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课件参考—开课吧《门徒计划》

2-3 并查集（Union-find）及经典问题

并查集基础知识

并查集是一个在学完树形结构之后，在树形结构基础之上的一个图论的数据结构。

并查集解决的问题：

• 连通性问题，可以看成数学方面的集合问题（概念上）

  ➢ 判断一个元素在哪个集合里面 判断两个元素是否在同一个集合中

一开始 $0-9$ 中每一个数字都是一个集合，首先我们把 $4$ 和 $3$ 之间画一条线，此时 $4$ 和 $3$ 就是一个集合，我们再把 $3$ 和 $8$ 连起来，原本只是一个 $3$ 和 $8$ 的集合，现在变成了 $4$ 、$3$、$8$ 的一个集合，所以得出连通性的问题是具有传递性的，比如 $A$ 和 $B$ 在一个集合，$B$ 和 $C$ 也在一个集合，那么 $A$ 和 $C$ 肯定也在一个集合。

那么我们怎么判断这些数是否在一个集合中呢？如下：

Quick-Find算法

如下这两张gif动图就很好的诠释了上面的连通性问题，一开始每个数字都为不同的颜色：

$[4-3][3-8][6-5][9-4]$

右面的 $3、4、8、9$ 已经连通了，此时没有必要再连一次 $[8-9]$ 了。
gif

$[2-1][5-0][7-2][6-1]$

左面的 $0、1、2、5、6、7$ 也已经连通了，$[1-0]$ 和 $[6-7]$ 也没有必要再连一次了。
gif

所有具有这样的连接关系，我们都可以把它类比成一棵树，像最后合并完成时，可以看做是这样的两棵树：

这两棵树放在一起，也可以叫做 “森林”，所以并查集也可以说是一种基于森林的算法。

代码实现染色

这是并查集最野蛮，最低效的办法，通过染色的方式来实现集合的维护关系。

// Quick-Findclass UnionFind {    int[] color; // 每个点的颜色    int n; // 有多少个点    public UnionFind(int n) { this.n = n; color = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) {     color[i] = i; // 给每一个数字都赋予一个不同的颜色 }    }    // 查询    public int find(int x) { return color[x];    }    // 合并    public void merge(int x, int y) { // 如果颜色相同 则说明已经在一个集合中 if (color[x] == color[y]) return; int cy = color[y]; // 记录y的颜色 for (int i = 0; i < n; i++) {     // 这样我们就把所有跟y颜色一样的数 变为跟x一样的颜色     if (color[i] == cy) color[i] = color[x]; }    }}

所以接下来我们要想办法优化合并操作。

Quick-Union算法

朴素并查集

根节点的颜色是什么，我们整棵树的颜色就是什么，我们查询的时候只需要找到查询的节点所在的那棵树的根节点。

所以并查集本质是一个不记录子节点，只记录根节点的树。

假设一个子节点 $8$ 的父节点是 $3$，我们可以创建一个 $father[8]=3$，这样就对我们之前的 $color$ 数组做了一个优化，我们把单纯的染色关系变成了指向关系。

代码实现

// Quick-Unionclass UnionFind {    int[] fa; // 记录祖宗节点    int n; // 有多少个点    public UnionFind(int n) { this.n = n; fa = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) {     fa[i] = i; // 一开始所有节点的父节点都是它自己 }    }    // 查询 从下往上找祖宗节点 一定是以链表的方式 所以可以用递归/while()循环实现    public int find(int x) { if (fa[x] == x) return x; return find(fa[x]);    }    // 合并    public void merge(int x, int y) { int fx = find(x); // 拿到x的祖宗节点 int fy = find(y); // 拿到y的祖宗节点 if (fx == fy) return; fa[fx] = fy; // 使fx成为fy的子树    }}

虽然我们合并的操作优化为 $O(N)\to O(TreeHight)$，但我们的查询操作由 $O(1)\to O(TreeHight)$ 增加了，所以这个算法也是有问题的。

所以我们要在 $Quick-Union$ 基础上再做优化。

树越高，时间复杂度就越大，那么我们应该考虑，是按照 节点数量 还是 树的高度合并呢？

是树高深的树接到浅的上面 还是 节点多的树接在少的树上面？我们需要盖棺定论。

不难看出，一个树越高，它的平均查找次数也就越大，时间复杂度也就越大。

接下来我们对比一下两颗抽象的树：

此时我们发现，两棵树合并时，哪棵树的节点少，谁就做儿子。

所以我们可以加一个记录节点个数的数组。

Weighted Quick-Union算法

并查集——按秩合并（维护size的并查集）

按秩合并 代码实现

// Weighted Quick-Unionclass UnionFind {    int[] fa; // 记录祖宗节点    int[] size; // 记录每个集合的个数    int n; // 有多少个点    public UnionFind(int n) { this.n = n; fa = new int[n]; size = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) {     fa[i] = i; // 一开始所有节点的父节点都是它自己     size[i] = 1; }    }    // 查询 从下往上找祖宗节点 一定是以链表的方式 所以可以用递归/while()循环实现    public int find(int x) { if (fa[x] == x) return x; return find(fa[x]);    }    // 合并    public void merge(int x, int y) { int fx = find(x); // 拿到x的祖宗节点 int fy = find(y); // 拿到y的祖宗节点 if (fx == fy) return; // 谁小 谁做子树 if (size[fx] < size[fy]) {     fa[fx] = fy;     size[fy] += size[fx]; } else {     fa[fy] = fx;     size[fx] += size[fy]; }    }}

