,M_Vector3 V3_B)    { return new M_Vector3(     V3_A.y * V3_B.z - V3_A.z * V3_B.y,     V3_A.z * V3_B.x - V3_A.x * V3_B.z,     V3_A.x * V3_B.y - V3_A.y * V3_B.x);    }

验证

 M_Vector3 v1 = new M_Vector3(1, Mathf.Sqrt(3), 3); M_Vector3 v2 = new M_Vector3(Mathf.Sqrt(3), 1, 5); float angle = M_Vector3.Angle(v1, v2); Debug.Log(angle); M_Vector3 normalVec = M_Vector3.Cross(v1, v2); Debug.Log("左边:" + (normalVec.Magnitude)); Debug.Log("右边:" + (v1.Magnitude * v2.Magnitude * Mathf.Sin(angle * 2 * Mathf.PI / 360)));

叉乘的意义:
方向为两向量的组成平面的法向量方向，大小为两向量组成的平行四边形的面积

向量的向量积性质：
$$\begin{gathered} |a\times b|是以a和b为边的平行四边形面积。 \\ a\times a=0。 \\ a//b(平行)⟺a\times b=0 \end{gathered}$$
向量的向量积运算律:
$$\begin{gathered} a\times b=-b\times a \\ (\lambda a)\times b=\lambda (a\times b)=a\times (\lambda b) \\ a\times (b+c)=a\times b+a\times c. \\ (a+b)\times c=a\times c+b\times c. \end{gathered}$$
上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。
注： 向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

4.6 三向量混合积
定义：
给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合积具有下列性质：
1．三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
2．上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

4.7 双重向量积
定义：
给定空间的三个向量a,b,c,如果先做其中两个向量a,b的向量积a×b，再做所得向量与第三向量的向量积，那么最后的结果仍然是一个向量，叫做所给三向量的双重向量积，记做：(a×b)×c。

性质：
(a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a
a×(b×c)=-(b×c)×a=(a·c)·b-(a·b)·c

关系式
给定空间内四个向量a、b、c、d，则这四个向量之间满足如下关系：
$$(a\times b)\cdot (c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c)$$

5. 向量的相关定义

5.1 有向线段
若规定线段AB的端点 A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点 A到终点 B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。

    //有向线段从B指向A    public static M_Vector2 DirectedLineSegment(M_Vector2 m_Vector2_A,M_Vector2 m_Vector2_B)    { return m_Vector2_B - m_Vector2_A;    }

5.2 向量的模
向量的大小，也就是向量的长度。
l =a ∣ a ∣ =a a T a l=\cfrac{a}{\lvert a\lvert }=\cfrac{a}{\sqrt{a^Ta} } l=∣a∣a​=aTa ​a​

//模长    public float Magnitude    { get {     return (float)Math.Sqrt(x * x + y * y); }    }

5.3 单位向量
长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量。

    //单位向量    public static M_Vector2 One    { get {     return new M_Vector2(1, 1); }    }

归一化的向量，也可看做单位向量

/归一化    public M_Vector2 normalized    { get {     return Normalize(this); }    }    public static M_Vector2 Normalize(M_Vector2 m_Vector2)    { return m_Vector2 / m_Vector2.Magnitude;    }    public M_Vector2 Normalize()    { return Normalize(this);    }

5.4 负向量(相反向量)
如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。

    //负向量    public static M_Vector2 operator -(M_Vector2 m_Vector2)    { return new M_Vector2(-m_Vector2.x,-m_Vector2.y);    }    public static M_Vector2 NegativeVector(M_Vector2 m_Vector2)    { return -m_Vector2;    }

5.5 零向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

    //零向量    public static M_Vector2 Zero    { get {     return new M_Vector2(0, 0); }    }

5.6 相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。
规定：所有的零向量都相等

//判断两个向量是否相等public static bool operator == (M_Vector2 m_Vector2_A,M_Vector2 m_Vector2_B)    { if (m_Vector2_A.x == m_Vector2_B.x && m_Vector2_A.y == m_Vector2_B.y) {     return true; } else {     return false; }    }//判断两个向量是否不相等public static bool operator !=(M_Vector2 m_Vector2_A, M_Vector2 m_Vector2_B)    { if(m_Vector2_A == m_Vector2_B) {     return false; } else {     return true; }    }

