【算法❃思维与技巧】图解牛顿迭代法（力扣题实战）

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• • • 一、题目描述
    • 二、方法介绍
    • 三、代码实现
    • 四、课后练习

一、题目描述

> 🚥【问题分析】
  这个问题有很多处理方法， 比如暴力枚举法，二分查找法。但今天介绍一个大家可能没有接触过的方法——牛顿迭代法。牛顿迭代法是求方程根的一种方法，其基本的思想就是：切线是曲线的线性逼近。通过这样不断的逼近，我们最终可以得出方程的解。
 大家千万不要被牛顿的大名给吓到了，今天所讲的内容只要学过导数和三角函数就是有手就行。

二、方法介绍

①方法介绍
B是方程的零点，我们取零点附近一点A，过点A做曲线的切线与X轴交于D点。过点D做x轴的垂线，得到与曲线的交点E
我们继续过点E做曲线的切线，通过不断重复上述过程，最终使得切线与x轴的交点不断接近与零点。我们由此就可以得出零点的近似解。
是不是很简单，那我们继续往下看。
②递推关系式
我们可以从三角函数入手，以α角为例，我们可以得出以下的关系式：

③迭代结束的判断
不断迭代的过程中，x是不断趋向于零点的，同时“Xc”也是和“Xd”也是不断接近的，当Xc-Xd < 1E-6时,我们可以近似的认为此时Xc就等于零点值。
④牛顿迭代法的局限
当然牛顿迭代法也不是万能的，仅举以下几个例子：参考文章

1.对于这种凸函数反而越切越远
2.初始点选择不恰当，导致最终得出的解不是我们的目标解
3.陷入循环震荡之中
我们也不做什么具体的数学总结，大家在使用牛顿迭代法时首先预画图观察能否不断逼近零点。我想这样就能处理很多的问题了。接下来我们回到力扣题。

三、代码实现

int mySqrt(int num){    if(num == 0) return 0;    double x0 = (double)num;    while(1)    { double x1 = x0 / 2 +  num / x0 / 2; if(x0 - x1 < 1E-7)     break; x0 = x1;    }    return (int)x0;}

1.方程构建
由x ^ 2 = num我们可以构造出方程 f(x) = x^2 - num。转化为牛顿迭代法求零点问题
2. 初始点的选择
以num作为我们的初始点，经画图检验后一定会不断趋近于零点。
3.迭代关系式
从下图中我们可以看出 f(X0) / (x0 - X1) = f’(X0);

4.迭代结束的标志
当x0不断接近零点时，x0和x1也是不断接近的。当x0 - x1 < 1E-7时可以近似认为得到零点。

5.时间复杂度分析：
（证明过程来源Leetcode）

所以对于这道题目而言，这是一个logn时间复杂度的算法

四、课后练习

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