【开卷数据结构 】稀疏矩阵
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🌺稀疏矩阵
🍁矩阵与稀疏矩阵的定义
Q：什么是矩阵
A：数学上，一个矩阵由 m 行 n 列的元素组成，是一个 m 行，n 列的表，m 和 n 是矩阵的维度。一般地，写作 mxn（读作“m乘n”）来指明一个 m 行 n 列矩阵。矩阵的元素个数总计为 mn 个。如果 m 等于 n ，矩阵为方阵。
一般情况下，矩阵的标准存储方式是一个二维数组 a[MAX_ROWS][MAX_COLS] 。利用这种存储方式，可以通过 a[i][j] ，通过行下标，列下标快速找到任意元素的存储位置。
Q：什么是稀疏矩阵
A：一个矩阵的绝大部分都为零元素，我们把这种矩阵称为稀疏矩阵。
如图：矩阵中只有 2/15 是非零元素，这就是一个标准的稀疏矩阵
Q：二维数组储存矩阵的缺点
A：如果一个矩阵中包含很多零元素（是稀疏矩阵），就会浪费大量的存储空间。因此，稀疏矩阵的存储表示只需存储非零元素。
Q：稀疏矩阵的存储方式
A：通过对矩阵的分析，我们发现使用三元组 能够唯一的刻画矩阵的任意一个元素。这意味者可以使用三元数组来存储表示稀疏矩阵。
💬 代码演示
#define MAX_TERMS 101//定义最大长度 typedef struct{int col;int row;int xalue;}term;term a[MAX_TERMS];我们可以用 a[0].row 表示行的数目，用 a[0].col 表示列的数目，用 a[0].value 表示非零元素的总数。其他位置 row 域存放行下标， col 域存放列下标，value 域存放元素值。三元组按照行的顺序排序，并且在同一行内按照列的顺序排序。
稀疏矩阵存储为三元组 行 列 值 a[0] 5 6 4 a[1] 0 0 15 a[2] 1 1 11 a[3] 2 3 6 a[4] 4 0 9
🌺稀疏矩阵的转置
🍁详细思路
为了转置一个矩阵，必须交换它的行和列。也就是说，原矩阵的任意元素 a[i][j] 应该成为其转置矩阵的元素 b[j][i]
🍀思路一
依次循环每一列，找到每一列的所有元素并把他们储存在转置矩阵的对应的行上。
//伪代码for 对于 j 列的所有元素 把元素放置在元素中💬 代码演示
void transpose(term a[],term b[])//b是a的转置 {int n,i,j,currentb;n=a[0].value;//元素总数 b[0].row=a[0].col;//b的行数=a的列数b[0].co 1=a[0].row; //b的列数=a的行数b[0].value =n;if(n> 0) {// 非零矩阵 currentb=1;for(i=0;i<a[0].col;i++)//按a的列转置for(j=1;j<=n;j++)//找出当前列的所有元素if(a[j].col==i){//元素是当前列的，加入bb[currentb]. row=a[j]. col;b[currentb]. col=a[j]. row;b[currentb]. value=a[j]. value;currentb++;}}}
🍀思路二
首先确定原矩阵中每一列的元素个数，这也就是其转置矩阵中每一行的元素个数。于是就可以得到转置矩阵每行的起始位置，从而，可以将原矩阵的元素依次移到其转置矩阵中的恰当位置。
💬 代码演示
void fast transpose(term a[], term b[]){//将a的转置矩阵存放于b中 int row terms[MAX_COL], starting pos[MAX_COL]; int i,j, num_cols=a[0].col, num_terms=a[0].value;b[0].row=num_cols;b[0].col=a[0].row;b[0].value=num_terms;if(num_terms>0){//非零矩阵for(i=0;i<num_cols;i++)row_terms[i]=0;for(i=1;i<=num_terms;i++)row_terms[a[i]. co]]++;starting_pos[0]=1;for(i=1;i<num cols;i++)starting_pos[i]=starting_pos[i-1]+row_terms[i-l];for(i=1;i<=num_terms;i++){j=starting_pos[a[i].col]++;b[j].row=a[i].col;b[j].col=a[i].row;b[j].value=a[i].value;}}}
🌺稀疏矩阵的乘法
Q：什么是矩阵乘法
A：设A为 mxp 的矩阵，B为 pxn 的矩阵，那么称 mxn 的矩阵D为矩阵A与B的乘积，记作D=AB，其中矩阵D中的第 i 行第 j 列元素可以表示为：
注意：两个稀疏矩阵的乘积可能不再是稀疏矩阵
🍁详细思路
我们可以按照行的顺序计算D的元素，把元素存放到正确的位置，这样就不用移动已计算出的元素的位置。一般情况下，必须遍历整个B才能得到第 j 列的所有元素。但是，我们可以先计算 B 的转置，使列元素顺序相续排序，可以避免重复多次遍历整个 B 。
对于找出的 A 的第 i 行和 B 的第 j 列的所有元素，做合并操作就能实现矩阵乘法。
💬 代码演示
void storesum(term a[],int *totald,int row,int column,int *sum){//如果 *sum！=0，它的行和列存储位置为 d 中的 *totald+1if(*sum)if(*tptald<MAX_TERMS){d[++*totald].row=row;d[*totald].col=column;d[*totald].value=*sum;*sum=0;}else{fprintf(stderr,"Numbers of terms in product exceeds %d\n",MAX_TERMS); exit(1);}}void mmult(term a[], term b[], term d[])//将两个稀疏矩阵相乘 {int i,j,column,totalb=b[0].value,totald=0; int rows_a=a[0].row,cols_a=a[0].col;totala=a[0].value;int cols_b=b[0].col;int row_begin=1, row=a[1].row, sum=0; int new_b[MAX-TERMS][3];if(cols_a!=b[0].row){fprintf(stderr,"Incompatible matrices\n"); exit(1);}fast_transpose(b.new_b);//设置边界条件a[totala+1].row=rows_a;new_b[totalb+1].row=cols_b; new_b[totalb+1].col=0;for(i=1;i<=totala;){column=new_b[1].row; for(j=1;j<=totalb+1;){//将a的行乘以b的列if(a[i].row!=row){storesum(d,&totald,row,column,&sum);i=row_begin;for(;new_b[j].row==column;j++);column=new_b[j]. row;}else if(new_b[j].row!=column){storesum(d,&totald,row,column,&sum); i=row_begin;column=new_b[j].row;}else switch(COMPARE(a[i].col,new_b[j].col)){case-1://转到a中的下一项i++;break;case 0://添加项，转到a和b的下一项 sum+=(a[i++].value*new_b[j++].value); break;case 1://来到b的下一项j++;}}// for j<=totalb+1 结束循环 for(;a[i].row==row;i++);row_begin=i;row=a[i].row;}//for i<=totala 结束循环 d[0].row=rows_a;d[0].col=cols_b;d[0].value=totald;}
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