5.7 自由向量
始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。

M_Vector2 a1 = new M_Vector2(1, 2);M_Vector2 a2 = new M_Vector2(1, 2);M_Vector2 a3 = new M_Vector2(3, 2);

5.8 滑动向量
沿着直线作用的向量称为滑动向量。

    /// 
    /// 滑动向量    ///     /// 方向    /// 滑动距离    ///     public static M_Vector2 SlipVector(M_Vector2 m_Vector2,float distance)    { return m_Vector2 * distance;    }

5.8 固定向量
作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。
代码参考 有向线段。

5.9 位置向量
对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。
代码参考 有向线段。

5.10 平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a//b。
零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。
规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。
若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=0

    //判断两个向量是否公线    public static bool  IsParallelVector(M_Vector2 m_Vector2_A,M_Vector2 m_Vector2_B)    { if(m_Vector2_A.x * m_Vector2_B.y - m_Vector2_A.y * m_Vector2_B.x == 0) {     return true; } else {     return false; }    }

5.11 方向向量
直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。
代码参考 共线向量。

5.12 共面向量(3维空间)
平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。
空间中的向量有且只有以下两种位置关系：
⑴共面；
⑵不共面。
注意：只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。

5.13 法向量(3维空间)
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量。
参考向量的向量积运算

6. 向量定理

6.1 共线定理
若 b ≠ 0 ， 则 a / / b 的 充 要 条 件 是 存 在 唯 一 实 数 λ ， 使   a→ = λb→ 。   若 设 a = (ax ,ay ) ， b = (bx ,by ) ， 则 有   ax by =bx ay ，   与 平 行 概 念 相 同 。0→ 平 行 于 任 何 向 量 。 若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使 \\ \ \\ \overrightarrow{a} = \lambda\overrightarrow{b}。 \\ \ \\ 若设a=(a_x,a_y)，b=(b_x,b_y) ，则有 \\ \ \\ a_xb_y=b_xa_y， \\ \ \\ 与平行概念相同。\overrightarrow{0}平行于任何向量。 若b​=0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使 a =λb 。 若设a=(ax​,ay​)，b=(bx​,by​)，则有 ax​by​=bx​ay​， 与平行概念相同。0 平行于任何向量。

6.2 垂直定理
a ⊥ b 的 充 要 条 件 是 a ⋅ b = 0 ， 即 (ax bx +ay by ) = 0 。 a⊥b的充要条件是a·b=0，即(a_xb_x+a_yb_y)=0 。 a⊥b的充要条件是a⋅b=0，即(ax​bx​+ay​by​)=0。

6.3 分解定理
平面向量分解定理:
如 果 e 1 → 、 e 2 → 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 平 行 向 量 ，   那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 ， 有 且 只 有 一 对 实 数λ1 ,λ2 ，   使a→ =λ1 e 1 → +λ2 e 2 → ，   我 们 把 不 平 行 向 量 、 叫 做 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的 基 底 。 如果\overrightarrow{e_1}、\overrightarrow{e_2}是同一平面内的两个不平行向 量， \\ \ \\ 那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数\lambda_1,\lambda_2， \\ \ \\ 使\overrightarrow{a} =\lambda_1 \overrightarrow{e_1} + \lambda_2 \overrightarrow{e_2}， \\ \ \\ 我们把不平行向量 、 叫做这一平面内所有向量的基底。 如果e1​ ​、e2​ ​是同一平面内的两个不平行向量， 那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1​,λ2​， 使a =λ1​e1​ ​+λ2​e2​ ​， 我们把不平行向量、叫做这一平面内所有向量的基底。

