算法模板:数论之快速幂
算法模板:数论之快速幂
- 前言
- 快速幂
- 算法模板
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- 快速幂求逆元
- 完结散花
- 参考文献
前言
唤我沈七就好啦。
快速幂
给 你 三 个 整 数 a , k , p , 求ak m o d p 给你三个整数 a,k,p,求 a^{k} mod p 给你三个整数a,k,p,求ak mod p
数据范围
1≤n≤105
1≤ai,pi≤2∗109
思路
将 指数转化成 二进制
只需要在指数的二进制为 1 时 与 底数的幂次方 相成即可
底数的幂次方是在不断 自乘的中生成的
实现方法
每次判断 指数 二进制 末尾是否是 1。
如果是 就更新答案 ans = ans * a % p 之后 k >> 1。
底数自乘 a = a * a % p 。
例如: k=11,二进制下是 k=1011 。
b ( 二 进 制 ) 的 最 后 一 位 是 1 吗 ? 是 的 。 这 代 表a11 =a8 ×a2 ×a1 中 的a1 存 在 。 b(二进制)的最后一位是 1 吗? 是的。这代表 a^{11} = a^8 × a^2 × a^1 中的 a^1 存在。 b(二进制)的最后一位是1吗?是的。这代表a11=a8×a2×a1中的a1存在。
这时 答案 ans = ans * a % p , a = a^1 之后 a 累乘 a = a * a % p ;
之后 在通过 k>>=1 的操作 将 k 二进制的第二位数移到最后一位,再次 判断是否 1。
ans = ans * a % p ,此时的 a = a ^ 2 % p,a 继续累乘 a = a * a % p ;
直到判断到第 3 位时发现并不为 1 ,这是 ans 不更新 ,a 继续累乘 .
重复上述操作 ans = ans * a % p ,此时 a = a ^ 8 % p;
a11 =a8 ×a2 ×a1 a^{11} = a^8 × a^2 × a^1 a11=a8×a2×a1
算法模板
typedef long long LL;LL power(LL a,LL k,LL p){LL ans=1;while(k){if(k&1)ans=ans*a%p;k>>=1;a=a*a%p;}return ans;}
快速幂求逆元
给定 n 组 a i,p i,其中 p i 是质数,求 a i 模 p i
的乘法逆元,若逆元不存在则输出 impossible
。
注意:请返回在 0∼p−1
之间的逆元。
乘法逆元的定义
若整数 b,m 互质,并且对于任意的整数 a,如果满足 b|a,则存在一个整数 x,使得 a/b≡a×x(modm),则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元,记为 b−1(modm)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时,b m−2 即为 b 的乘法逆元
人话:
x 满足 b * x = 1 %(n) 则称 x 为 b 的逆元
即 b乘其逆元的积%上一个给定的数 等于 1
当n为质数时,结合费马定理,可以用快速幂求逆元:
a / b ≡ a * x (mod n)
两边同乘b可得 a ≡ a * b * x (mod n)
即 1 ≡ b * x (mod n)
同 b * x ≡ 1 (mod n)
由费马小定理可知,当n为质数时
b ^ (n - 1) ≡ 1 (mod n)
拆一个b出来可得 b * b ^ (n - 2) ≡ 1 (mod n)
故当n为质数时,b的乘法逆元 x = b ^ (n - 2)
#includeusing namespace std;const int N = 1e6+10;typedef long long LL;int a,b;int hh,tt=-1; LL power(LL a,LL k,int p){LL ans=1;while(k){if(k&1)ans=ans*a%p;k>>=1;a=a*a%p;}return ans;}int main(){int n,m,p;cin>>n;while(n--){cin>>a>>p;if(a%p==0)printf("impossible\n");elsecout<<power(a,p-2,p)<<"\n";}return 0;}
完结散花
ok以上就是对 算法模板:数论之快速幂 的全部讲解啦,很感谢你能看到这儿。如果有遗漏、错误或者有更加通俗易懂的讲解,欢迎小伙伴私信我,我后期再补充完善。
参考文献
https://www.acwing.com/activity/content/19/