8.2 线性变换的矩阵

一、线性变换的矩阵

本节将对每个线性变换 $T$ 都指定一个矩阵 $A$. 对于一般的列向量，输入 $\mathbf{v}$ 在空间 V=Rn\\pmb{\\textrm V}=\\pmb{\\textrm R}^nV=Rn 中，输出 $T(\mathbf{v})$ 在空间 W=Rm\\textrm{\\pmb W}=\\pmb{\\textrm R}^mW=Rm 中，则这个变换的矩阵 $A$ 即是 $m\times n$ 的，我们在 $\text{V}$ 和 $\text{W}$ 中基向量的选取将决定 $A$.
Rn\\textrm{\\pmb R}^nRn 和 Rm\\textrm{\\pmb R}^mRm 中的标准基向量是 $I$ 的列向量，这种选择可以得到一个标准矩阵，就是通常情况下的 $T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}$. 但是这些空间也有其它的基，所以同样的变换 $T$ 还可以用其它的矩阵表示。线性代数的主要研究目的之一就是选择出线性变换 $T$ 的最佳矩阵（对角矩阵）。
所有的向量空间 $\text{V}$ 和 $\text{W}$ 都有基，选择每一种基都会得到 $T$ 的一个矩阵，当输入基和输出基不相等时，$T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$ 的矩阵就不再是单位矩阵 $I$，而是 “基变换矩阵（change of basis matrix）”. 以下是核心思想：

假设我们已知输入基向量 v1,v2,⋯ ,vn\\boldsymbol v_1,\\boldsymbol v_2,\\cdots,\\boldsymbol v_nv1​,v2​,⋯,vn​ 的变换 T(v1),T(v2),⋯ ,T(vn)T(\\boldsymbol v_1),T(\\boldsymbol v_2),\\cdots,T(\\boldsymbol v_n)T(v1​),T(v2​),⋯,T(vn​).
则这个矩阵 $A$ 的第 $1$ 列到第 $n$ 列是这些输出 T(v1),T(v2),⋯ ,T(vn)T(\\boldsymbol v_1),T(\\boldsymbol v_2),\\cdots,T(\\boldsymbol v_n)T(v1​),T(v2​),⋯,T(vn​). 此处输出基向量是标准正交基向量。
$A左乘\mathbf{c}=矩阵左乘向量=A的n个列向量的线性组合$.
$A\mathbf{c}$ 就是线性组合 c1T(v1)+c2T(v2)+⋯+cnT(vn)=T(v)c_1T(\\boldsymbol v_1)+c_2T(\\boldsymbol v_2)+\\cdots+c_nT(\\boldsymbol v_n)=T(\\boldsymbol v)c1​T(v1​)+c2​T(v2​)+⋯+cn​T(vn​)=T(v).

原因： 每个 $\mathbf{v}$ 都是基向量 vj\\boldsymbol v_jvj​ 唯一的线性组合 c1v1+c2v2+⋯+cnvnc_1\\boldsymbol v_1+c_2\\boldsymbol v_2+\\cdots+c_n\\boldsymbol v_nc1​v1​+c2​v2​+⋯+cn​vn​，由于 $T$ 是线性变换，$T(\mathbf{v})$ 一定是输出向量 T(vj)T(\\boldsymbol v_j)T(vj​) 相同的线性组合 c1T(v1)+c2T(v2)+⋯+cnT(vn)c_1T(\\boldsymbol v_1)+c_2T(\\boldsymbol v_2)+\\cdots+c_nT(\\boldsymbol v_n)c1​T(v1​)+c2​T(v2​)+⋯+cn​T(vn​).
例1 中给出的矩阵 $A$ 选择的是 R2\\textrm {\\pmb R}^2R2 和 R3\\textrm{\\pmb R}^3R3 空间中的标准基向量。

