【数据结构】二叉树零基础无压力上手，超详解_数据结构二叉树在线

树形结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的。
  
• 子树是不相交的
• 除了根节点以外，每个节点有且只有一个父节点
• 一颗 N 个节点的树有 N-1 条边

概念

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node{ int value; //树中存储的数据 Node firstChild; //第一个孩子引用 Node nextBrother; //下一个兄弟引用 }

树的应用

文件管理系统（目录和文件）

二叉树

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点，即每一个节点最多只能有两个子节点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

两种特殊的二叉树

1. 满二叉树： 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 2k−12^k -12k−1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。要求从上到下，从左到右依次放。

满二叉树是一种特殊的完全二叉树

二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为 $1$ ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2i−1(i>0)2^{i-1}(i>0)2i−1(i>0) 个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为 $1$ ，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2k−1(k>=0)2^k-1(k>=0)2k−1(k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0n_0n0​，度为 $2$ 的非叶结点个数为 n2n_2n2​，则有 n0=n2+1n_0=n_2+1n0​=n2​+1
   • 度为 0 的节点会比度为 2 的节点多一个
   • 
4. 具有 $n$ 个结点的完全二叉树的深度为 log2(n+1)log_2(n+1)log2​(n+1) 向上取整
5. 对于具有 $n$ 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从 $0$ 开始编号，则对于序号为 $i$ 的结点有：
   • 若 $i>0$，双亲序号：$(i-1)/2；i=0$，$i$ 为根结点编号，无双亲结点
   • 若 $2i+1<n$，左孩子序号：$2i+1$，否则无左孩子
   • 若 $2i+2<n$，右孩子序号：$2i+2$，否则无右孩子

如何求节点

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为多少？

199+1 = 200 个节点

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为多少？
3. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为多少？

4. 一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为多少？

性质 4，log2(531+1)=nlog_2(531+1) = nlog2​(531+1)=n 向上取整，$n=10$

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储

• 顺序存储是用数组存二叉树
• 链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

//孩子表示法，一般使用这种 class Node { int val; //数据域  Node left; //左孩子的引用，常代表左孩子为根的整棵左子树  Node right; //右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树 } //孩子双亲表示法 class Node { int val; // 数据域  Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树  Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树  Node parent; // 当前节点的根节点 }

二叉树的基本操作

二叉树的遍历

前面学习过的链表，其实本质上都是在按照我们的遍历来完成的（遍历这个链表，找到对应的节点、找到尾巴等等）
任何一颗二叉树就分为两部分：

• 根节点
• 左右子树，再里面又分为根节点、左右子树

二叉树的遍历总共有四种，每一种都是沿着某条路线进行的：

• 前序遍历，根—>左—>右，上图打印结果为：ABDCEF
• 中序遍历，左—>根—>右，上图打印结果为：DBAECF
• 后序遍历，左—>右—>根，上图打印结果为：DBEFCA
• 层序遍历，从上到下，从左到右，依次遍历，上图打印结果为：ABCDEF

它们的遍历打印结果是不一样的，因为他们访问根的形式和时间都不一样

代码的实现

对下面这颗树进行遍历的代码实现：

前序遍历：ABDEHCFG
中序遍历：DBEHAFCG
后序遍历：DHEBFGCA

构造树

用一个内部类来定义 TreeNode

public class TestBinaryTree { static class TreeNode { public int val; public TreeNode left; public TreeNode right; public TreeNode(char val) {  this.val = val; } } public TreeNode creatTree() { TreeNode A = new TreeNode(\'A\'); TreeNode B = new TreeNode(\'B\'); TreeNode C = new TreeNode(\'C\'); TreeNode D = new TreeNode(\'D\'); TreeNode E = new TreeNode(\'E\'); TreeNode F = new TreeNode(\'F\'); TreeNode G = new TreeNode(\'G\'); TreeNode H = new TreeNode(\'H\'); A.left = B; A.right = C; B.left = D; B.right = E; C.left = F; C.right = G; E.right = H; return A; //根节点  } }

