【蓝桥杯】最短路径Floyd算法原来如此简单
🍑前言:
☕☕学过《数据结构与算法》这门课的同学应该都知道求解最短路径的两大经典算法,“弗洛伊德”和“迪杰斯特拉”,笔者一直以为这两个高大上的算法我这种菜鸡肯定是学不会的啦,但是前两天看了看弗洛伊德算法的代码,没想到竟然如此简单!😛
🌻🌻Floyd算法是用来求解多源点最短路径问题的,算法基于动态规划实现,而且核心代码用三个for循环就能轻松搞定,代码简练,稍加理解就能轻松记住~
题目传送门:🚀🚀🚀
题目 | 链接 |
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蓝桥杯2021省赛-路径 | https://www.lanqiao.cn/problems/1460/learning/ |
LeetCode.743-网络延迟时间 | https://leetcode-cn.com/problems/network-delay-time/ |
🍋Floyd算法模板:
👩🏻🏫了解Floyd之前先要知道什么是邻接矩阵,对于有n
个节点的图,所谓矩阵其实就是二维数组graph[n][n]
,用来描述节点之间的关系。其中graph[i][j] = x
表示节点i
与节点j
之间存在一条边,边长为x
(换句话说就是从节点i
可以直接到节点j
,且距离为x
),如果i与j之间没有边,可以用graph[i][j] = 无穷大
表示;当然如果节点到节点之间的路径是双向的,graph[i][j] = graph[j][i]
。
📌构建好邻接矩阵,就可以使用Floyd算法了:
for (int k = 1; k <= n; k++) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {graph[i][j] = Math.min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j];}}}
📑三个for
循环加一行状态转移,最终的结果就是graph[i][j]
中存储的值代表节点i
到节点j
的最短路径。
📑Floyd本质是动态规划的过程。状态转移方程:f[k][i][j] = min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])
,表示经过前k
个点(包括k
),从i
到j
的最小值。
📑模板中的dp
只有i
,j
两个变量,是应为k
可以进行状态压缩。
📑最终Floyd可以精简成四行代码~🍺
🍊实战演练:
👉🏻蓝桥杯2021填空题-路径:
本题为填空题,只需要算出结果后,在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。
小蓝学习了最短路径之后特别高兴,他定义了一个特别的图,希望找到图 中的最短路径。
小蓝的图由 2021 个结点组成,依次编号 1 至 2021。
对于两个不同的结点 a, b,如果 a 和 b 的差的绝对值大于 21,则两个结点 之间没有边相连;如果 a 和 b 的差的绝对值小于等于 21,则两个点之间有一条 长度为 a 和 b 的最小公倍数的无向边相连。
例如:结点 1 和结点 23 之间没有边相连;结点 3 和结点 24 之间有一条无 向边,长度为 24;结点 15 和结点 25 之间有一条无向边,长度为 75。
请计算,结点 1 和结点 2021 之间的最短路径长度是多少。
提示:建议使用计算机编程解决问题。
运行限制
- 最大运行时间:1s
- 最大运行内存: 128M
-
求最小公倍数可以先求最大公约数(辗转相除法):
public static int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);}
-
Java中的距离无穷大可以用Double型的
Double.POSITIVE_INFINITY
表示,任何数加上无穷大还是无穷大。 -
记住Floyd的三个for循环,最外层是
for (int k = 1; k <= n; k++)
,这个顺序不能更改。
🍦AC代码(Java):
import java.util.Arrays;public class Main { public static int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } public static int lcm(int a, int b) { return (a * b) / gcd(a, b); } public static void main(String[] args) { final int n = 2021; // 建立邻接矩阵 double[][] graph = new double[n + 1][n + 1]; // 距离无穷可以使用double表示 for (int i = 0; i < graph.length; i++) Arrays.fill(graph[i], Double.POSITIVE_INFINITY); for (int i = 1; i < graph.length; i++) graph[i][i] = 0; // 根据要求添入边权 for (int a = 1; a <= n; a++) { for (int b = 1; b <= n; b++) { if (a == b) continue; if (Math.abs(a - b) <= 21) { int dis = lcm(a, b); graph[a][b] = dis; } else { continue; } } } // Floyd最短路,经典三个for for (int k = 1; k <= n; k++) { for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { graph[i][j] = Math.min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j]); } } } // 别忘了double要cast回int System.out.println((int)graph[1][2021]); // 结果:10266837 } }
👉🏻力扣743题库-网络延迟时间:
- 还是用Floyd求出任意两点间的最短路径,最后在遍历一遍
graph[k][i...n]
,找到节点k
到其他节点间最短路径的最大值。
🍦AC代码(Java):
class Solution { public int networkDelayTime(int[][] times, int n, int K) { int[][] graph = new int[n + 1][n + 1]; for (int[] ints : graph) { //这里无穷大用int型最大值表示 Arrays.fill(ints, Integer.MAX_VALUE); } for (int i = 1; i <= n; i++) graph[i][i] = 0; for (int[] time : times) graph[time[0]][time[1]] = time[2]; for (int k = 1; k <= n; k++) { for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n; j++) { // 距离无穷参与运算会溢出,要手动修改 graph[i][j] = Math.min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j] < 0 ? Integer.MAX_VALUE : graph[i][k] + graph[k][j]); } } } int ans = Integer.MIN_VALUE; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (graph[K][i] == Integer.MAX_VALUE) return -1; ans = Math.max(ans, graph[K][i]); } return ans; }}
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Floyd模板短短四行代码就可以求出任意两点间的最短路径,代码简练,很容易记住,只需要注意三个for
循环的顺序是k-->i-->j
即可。
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@作者:Mymel_晗,计科专业大学牲菜狗一枚,请大佬们多多关照~