【例1】假设变换 $T$ 将基向量 v1=(1,0)\\boldsymbol v_1=(1,0)v1​=(1,0) 变换为 T(v1)=(2,3,4)T(\\boldsymbol v_1)=(2,3,4)T(v1​)=(2,3,4)，将第二个基向量 v2=(0,1)\\boldsymbol v_2=(0,1)v2​=(0,1) 变换为 T(v2)=(5,5,5)T(\\boldsymbol v_2)=(5,5,5)T(v2​)=(5,5,5). 如果 $T$ 是 R2\\textrm{\\pmb R}^2R2 到 R3\\pmb{\\textrm R}^3R3 的线性变换，则这个 “标准矩阵” 是 $3\times 2$ 的。输出向量 T(v1)T(\\boldsymbol v_1)T(v1​) 和 T(v2)T(\\boldsymbol v_2)T(v2​) 是 $A$ 的列向量：A=[253545]c1=1 且 c2=1 得到 T(v1+v2)=[253545][11]=[789]A=\\begin{bmatrix}2&5\\\\3&5\\\\4&5\\end{bmatrix}\\kern 20ptc_1=1\\,且\\,c_2=1\\,得到\\,T(\\boldsymbol v_1+\\boldsymbol v_2)=\\begin{bmatrix}2&5\\\\3&5\\\\4&5\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}1\\\\1\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}7\\\\8\\\\9\\end{bmatrix}A=​234​555​​c1​=1且c2​=1得到T(v1​+v2​)=​234​555​​[11​]=​789​​

二、基的变换

【例2】假设输入空间 V=R2\\textrm{\\pmb V}=\\textrm{\\pmb R}^2V=R2 也是输出空间 W=R2\\textrm{\\pmb W}=\\textrm{\\pmb R}^2W=R2，$T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$ 是恒等变换（identity transformation），此时我们可能会认为变换矩阵就是单位矩阵 $I$，但是这只有在输入基和输出基相同的情况下才会出现。下面会选择不同的基以演示矩阵是如何构造的。
对于这种特殊情况 $T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$，这里用矩阵 $B$ 来替代 $A$，我们要将基 vi\\boldsymbol v_ivi​ 变换为基 wi\\boldsymbol w_iwi​，每个 vi\\boldsymbol v_ivi​ 均为 w1\\boldsymbol w_1w1​ 和 w2\\boldsymbol w_2w2​ 的线性组合。输入基[v1v2]=[3638]输出基[w1w2]=[3012]基的变换v1=1w1+1w2v2=2w1+3w2\\begin{array}{l}\\pmb{输入基}\\kern 5pt\\begin{bmatrix}\\boldsymbol v_1&\\boldsymbol v_2\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}3&6\\\\3&8\\end{bmatrix}&\\pmb{输出基}\\kern 5pt\\begin{bmatrix}\\boldsymbol w_1&\\boldsymbol w_2\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}3&0\\\\1&2\\end{bmatrix}&{\\color{blue}基的变换}&\\begin{matrix}\\color{blue}\\boldsymbol v_1=\\pmb1\\boldsymbol w_1+\\pmb1\\boldsymbol w_2\\\\\\color{blue}\\boldsymbol v_2=\\pmb2\\boldsymbol w_1+\\pmb3\\boldsymbol w_2\\end{matrix}\\end{array}输入基[v1​​v2​​]=[33​68​]​输出基[w1​​w2​​]=[31​02​]​基的变换​v1​=1w1​+1w2​v2​=2w1​+3w2​​​请注意！这里将输入基 v1,v2\\boldsymbol v_1,\\boldsymbol v_2v1​,v2​ 用输出基 w1,w2\\boldsymbol w_1,\\boldsymbol w_2w1​,w2​ 来表示，这是因为按照定义，恒等变换 $T$ 作用于每个输出基向量：T(v1)=v1, T(v2)=v2T(\\boldsymbol v_1)=\\boldsymbol v_1,\\,T(\\boldsymbol v_2)=\\boldsymbol v_2T(v1​)=v1​,T(v2​)=v2​，则这里我们将输出向量 v1\\boldsymbol v_1v1​ 和 v2\\boldsymbol v_2v2​ 用输出基 w1\\boldsymbol w_1w1​ 和 w2\\boldsymbol w_2w2​ 来表示。这些加粗的数字 $1,1$ 和 $2,3$ 给出了矩阵 $B$（基的变换矩阵 the change of basis matrix）的第一列和第二列：$WB=V$，所以 B=W−1V\\pmb{B=W^{-1}V}B=W−1V.基变换矩阵 B[w1w2][B]=[v1v2]就是[3012][1213]=[3638](8.2.1)\\begin{array}{l}\\pmb{基变换矩阵\\,B}&\\begin{bmatrix}\\boldsymbol w_1&\\boldsymbol w_2\\end{bmatrix}{\\color{blue}\\begin{bmatrix}B\\end{bmatrix}}=\\begin{bmatrix}\\boldsymbol v_1&\\boldsymbol v_2\\end{bmatrix}&就是&\\begin{bmatrix}3&0\\\\1&2\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}\\color{blue}1&\\color{blue}2\\\\\\color{blue}1&\\color{blue}3\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}3&6\\\\3&8\\end{bmatrix}\\end{array}\\kern 10pt(8.2.1)基变换矩阵B​[w1​​w2​​][B​]=[v1​​v2​​]​就是​[31​02​][11​23​]=[33​68​]​(8.2.1)

