20.【线性代数】——坐标系中，平行四边形面积=矩阵的行列式_行列式与平行四边形面积的关系
三 坐标系中，平行四边形面积=矩阵的行列式
-
- 定理
- 验证
定理
在坐标系中，由向量（a,b）和向量(c,d)组成平行四边形的面积= 矩阵 [ a bc d ] \\begin{bmatrix} a&b\\\\ c&d \\end{bmatrix} [acbd]的行列式，即：
平行四边形的面积 = ∣ a b c d ∣ = a d − b c 平行四边形的面积= \\begin{vmatrix} a&b\\\\ c&d \\end{vmatrix} = ad-bc 平行四边形的面积= acbd =ad−bc
验证
h
S表示面积
S 红4 = c d S 绿5 = a b S 橙6 = a b S 黄7 = c d S_{\\text{红4}} = cd \\newline S_{\\text{绿5}} = ab \\newline S_{\\text{橙6}} = ab \\newline S_{\\text{黄7}} = cd S红4=cdS绿5=abS橙6=abS黄7=cd
得出
S 绿5 = S 橙6 S 红4 = S 黄7 S 蓝8 + S 绿5 + S 红4 = a d S_{\\text{绿5}}=S_{\\text{橙6}} \\newline S_{\\text{红4}} = S_{\\text{黄7}} \\newline S_{\\text{蓝8}} + S_{\\text{绿5}} + S_{\\text{红4}} = ad S绿5=S橙6S红4=S黄7S蓝8+S绿5+S红4=ad
图中， S 紫 = S 紫1 + S 紫2 + S 紫3 =bc S_{\\text{紫}} = S_{\\text{紫1}} + S_{\\text{紫2}} +S_{\\text{紫3}} = bc S紫=S紫1+S紫2+S紫3=bc
现在看平行四边形的面积，如下：
S 平行四边形 = S 蓝8 + ( S 橙6 − S 紫2 ) + ( S 黄7 − S 紫1 ) − S 紫3 S_{\\text{平行四边形}} = S_{\\text{蓝8}} + (S_{\\text{橙6}} - S_{\\text{紫2}}) + (S_{\\text{黄7}} - S_{\\text{紫1}}) - S_{\\text{紫3}} S平行四边形=S蓝8+(S橙6−S紫2)+(S黄7−S紫1)−S紫3
减去 S 紫3 S_{\\text{紫3}} S紫3，是因为 S 紫3 S_{\\text{紫3}} S紫3加了两次
S 平行四边形 = S 蓝8 + ( S 橙6 − S 紫2 ) + ( S 黄7 − S 紫1 ) − S 紫3 = S 蓝8 + S 橙6 + S 黄7 − S 紫1 − S 紫2 − S 紫3 = ( S 蓝8 + S 绿5 + S 红4 ) − ( S 紫1 + S 紫2 + S 紫3 ) = a d − b c \\begin{aligned} S_{\\text{平行四边形}} & = S_{\\text{蓝8}} + (S_{\\text{橙6}} - S_{\\text{紫2}}) + (S_{\\text{黄7}} - S_{\\text{紫1}}) - S_{\\text{紫3}} \\newline & = S_{\\text{蓝8}} + S_{\\text{橙6}} + S_{\\text{黄7}} - S_{\\text{紫1}} - S_{\\text{紫2}}-S_{\\text{紫3}} \\newline & = (S_{\\text{蓝8}} + S_{\\text{绿5}} + S_{\\text{红4}}) - (S_{\\text{紫1}} +S_{\\text{紫2}}+S_{\\text{紫3}}) \\newline & = ad-bc \\end{aligned} S平行四边形=S蓝8+(S橙6−S紫2)+(S黄7−S紫1)−S紫3=S蓝8+S橙6+S黄7−S紫1−S紫2−S紫3=(S蓝8+S绿5+S红4)−(S紫1+S紫2+S紫3)=ad−bc
