数学建模：评价决策类——模糊综合评价法

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1.引言

2.模糊集合的分类

3.评价问题概述

4.解题步骤

5.举例说明

6.代码实现

1.引言

处理现实的数学模型可分为三大类：

1）确定性数学模型，即模型背景具有确定性，对象之间具有必然关系。

2）随机性数学模型，即模型背景具有随机性和偶然性。

3）模糊性模型，即模型背景及关系具有模糊性，判断的‘不分明性’。

今天我们来介绍下模糊性模型。

2.模糊集合的分类

主要有三类：偏小型、中间型和偏大型，类似于TOPSIS法中的极大型、极小型、中间型、区间型指标。

举个例子来说就是：“年轻”是一个偏小型的模糊集合，岁数越小，隶属度越大，就越“年轻”；“年老”则是一个偏大型的模糊集合，岁数越大，隶属度越大，就越“年老”；而“中年”则是一个中间型集合，岁数只有处在某个中间的范围，隶属度才越大。

然而不管模糊集合是哪一种类型，隶属度越大，属于这个集合的程度也越大。

3.评价问题概述

模糊评价问题是要把论域中的对象对应评语集中一个指定的评语，或者将方案作为评语集并选择一个最优方案。
在模糊综合评价中，引入三个集合：
① 因素集（评价指标集）： $U=\\begin{Bmatrix} u_1,u_2,...,u_n \\end{Bmatrix}$

② 评语集（评语的结果）： $V=\\begin{Bmatrix} v_1,v_2,...,v_n \\end{Bmatrix}$

③ 权重集（指标的权重）： $A=\\begin{Bmatrix} a_1,a_2,...,a_n \\end{Bmatrix}$

例如：评价一个学生的表现：

U={专业排名，课外实践，志愿服务，竞赛成绩}

V={优，良，差}

A={0.4，0.2，0.1，0.3}

4.解题步骤

1.一级模糊综合评价：

① 构造判断矩阵R。

② 进行模糊综合评判：B=A·R（即权重·判断矩阵）。

2.多层次模糊综合评价模型（结合后面例题会好理解一些）：

① 给出被评价的对象集合： $X=\\begin{Bmatrix} x_1,x_2,...,x_k \\end{Bmatrix}$

② 确定因素集（指标体系）： $U=\\begin{Bmatrix} u_1,u_2,...,u_n \\end{Bmatrix}$ ，
若因素众多，往往将 $U=\\begin{Bmatrix} u_1,u_2,...,u_n \\end{Bmatrix}$ 按某些属性分成 s 个子集，即 $U_i=\\begin{Bmatrix} u_{1}^{(i)},u_{2}^{(i)},...,u_{ni}^{(i)} \\end{Bmatrix}\\ ,i=1,2,...,s$

③ 确定评语集： $V=\\begin{Bmatrix} v_1,v_2,...,v_m \\end{Bmatrix}$ 。

④ 由因素集 $U_i$ 与评语集 $V$ ，可获得一个评价矩阵 $R_i$ 。

⑤ 对每一个 $U_i$ ，分别作出综合决策， $B_i=A_i\\cdot R_i$ 。

⑥ 将每一个 $U_i$ 视为一个元素，记 $U=\\begin{Bmatrix} u_1,u_2,...,u_s \\end{Bmatrix}$ ，可得 $U$ 的单因素判断矩阵 $R$ ，将每个 $U_i$ 作为 $U$ 的一部分，反映了 $U$ 的某种属性，按重要性分配权重 $A=(a_1,a_2,...,a_s)$ ，由此得到二级模糊综合评价模型为： $B=A\\cdot R$

⑦ 依次类推可以得到多层次模糊综合评价模型。

5.举例说明

例：对某陶瓷厂生产的6种产品的销售前景进行评判。

1）影响评判对象因素集的选取
从产品情况、销售能力、市场需求三个方面考虑，根据专家评判法，得到评判对象因素集及子因素组成（如下图），因素后面数据表示权重：

2）备择集 V={1,2,3,4,5,6} 代表6种不同的陶瓷产品。

3）一级模糊综合评价
通过上图可以看出，“运行费用”下属的三级指标是定量指标，有具体数据，对这些数据进行归一化即可求出各种产品的该指标与总指标的比重，得到单因素隶属度。而其他因素如产品品牌、产品质量等可以通过市场调查，把消费者满意度来作为单因素隶属度。
6种产品的单因素隶属度如下表：