当输入基是矩阵 V 的列向量，输出基是矩阵 W 的列向量时，T(v)=v 的基变换矩阵是 B=W−1V\\begin{array}{l}当输入基是矩阵\\,\\textrm{\\pmb V}\\,的列向量，输出基是矩阵\\,\\textrm{\\pmb W}\\,的列向量时，T(\\boldsymbol v)=\\boldsymbol v\\,的基变换矩阵是\\,\\pmb{B=W^{-1}V}\\end{array}当输入基是矩阵V的列向量，输出基是矩阵W的列向量时，T(v)=v的基变换矩阵是B=W−1V​

关键点： 理解 B=W−1VB=W^{-1}VB=W−1V 的简单方法：假设同一个向量 $\mathbf{u}$ 分别由输入基 vi\\boldsymbol v_ivi​ 和 输出基 wj\\boldsymbol w_jwj​ 来表示，有下面三种方法：u=c1v1+c2v2+⋯+cnvnu=d1w1+d2w2+⋯+dnwn即[v1v2⋯vn][c1c2⋮cn]=[w1w2⋯wn][d1d2⋮dn]和Vc=Wd\\begin{array}{l}\\boldsymbol u=c_1\\boldsymbol v_1+c_2\\boldsymbol v_2+\\cdots+c_n\\boldsymbol v_n\\\\\\boldsymbol u=d_1\\boldsymbol w_1+d_2\\boldsymbol w_2+\\cdots+d_n\\boldsymbol w_n&\\end{array}即\\begin{bmatrix}\\boldsymbol v_1&\\boldsymbol v_2&\\cdots&\\boldsymbol v_n\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}c_1\\\\c_2\\\\\\vdots\\\\c_n\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}\\boldsymbol w_1&\\boldsymbol w_2&\\cdots&\\boldsymbol w_n\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}d_1\\\\d_2\\\\\\vdots\\\\d_n\\end{bmatrix}和\\kern 5pt\\pmb{Vc=Wd}u=c1​v1​+c2​v2​+⋯+cn​vn​u=d1​w1​+d2​w2​+⋯+dn​wn​​​即[v1​​v2​​⋯​vn​​]​c1​c2​⋮cn​​​=[w1​​w2​​⋯​wn​​]​d1​d2​⋮dn​​​和Vc=Wd新基 wj\\boldsymbol w_jwj​ 的系数 $d$ 是 d=W−1Vc\\pmb {d= W^{-1}Vc}d=W−1Vc，则 B=W−1V.(8.2.2)\\pmb{B=W^{-1}V}.\\kern 15pt(8.2.2)B=W−1V.(8.2.2)
公式 B=W−1V\\pmb{B=W^{-1}V}B=W−1V 给出一个有趣的现象：当标准基 $V=I$ 变成一个不同的基 $W$ 时，基变换矩阵是不是 $W$ 而是 B=W−1V\\pmb{B=W^{-1}V}B=W−1V. 大的基向量有小的系数！标准基向量 [xy]\\begin{bmatrix}x\\\\y\\end{bmatrix}[xy​] 在 w1,w2\\boldsymbol w_1,\\boldsymbol w_2w1​,w2​ 的这组基向量情况下的系数是 [w1w2]−1[xy]\\begin{bmatrix}\\boldsymbol w_1&\\boldsymbol w_2\\end{bmatrix}^{-1}\\begin{bmatrix}x\\\\y\\end{bmatrix}[w1​​w2​​]−1[xy​].