6.4 定比分点公式
P =[ x y ]   P1 =[ x 1 y 1 ] P2 =[ x 2 y 2 ]  ( P −P1 ) = λ (P2 − P )   P =1 1 + λ (P1 + λP2 ) =1 1 + λ [ x x + λ x 2 y 1 + λ y 2 ]  其 中 λ ∈R∗ , λ 为 点 P 有 向 线 段 P 1 P 2→ 所 成 比 。 P=\begin{bmatrix} x \\ y\\ \end{bmatrix}\ \ P_1=\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1\\ \end{bmatrix} P_2=\begin{bmatrix} x_2 \\ y_2\\ \end{bmatrix} \\ \ \\ (P - P_1) = \lambda(P_2 - P) \\ \ \\ P = \cfrac{1}{1 + \lambda}(P_1 + \lambda P_2)=\cfrac{1}{1 + \lambda}\begin{bmatrix} x_x + \lambda x_2 \\ y_1 + \lambda y_2\\ \end{bmatrix} \\ \ \\ 其中\lambda\in R^*, \lambda 为点P有向线段\overrightarrow{P_1P_2}所成比。 P=[xy​]  P1​=[x1​y1​​]P2​=[x2​y2​​] (P−P1​)=λ(P2​−P) P=1+λ1​(P1​+λP2​)=1+λ1​[xx​+λx2​y1​+λy2​​] 其中λ∈R∗,λ为点P有向线段P1​P2​ ​所成比。

6.5 三点共线定理
已 知 O 是 A B 所 在 直 线 外 一 点 ， 若 O C → = λ O A → + μ O B → , 且 λ + μ = 1 ， 则 A 、 B 、 C 三 点 共 线 。 已知O是AB所在直线外一点，若\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}, 且 \lambda + \mu = 1，则A、B、C三点共线。 已知O是AB所在直线外一点，若OC =λOA +μOB ,且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

6.6 重心判断式
在 △ A B C 中 , 若 G A → + G B → + G C → =0→ , 则 G 为 △ A B C 的 重 心 在\triangle ABC中,若\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0},则G为\triangle ABC的重心 在△ABC中,若GA +GB +GC =0 ,则G为△ABC的重心

6.7 垂心判断式
在 △ A B C 中 ， 若 H A → ⋅ H B → = H B → ⋅ H C → = H C → ⋅ H A → ， 则 H 为 △ A B C 的 垂 心 。 在 \triangle ABC中，若\overrightarrow{HA}\cdot \overrightarrow{HB} = \overrightarrow{HB} \cdot \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{HA}，则H为\triangle ABC的垂心。 在△ABC中，若HA ⋅HB =HB ⋅HC =HC ⋅HA ，则H为△ABC的垂心。

6.8 内心判断式
在 △ A B C 中 ， 若 a I A → + b I B → + c I C → =0→ , 且 P I = aP A →+ bP B →+ cP C → a + b + c ， 则 H 为 △ A B C 的 内 心 。 在 \triangle ABC中，若a\overrightarrow{IA} + b\overrightarrow{IB} +c\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} , 且PI = \cfrac{a\overrightarrow{PA} + b\overrightarrow{PB} +c\overrightarrow{PC}}{a+b+c}， 则H为 \triangle ABC的内心。 在△ABC中，若aIA +bIB +cIC =0 ,且PI=a+b+caPA +bPB +cPC ​，则H为△ABC的内心。

6.9 外心判断式
在 △ A B C 中 , 若 ∣ O A → ∣ = ∣ O B → ∣ = ∣ O C → ∣ , 则 O 为 △ A B C 的 外 心 。   此 时 O 满 足 ( O A → + O B → ) ⋅ A B → = ( O B → + O C → ) ⋅ B C → = ( O C → + O A → ) ⋅ C A → =0→ 。 在 \triangle ABC中,若\lvert \overrightarrow{OA}\lvert = \lvert \overrightarrow{OB}\lvert =\lvert \overrightarrow{OC}\lvert ,则O为\triangle ABC的外心。 \\ \ \\ 此时O满足(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA})\cdot \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}。 在△ABC中,若∣OA ∣=∣OB ∣=∣OC ∣,则O为△ABC的外心。 此时O满足(OA +OB )⋅AB =(OB +OC )⋅BC =(OC +OA )⋅CA =0 。
6.9 向量中线公式
若 P 为 线 段 A B 的 中 点 ， O 为 平 面 内 一 点 ， 则 O P → =12 ( O A → + O B → ) 。 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则\overrightarrow{OP}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})。 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP =21​(OA +OB )。

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