因素产品1 产品2 产品3 产品4 产品5 产品6 u_11产品品牌 0.12 0.18 0.17 0.23 0.13 0.17 u_12产品质量 0.15 0.13 0.18 0.25 0.12 0.17 u_13性价比 0.14 0.13 0.16 0.18 0.20 0.19 u_14产品款式 0.12 0.14 0.15 0.17 0.19 0.23 u_15产品包装 0.16 0.12 0.13 0.25 0.18 0.16 u_21店铺信用度 0.13 0.15 0.14 0.18 0.16 0.24 u_22售后服务 0.12 0.16 0.13 0.17 0.19 0.23 u_23运行费用 u_231材料费

0.18

0.14

0.18

0.14

0.13

0.23

u_232运输费用

0.15

0.20

0.15

0.25

0.10

0.15

u_233设备维修费用

0.25

0.12

0.13

0.12

0.18

0.20

u_234设备折旧费用

0.16

0.15

0.21

0.11

0.20

0.17

u_235人员工资

0.23

0.18

0.17

0.16

0.15

0.11

u_236电耗费用

0.19

0.13

0.12

0.11

0.33

u_237水耗费用

0.17

0.16

0.15

0.08

0.25

0.19

u_24销售人员能力

0.14

0.13

0.15

0.16

0.18

0.24

u_25广告、宣传

0.16

0.15

0.17

0.18

0.19

u_31行业需求

0.15

0.14

0.13

0.18

0.14

0.26

u_32家庭需求 0.16 0.15 0.18 0.14 0.16 0.21

由上表可知：影响运行费用的各因素的单因素评价矩阵 $R_{23}=\\begin{bmatrix} 0.18&0.14 & 0.18& 0.14&0.13 &0.23 \\\\ 0.15& 0.20& 0.15& 0.25& 0.10&0.15 \\\\ 0.25&0.12 &0.13 &0.12 &0.18 &0.20 \\\\0.16 &0.15 &0.21 &0.11 &0.20 &0.17 \\\\0.23 & 0.18& 0.17& 0.16&0.15 &0.11 \\\\0.19 &0.13 &0.12 &0.12 &0.11 &0.33 \\\\0.17 & 0.16&0.15 &0.08 &0.25 &0.19 \\end{bmatrix}$
又已知权重分配 $A_{23}=\\begin{bmatrix} 0.20 & 0.15 &0.10 & 0.10 & 0.20& 0.15& 0.10 \\end{bmatrix}$ 所以运行费用的一级评判为： $B_{23}=A_{23}\\cdot R_{23}=\\begin{bmatrix} 0.1910 & 0.1565& 0.1595 & 0.1465& 0.1505& 0.1960 \\end{bmatrix}$