三、变换矩阵的构造

下面我们构造任意一个线性变换的矩阵。假设 $T$ 将 $n$ 维的空间 $\text{V}$ 变换成 $m$ 维的空间 $\text{W}$，我们在空间 $\text{V}$ 中选择一组基 v1,v2,⋯ ,vn\\boldsymbol v_1,\\boldsymbol v_2,\\cdots,\\boldsymbol v_nv1​,v2​,⋯,vn​，在空间 $\text{W}$ 中选择一组基 w1,w2,⋯ ,wn\\boldsymbol w_1,\\boldsymbol w_2,\\cdots,\\boldsymbol w_nw1​,w2​,⋯,wn​，则变换矩阵 $A$ 是 $m\times n$ 的。为了求得 $A$ 的第一列，将 $T$ 作用于第一个基向量 v1\\boldsymbol v_1v1​，则输出 T(v1)T(\\boldsymbol v_1)T(v1​) 在空间 $\text{W}$ 中。

T(v1) 是空间 W 输出基的一种线性组合 a11w1+a21w2+⋯+am1wm{\\color{blue}T(\\boldsymbol v_1)}\\,是空间\\,\\pmb{\\textrm W}\\,输出基的一种线性组合\\,\\color{blue}a_{11}\\boldsymbol w_1+a_{21}\\boldsymbol w_2+\\cdots+a_{m1}\\boldsymbol w_mT(v1​)是空间W输出基的一种线性组合a11​w1​+a21​w2​+⋯+am1​wm​

a11,a21,⋯ ,am1a_{11},a_{21},\\cdots,a_{m1}a11​,a21​,⋯,am1​ 这些数是 $A$ 的第一列，将 v1\\boldsymbol v_1v1​ 变换为 T(v1)T(\\boldsymbol v_1)T(v1​) 对应 $A$ 左乘 $(1,0,\cdots ,0)$，这给出了变换矩阵 $A$ 的第一列。当 $T$ 是求导且第一个基向量是 $1$ 时，它的导数是 T(v1)=0T(\\boldsymbol v_1)=\\boldsymbol 0T(v1​)=0，所以下面的导数矩阵中，第一列全为零。

【例3】$T$ 是求导运算：T(v)=dvdx\\pmb{T(\\boldsymbol v)=\\displaystyle\\frac{\\textrm dv}{\\textrm dx}}T(v)=dxdv​，此时矩阵 $A$ 是 “求导矩阵（derivate matrix）”，输入基 vi\\boldsymbol v_ivi​ 是 1,x,x2,x31,x,x^2,x^31,x,x2,x3，输出基 wj\\boldsymbol w_jwj​ 是 1,x,x21,x,x^21,x,x2：如果 v=c1+c2x+c3x2+c4x3则 dvdx=1c2+2c3x+3c4x2Ac=[010000200003][c1c2c3c4]=[c22c33c4]\\begin{array}{l}如果\\,\\boldsymbol v=c_1+c_2x+c_3x^2+c_4x^3\\\\则\\,\\displaystyle\\frac{d\\boldsymbol v}{\\textrm dx}=\\pmb1c_2+\\pmb2c_3x+\\pmb3c_4x^2\\end{array}\\kern 10ptA\\boldsymbol c=\\begin{bmatrix}0&\\pmb1&0&0\\\\0&0&\\pmb2&0\\\\0&0&0&\\pmb3\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}c_1\\\\c_2\\\\c_3\\\\c_4\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}c_2\\\\2c_3\\\\3c_4\\end{bmatrix}如果v=c1​+c2​x+c3​x2+c4​x3则dxdv​=1c2​+2c3​x+3c4​x2​Ac=​000​100​020​003​​​c1​c2​c3​c4​​​=​c2​2c3​3c4​​​

关键准则: A 的第 j 列是变换 T 作用在第 j 个基向量 vj 所得\\pmb{关键准则:}\\,A\\,的第\\,j\\,列是变换\\,T\\,作用在第\\,j\\,个基向量\\,\\boldsymbol v_j\\,所得关键准则:A的第j列是变换T作用在第j个基向量vj​所得
T(vj)=a1jw1+a2jw2+⋯+amjwm 是输出基向量的线性组合(8.2.3){\\color{blue}T(\\boldsymbol v_j)=a_{1j}\\boldsymbol w_1+a_{2j}\\boldsymbol w_2+\\cdots+a_{mj}\\boldsymbol w_m\\,是输出基向量的线性组合}\\kern 15pt(8.2.3)T(vj​)=a1j​w1​+a2j​w2​+⋯+amj​wm​是输出基向量的线性组合(8.2.3)

