【C++】AVL 树平衡二叉搜索的神奇结构，代码实现全解析，从概念到应用，助你轻松掌握这一高效数据结构，编程能力更上一层楼！
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目录
AVL树实现
AVL的概念
AVL树的实现
AVL树的结构
AVL树的插⼊
AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程
平衡因⼦更新
旋转
旋转的原则
右单旋
右单旋代码实现
右单旋代码
左单旋
左单旋代码实现
左右双旋
左右双旋代码实现
左右双旋的代码
右左双旋
右左双旋代码实现
AVL树的查找
AVL树平衡检测
AVL树的代码
AVLtree.h
test.cpp
AVL树实现
AVL的概念
- AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的 左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树， 通过控制⾼度差去控制平衡。
- AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962 年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
- AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何 结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡， 就像⼀个⻛向标⼀样。
- 思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更 好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐ 如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0
- AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在logN，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN)，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
AVL树
下面这个就不是AVL树了
AVL树的实现
AVL树的结构
//节点templatestruct AVLtreeNode{pair _kv; //值AVLtreeNode* _left; //左子树AVLtreeNode* _right; //右子树AVLtreeNode* _parent; //父节点int _bf; //平衡因子AVLtreeNode(const pair& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}};templateclass AVLTree{ //重命名为Nodetypedef AVLTreeNode Node;public://...private:Node* _root = nullptr;};AVL树的插⼊
AVL树插⼊⼀个值的⼤概过程
- 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。
- 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新 从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可 以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
- 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束
- 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树 的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。
平衡因⼦更新
更新原则：
- 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度
- 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。
- 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左⼦树，parent平衡因⼦--
- parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新
更新停⽌条件：
- 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前 parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会 影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
- 更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说 明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所 在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上 更新。
- 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说 明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼ 了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把 parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不 需要继续往上更新，插⼊结束。
更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理
更新到中间结点3，平衡因子为0，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束
最坏更新到根停⽌
插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现
//节点templatestruct AVLtreeNode{pair _kv; //值AVLtreeNode* _left; //左子树AVLtreeNode* _right; //右子树AVLtreeNode* _parent; //父节点int _bf; //平衡因子AVLtreeNode(const pair& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0){}};templateclass AVLtree{typedef AVLtreeNode Node;public://插入bool insert(const pair& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv); return true;}Node* cur = _root;Node* par = nullptr;//走到空while (cur){//小于往左走if (kv.first _kv.first){par = cur;cur = cur->_left;}//大于往右走else if (kv.first > cur->_kv.first){par = cur;cur = cur->_right;}else{return false;}}//判断该插入左边还是右边 cur = new Node(kv);if (kv.first _kv.first){par->_left = cur;}else{par->_right = cur;}//连接父亲节点 cur->_parent = par;//更新平衡因子while (par != nullptr){//是左子树平衡因子就--if (par->_left == cur){par->_bf--;}else //是右子树平衡因子就++{par->_bf++;}if (par->_bf == 0){//更新结束break;}else if (par->_bf == 1 || par->_bf == -1){//继续向上更新cur = par;par = par->_parent;}else if (par->_bf == 2 || par->_bf == -2){//不平衡,旋转处理 //旋转完结束循环break}else{//其他数值就说明有问题，assert报错assert(false);}} return true;}private:Node* _root = nullptr;};旋转
旋转的原则
1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什 么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的规则即可。
右单旋
- 本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树， 是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种