4）二级模糊综合评价
对产品情况、销售能力、市场需求下属的单因素指标进行二级评判，可知：
① 产品情况的二级评判：
$R_1=\\begin{bmatrix} 0.12 & 0.18 & 0.17& 0.23 & 0.13& 0.17\\\\ 0.15& 0.13 & 0.18& 0.25 & 0.12&0.17 \\\\ 0.14& 0.13& 0.16& 0.18 & 0.20& 0.19\\\\ 0.12& 0.14 & 0.15 &0.17 & 0.19&0.23 \\\\ 0.16& 0.12 & 0.13 & 0.25 & 0.18 & 0.16 \\end{bmatrix}$
$A_1=\\begin{bmatrix} 0.15 & 0.40 & 0.25 & 0.10& 0.10 \\end{bmatrix}$
所以产品情况的二级评判如下： $B_1=A_1\\cdot R_1=\\begin{bmatrix} 0.1410 &0.1375 & 0.1655 & 0.2215& 0.1545 & 0.1800 \\end{bmatrix}$
② 销售能力的二级评判：
可将运行费用的一级评判结果作为二级的单因素评价值，即评价矩阵的第三行，如此可以得到：
$R_2=\\begin{bmatrix} 0.13 & 0.15 & 0.14 & 0.18 & 0.16&0.24 \\\\ 0.12& 0.16 & 0.13& 0.17 & 0.19 & 0.23\\\\ 0.1910& 0.1565 & 0.1595 & 0.1465 &0.1505 &0.1960 \\\\ 0.14&0.13 & 0.15 & 0.16& 0.18&0.24 \\\\ 0.16& 0.15& 0.15 & 0.17 & 0.18 & 0.19 \\end{bmatrix}$ $A_2=\\begin{bmatrix} 0.20 &0.15 & 0.25 & 0.25 & 0.15 \\end{bmatrix}$
所以 $B_2=A_2\\cdot R_2=\\begin{bmatrix} 0.1508 & 0.1481 & 0.1474 & 0.1636& 0.1701 & 0.2200 \\end{bmatrix}$
③ 市场需求的二级评判：
$R_3=\\begin{bmatrix} 0.15 & 0.14 & 0.13& 0.18& 0.14&0.26 \\\\ 0.16 & 0.15 & 0.18 & 0.14& 0.16 & 0.21 \\end{bmatrix}$
$A_3=\\begin{bmatrix} 0.55 &0.45 \\end{bmatrix}$
所以 $B_3=A_3\\cdot R_3=\\begin{bmatrix} 0.1545 &0.1445 &0.1525 &0.1620 &0.1490 &0.2375 \\end{bmatrix}$

5）三级模糊综合评价
将二级评判结果 $B_1,B_2,B_3$ 作为行，组成三级评判的单因素评判矩阵：
$R=\\begin{bmatrix} B_1\\\\ B_2\\\\ B_3 \\end{bmatrix}$
权重分配 $A=\\begin{bmatrix} 0.40 &0.30 &0.30 \\end{bmatrix}$
所以 $B=A\\cdot R=\\begin{bmatrix} 0.1480 &0.1428 &0.1562 &0.1863 &0.1575 &0.2093 \\end{bmatrix}$

由以上结果可知，产品 6 得分最高，可加大投资，产品 1、2 得分较低，应减少投资。

6.代码实现

import numpy as np# 1.一级综合模糊评价# 影响运行费用的各因素的单因素评价矩阵为：R23=np.array([ [0.18,0.14,0.18,0.14,0.13,0.23], [0.15,0.20,0.15,0.25,0.10,0.15], [0.25,0.12,0.13,0.12,0.18,0.20], [0.16,0.15,0.21,0.11,0.20,0.17], [0.23,0.18,0.17,0.16,0.15,0.11], [0.19,0.13,0.12,0.12,0.11,0.33], [0.17,0.16,0.15,0.08,0.25,0.19]])# 权重分配为A23=np.array([0.20,0.15,0.10,0.10,0.20,0.15,0.10])# 评价结果B23=np.dot(A23,R23)# 2.二级模糊综合评价# 产品情况的二级评判如下：R1=np.array([ [0.12,0.18,0.17,0.23,0.13,0.17], [0.15,0.13,0.18,0.25,0.12,0.17], [0.14,0.13,0.16,0.18,0.20,0.19], [0.12,0.14,0.15,0.17,0.19,0.23], [0.16,0.12,0.13,0.25,0.18,0.16]])A1=np.array([0.15,0.40,0.25,0.10,0.10])B1=np.dot(A1,R1)# 销售能力二级评判如下：R2=np.array([ [0.13,0.15,0.14,0.18,0.16,0.25], [0.12,0.16,0.13,0.17,0.19,0.23], B23, [0.14,0.13,0.15,0.16,0.18,0.24], [0.16,0.15,0.15,0.17,0.18,0.19]])A2=np.array([0.2,0.15,0.25,0.25,0.15])B2=np.dot(A2,R2)# 市场需求的二级评判R3=np.array([ [0.15,0.14,0.13,0.18,0.14,0.26], [0.16,0.15,0.18,0.14,0.16,0.21]])A3=np.array([0.55,0.45])B3=np.dot(A3,R3)# 3.三级模糊综合评判R=np.array([B1,B2,B3])A=np.array([0.4,0.3,0.3])B=np.dot(A,R)print(B)

输出结果：

数学建模：评价决策类——模糊综合评价法