这些数字 aija_{ij}aij​ 构成了变换矩阵 $A$. 变换矩阵可以直接得到基向量的像（basis vectors right），然后线性性质得到所有向量的像。任意向量 $\mathbf{v}$ 都可以写成线性组合 c1v1+c2v2+⋯+cnvnc_1\\boldsymbol v_1+c_2\\boldsymbol v_2+\\cdots+c_n\\boldsymbol v_nc1​v1​+c2​v2​+⋯+cn​vn​，$T(\mathbf{v})$ 是基向量 wj\\boldsymbol w_jwj​ 的一种线性组合。当 $A$ 左乘 $\mathbf{v}$ 的组合系数向量 c=(c1,c2,⋯ ,cn)\\boldsymbol c=(c_1,c_2,\\cdots,c_n)c=(c1​,c2​,⋯,cn​)，$A\mathbf{c}$ 得到 $T(\mathbf{v})$ 关于输出基向量的组合系数。这是因为矩阵乘法（列向量的线性组合）和 $T$ 一样是线性的。
矩阵 $A$ 告诉了我们线性变换 $T$ 做了什么，每一个从 $\text{V}$ 到 $\text{W}$ 的线性变换都可以用一个矩阵来表示，这个矩阵取决于基的选择。

【例4】对于积分 T+(v)T^+(\\boldsymbol v)T+(v)，第一个基函数也是 $1$，它的积分是第二个基函数 $x$，所以 “积分矩阵（integral matrix）” A+A^+A+ 的第一列是 $(0,1,0,0)$d1+d2x+d3x2 的积分是d1x+12d2x2+13d3x3A+d=[00010001200013][d1d2d3]=[0d112d213d3]\\begin{array}{l}\\pmb{d_1+d_2x+d_3x^2\\,的积分是}\\\\\\pmb{d_1x+\\displaystyle\\frac{1}{2}d_2x^2+\\frac{1}{3}d_3x^3}\\end{array}\\kern 15ptA^+\\boldsymbol d=\\begin{bmatrix}0&0&0\\\\\\pmb1&0&0\\\\0&\\pmb{\\dfrac{1}{2}}&0\\\\0&0&\\pmb{\\dfrac{1}{3}}\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}d_1\\\\d_2\\\\d_3\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}0\\\\d_1\\\\\\dfrac{1}{2}d_2\\\\[1.5ex]\\dfrac{1}{3}d_3\\end{bmatrix}d1​+d2​x+d3​x2的积分是d1​x+21​d2​x2+31​d3​x3​A+d=​0100​0021​0​00031​​​​d1​d2​d3​​​=​0d1​21​d2​31​d3​​​如果对一个函数先积分再求导，将得到原函数，因此，AA+=IAA^+=IAA+=I. 但是如果是先求导再积分，则常数项会消失，因此 A+AA^+AA+A 不是 $I$. 对 $1$ 先求导再积分的结果是零：T+T(1)=零函数的积分=0T^+T(1)=零函数的积分=0T+T(1)=零函数的积分=0这和 A+AA^+AA+A 是相符的，其第一列都是零。求导变换 $T$ 有一个核（常数函数），它的矩阵 $A$ 有一个零空间。再次出现的主要思想：$A\mathbf{v}$ 表示 $T(\mathbf{v})$ 的结果。
求导和积分的例子有三个重要的点：第一，线性变换 $T$ 无处不在，例如在微积分、微分方程和线性代数中；第二，与 Rn\\pmb {\\textrm R}^nRn 不同的空间很重要，输入空间 $\text{V}$ 和输出空间 $\text{W}$ 都可以是函数空间；第三，如果我们先求导再积分，我们可以将它们的矩阵乘起来 A+A\\pmb{A^+A}A+A 后计算。

四、矩阵乘积 AB 对应于变换 TS

下面是一些重要内容 —— 矩阵乘法规则的真正原因。两个线性变换 $T$ 和 $S$ 的矩阵分别是 $A$ 和 $B$，现在比较 $TS$ 和乘积 $AB$：
当将变换 $T$ 作用于 $S$ 的输出时，由以下规则得到 $TS$：$$(TS)(\mathbf{u})定义为T(S(\mathbf{u})),输出S(\mathbf{u})成了T的输入.$$ 将矩阵 $A$ 作用于 $B$ 的输出时，由以下规则得到乘积 $AB$：$$(AB)(\mathbf{x})定义为A(B(\mathbf{x})),输出B\mathbf{x}成了A的输入.$$$$矩阵乘法规则得到的矩阵AB是变换TS的矩阵.$$变换 $S$ 是从空间 $\text{U}$ 到空间 $\text{V}$，它的矩阵使用了空间 $\text{U}$ 的基 u1,u2,⋯ ,up\\boldsymbol u_1,\\boldsymbol u_2,\\cdots,\\boldsymbol u_pu1​,u2​,⋯,up​ 和空间 $\text{V}$ 的基 v1,v2,⋯ ,vn\\boldsymbol v_1,\\boldsymbol v_2,\\cdots,\\boldsymbol v_nv1​,v2​,⋯,vn​，这个矩阵是 $n\times p$ 的。变换 $T$ 是从空间 $\text{V}$ 到空间 $\text{W}$，它的变换矩阵一定要使用空间 $\text{V}$ 的同一组基 v1,v2,⋯ ,vn\\boldsymbol v_1,\\boldsymbol v_2,\\cdots,\\boldsymbol v_nv1​,v2​,⋯,vn​，$\text{V}$ 是 $S$ 的输出空间也是 $T$ 的输入空间。此时矩阵 $AB$ 对应于变换 $TS$.