$Find$ 和 $Union$ 操作都优化为了 $O(logN)$ 。

我们来进行最终优化——路径压缩。

Weighted Quick-Union With Path Compression算法

路径压缩（维护到祖宗节点距离的并查集）

把我们整个链扁平化：

• 当找到该节点的祖宗节点时，我们就直接将该节点指向祖宗节点，进行路径压缩，让最终的树高只有2。

路径压缩 代码实现

// Weighted Quick-Union With Path Compressionclass UnionFind {    int[] fa; // 记录祖宗节点    int n; // 有多少个点    public UnionFind(int n) { this.n = n; fa = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) {     fa[i] = i; // 一开始所有节点的父节点都是它自己 }    }    // 查询 从下往上找祖宗节点 一定是以链表的方式 所以可以用递归/while()循环实现    public int find(int x) { if (fa[x] == x) return x; int root = find(fa[x]); fa[x] = root; // 路径压缩 => 直接让当前节点指向祖宗节点 return root; /* 简化版： if (fa[x] != x) fa[x] = find(fa[x]); return fa[x]; */    }    // 合并    public void merge(int x, int y) { int fx = find(x); // 拿到x的祖宗节点 int fy = find(y); // 拿到y的祖宗节点 if (fx == fy) return; fa[fx] = fy; // 这里谁做子树就随意了    }}

$Find$ 和 $Union$ 操作近似的都优化为了 $O(1)$ 。

并查集总结

在使用的时候尽量使用我们第四个最优化的算法，因为前三个都比较慢。

推荐阅读：

1. 并查集(Union-Find) 算法介绍
2. 并查集(Union-Find) 应用举例 — 基础篇

LeetCode真题

经典面试题—并查集基础

LeetCode547. 省份数量

难度：mid

读完题发现，这道题描述的就是一个并查集的经典问题，题中的省份就是一个并查集的集合。

本题涉及到了图论的邻接矩阵，其实只是涉及到了二维数组的下标存储。

在一个 $n\times n$ 的矩阵中，$isConnected[i][j]=1$ 则代表第 $i$ 个城市和第 $j$ 个城市相连，分析第一个样例：

转换为邻接矩阵后发现 $[1,2]$ 和 $[2,1]$ 两个城市是连通的，$1$ 和 $2$ 构成了 一个集合，$3$ 自己单独构成了一个集合， 所以返回 $2$ 。

我们可以忽略对角线的 $1$，因为对角线代表的两个城市都只是自己。

LeetCode题解：代码实现

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LeetCode200. 岛屿数量

难度：mid

一个并查集的裸题，就是求在一个矩阵中，有几个 $1$ 的集合。

具体细节实现看代码，有两个小trick：

① 二维数组中的查找优化：只需判断该点左和上方向的数。

② 我们怎么合并上下左右为1的数字呢？利用二维数组的下标 给每一个数字一个编号。

LeetCode题解：代码实现

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LeetCode990. 等式方程的可满足性

难度：mid

这个题如果没学过并查集，想必很难做出来，但当你学过并查集之后，就很容易想到这就是一个维护集合的问题。

两个字母 $ab$，中间的符号要么是 $!=$ 要么是 $==$；

如果是 $==$ 就相当于是一次合并操作，我们就将 $a$ 和 $b$ 放入一个集合当中；
如果是 $!=$ 就相当于是一次查询操作，查询 $a$ 和 $b$ 是否在一个集合，返回 $true/false$。

LeetCode题解：代码实现

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经典面试题—并查集进阶

LeetCode684. 冗余连接

难度：mid

一棵树 $n$ 个节点，$n-1$ 条边，题中的树：$n$ 个节点，$n$ 条边，所以多了这一条边，肯定会给这棵加一个环。

所以本题最终目的就是判环，哪条边会使这棵树出现环，这个边 就是我们可以删去的边。

就是在添加时判断是否已经连通过了。

LeetCode题解：代码实现

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LeetCode1319. 连通网络的操作次数

难度：mid

$connections[i]=[a,b]$ 代表连接了 $a$ 和 $b$，给了我们初始的连接方式，我们可以断开任意的线并连接到新的计算机中，求最小操作次数。

本质上还是求我们集合的数量。$3$ 个集合我们需要操作 $2$ 次，$2$ 个集合我们需要操作 $1$ 次，用并查集求解就简单了许多。

$ans=集合数量-1$

LeetCode题解：代码实现

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LeetCode128. 最长连续序列

难度：mid

这道题用并查集来做的话，我们可以把连续的数字放到一个集合中，最后返回一个最大的集合。

我们怎么把连续的数放到一个集合呢？

示例1中，对于 $2$ 这个数，它的相邻数字是 $1$ 和 $3$，我们只需要把 $1$ 和 $3$ 的下标存入我们的集合即可，也就是 $3$ 和 $4$，我们可以用哈希做映射。