三种遍历方法

以前序遍历为例子进行详细解释：

任何一颗子树都是以：根—>左—>右进行遍历的，这个过程是一个不断递归的过程

1. 一切的前提是当访问的根节点为 null 时，就返回
2. 因为是根最先遍历，所以最先就是直接打印根的值
3. 然后再向左子树进行遍历
   • 直到访问到的左子树此时的根节点为 null，就掉头
4. 就对右子树进行遍历
   • 直到访问到的右子树此时的根节点位 null，就掉头
5. 执行到“}”时，就是一个递归方法结束，开始调用下一个

三种遍历的代码：

// 前序遍历 void preOrder(TreeNode root){ if(root == null){ return; } //直接打印根节点 System.out.print(root.val+\" \"); //递归遍历左子树  preOrder(root.left); //递归遍历右子树  preOrder(root.right); }// 中序遍历 public void inOrder(TreeNode root) { if(root == null){ return; } //递归遍历左子树  inOrder(root.left); //打印此时根节点的值  System.out.print(root.val+\" \"); //递归遍历右子树  inOrder(root.right); } // 后序遍历 public void postOrder(TreeNode root) { if(root == null){ return; } postOrder(root.left); postOrder(root.right); System.out.print(root.val+\" \"); }

遍历相关题目

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为？

---

我们画出这棵树：

所以它的前序序列是：ABDHECFG

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK；中序遍历：HFIEJKG。则二叉树的后序序列为？

---

我们画出这棵树：

所以它的后序序列是：HIFKJGE

3. 设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为?

---

我们画出这棵树:

所以它的前序序列为：abcde

只根据前序和后序无法画出二叉树，因为只有中序才能确定左子树和右子树的范围

4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为

---

我们画出这棵树：

所以它的层次序列为：FEDCBA

二叉树的基本操作

获取节点个数

方法一：子问题思路/递归思路

• 节点个数 = 左子树节点个数 + 右子树节点个数 + 1
• 左子树节点个数 = 左子树的左子树节点个数 + 左子树的右子树节点个数 + 1
• 右子树节点个数 = 右子树的左子树节点个数 + 右子树的右子树节点个数 + 1
• 

/*子问题思路，递归思路*/ public int size(TreeNode root) { if(root == null){ return 0; } //节点个数 = 左子树节点个数 + 右子树节点个数 + 1  int ret = size(root.left) + size(root.right) + 1; return ret; }

方法二：遍历思路

• 因为 root 将遍历每一个节点，所以当 root 每次遍历到不同的节点时，nodeSize 就 ++

/*遍历思路*/public static int nodeSize; public void size2(TreeNode root) { if(root == null){ return; } nodeSize++; //左树中的节点  size2(root.left); //右树中的节点  size2(root.right); }

获取叶子节点的个数

方法一：子问题思路/递归思路

• 整棵树的叶子节点个数 = 左子树的叶子节点 + 右子树的叶子节点

/** * 子问题思路 * 求叶子节点的个数 */ public int getLeafNodeCount(TreeNode root){ if(root == null){ return 0; } if(root.left == null && root.right == null){ return 1; } return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right); }

方法二：遍历思路

• 以某种方式遍历这棵树，只要发现是叶子就++

/** * 遍历思路 * 求叶子节点个数 */ public int leafSize; public void getLeafNodeCount2(TreeNode root){ if(root == null){ return; } if(root.left == null && root.right == null){ leafSize++; } getLeafNodeCount(root.left); getLeafNodeCount(root.right); }

获取第 K 层节点个数

第 k 层节点个数 = 左子树的 k-1 层节点个数 + 右子树的 k-1 层节点个数

• 左子树的 k-1 层节点个数 = 左子树的左子树的 k-2 层节点个数 + 左子树的右子树的 k-2 层节点个数
• …
• 

//第k层有多少个节点 public int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) { if(root == null){ return 0; } if(k == 1){ return 1; } return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) +  getKLevelNodeCount(root.right,l-1); }

获取二叉树的高度

树的高度={左树高度，右树高度}max+1树的高度 = {\\{左树高度，右树高度\\}}_{max}+1树的高度={左树高度，右树高度}max​+1
root 下来之后，每次都是取左右两边更高的那一个，再+1 递归上去

//获取二叉树的高度 public int getHight(TreeNode root) { if(root == null){ return 0; } int leftHight = getHight(root.left); int rightHight = getHight(root.right); return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1; }