对于封装的并查集类，我们需要加一个 $cnt[]$ 来记录我们每个集合的大小。

LeetCode题解：代码实现

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LeetCode947. 移除最多的同行或同列石头

难度：mid

我们先把所有点都画出来，然后将所有同一行，同一列的点连起来，形成一个集合：

如果一块石头的 同行或者同列 上有其他石头存在，那么就可以移除这块石头。

所以我们可以将一个集合中 移动到只剩 $1$ 个石子。

所以本题本质： 最大移除石子数 = 原有石头数 - 剩余石头数量 = 合并次数

LeetCode题解：代码实现

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LeetCode1202. 交换字符串中的元素

难度：mid

注意题中一句话：你可以 任意多次交换 在 pairs 中任意一对索引处的字符。

只要把这句话理解了，那么你就会发现这道题可以用并查集求解。

示例1表述的并不是很清楚，我们看示例2：

这个 $pairs$ 代表着 $0123$ 都在一个集合中，所以 $dcab$ 可以进行任意次数的交换而达到字典序最小的 $abcd$。

示例3：

这个 $pairs$ 代表着 $012$ 都在一个集合中，所以 $cba$ 可以进行任意次数的交换而达到字典序最小的 $abc$。

所以上面的那句话的意思就是：我们可以 在一个集合中 任意交换集合中的元素 使得该集合的字典序最小。

我们可以对每个集合排序，那还有别的办法吗？

不难想到用堆来做，我们可以维护 $n$ 个小顶堆，一个并查集的集合对应着一个堆，每次把堆顶元素 $pop()$ 掉。

上篇文章讲了堆：数据结构学习笔记 2-2 堆（Heap）与优先队列与 LeetCode真题（Java）

LeetCode题解：代码实现

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经典面试题—附加选做题

LeetCode765. 情侣牵手

难度：hard

$N$ 对情侣一开始可能并没有坐到一起，我们要将其中的两个人交换，使得每对情侣坐到一起，求最少交换次数。

毕竟是一个 $hard$ 题，我们找一下规律：

假如现在有 $3$ 对情侣：

$(0,1)$

$(2,3)$

$(4,5)$

那么在计算机中：

$0/2=0,1/2=0$

$2/2=1,3/2=1$

$4/2=2,5/2=2$

所以：$N$ 对情侣我们就维护 $N$ 个集合，这 $3$ 对情侣的集合编号分别为 $012$。

如示例1所示：$row=[0,2,1,3]$，他们两对情侣就属于下图左边的情况，$0$ 集合 和 $1$ 集合有相交，所以此时只有 $1$ 个集合，最少操次数就是 $N-1=1$。

如果 $row=[0,1,2,3]$，他们两对情侣就属于下图右边的情况，$0$ 集合 和 $1$ 集合无相交，此时有 $2$ 个集合，最少操次数就是 $N-2=0$，两对情侣本身就是挨在一起的，无需交换。

那么对于三对情侣：$row=[0,2,1,4,5,3]$，是否也成立呢？

$N-1=2$，最少交换次数的确是 $2$ 次。

所以得出：$最少交换次数=情侣对数-集合数=>ans=N-cnt$

找到了规律那么代码实现就很简单了。

LeetCode题解：代码实现

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LeetCode685. 冗余连接 II

难度：hard

在冗余连接Ⅰ中 是无向图，在冗余连接Ⅱ 中是有向图。

有向树：

1. 无环
2. 入度只为 $0$ 或 $1$（只有根节点的入度为 $0$ 其余节点的入度为 $1$）

我们可以用并查集来判断有向树是否有环，用一个 $vis[]$ 数组来记录每个节点的入度是多少。

所以我们的操作就是：删边建树

因为也有一条附加边，我们遍历每条边，判断删掉它之后 是否符合我们有向树的定义即可。

LeetCode题解：代码实现

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总结

本章重点是并查集基础知识的推导过程，但是在使用并查集时我们都要使用最终优化版本——路径压缩

目前Java类库并没有实现并查集类，所以每次我们做题需要自己实现一个并查集；

实现也非常简单，一个find查询方法，一个merge合并方法；当然，有时候还需要计数、记录状态，只需要在我们原有的数据结构添加所需要的功能即可。

其实我们发现，并查集使用起来非常简单，难就难在后面的有些题，我们看不出来可以用并查集求解，当你发现这道题可以用并查集求解，那这道题的代码实现就很轻松了。