乘法： 线性变换 $TS$ 将 $\text{U}$ 中的任一向量变换到 $\text{V}$ 中的 $S(\mathbf{u})$，再变换到 $\text{W}$ 中的 $T(S(\mathbf{u}))$. 矩阵 $AB$ 作用于 Rp\\textrm{\\pmb R}^pRp 空间中的任一向量 $\mathbf{x}$，先得到 Rn\\textrm{\\pmb R}^nRn 中的 $B\mathbf{x}$，然后得到 Rm\\textrm{\\pmb R}^mRm 中的 $AB\mathbf{x}$. 矩阵 $AB$ 就是变换 $TS$ 的矩阵：$$TS：\text{U}\to \text{V}\to \text{W}AB：(m\times n)(n\times p)=(m\times p)$$

输入是 u=x1u1+x2u2+⋯+xpup\\boldsymbol u=x_1\\boldsymbol u_1+x_2\\boldsymbol u_2+\\cdots+x_p\\boldsymbol u_pu=x1​u1​+x2​u2​+⋯+xp​up​，输出 $T(S(\mathbf{u}))$ 对应于输出 $AB\mathbf{x}$. 变换 $TS$ 的复合对应于矩阵的乘积 $AB$.
最重要的情况是空间 $\text{U,V,W}$ 均相同且均选择相同的基，当 $m=n=p$ 时，则变换矩阵均为方阵，所以可以相乘。

【例5】$S$ 将平面逆时针旋转 $\theta$，$T$ 也是逆时针旋转 $\theta$，则 $TS$ 逆时针旋转 $2\theta$，变换 T2T^2T2 的对应旋转矩阵 A2A^2A2 也是逆时针旋转 $2\theta$：T=SA=BT2 是逆时针旋转2 θA2=[cos⁡2θ−sin⁡2θsin⁡2θcos⁡2θ](8.2.4)T=S\\kern 15ptA=B\\kern 15ptT^2\\,是逆时针旋转2\\,\\theta\\kern 15ptA^2=\\begin{bmatrix}\\cos2\\theta&-\\sin2\\theta\\\\\\sin2\\theta&\\kern 7pt\\cos2\\theta\\end{bmatrix}\\kern 15pt(8.2.4)T=SA=BT2是逆时针旋转2θA2=[cos2θsin2θ​−sin2θcos2θ​](8.2.4)通过对比变换的平方 T2T^2T2 和它们矩阵的平方 A2A^2A2，我们可以得到 $\cos 2\theta$ 和 $\sin 2\theta$ 的公式。$A$ 乘 $A$：[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=[cos⁡2θ−sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ2sin⁡θcos⁡θcos⁡2θ−sin⁡2θ](8.4.5)\\begin{bmatrix}\\cos\\theta&-\\sin\\theta\\\\\\sin\\theta&\\kern 7pt\\cos\\theta\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}\\cos\\theta&-\\sin\\theta\\\\\\sin\\theta&\\kern 7pt\\cos\\theta\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}\\cos^2\\theta-\\sin^2\\theta&-2\\sin\\theta\\cos\\theta\\\\2\\sin\\theta\\cos\\theta&\\cos^2\\theta-\\sin^2\\theta\\end{bmatrix}\\kern 15pt(8.4.5)[cosθsinθ​−sinθcosθ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​]=[cos2θ−sin2θ2sinθcosθ​−2sinθcosθcos2θ−sin2θ​](8.4.5)比较（8.2.4）和（8.2.5）可以得到 cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ\\cos2\\theta=\\cos^2\\theta-\\sin^2\\thetacos2θ=cos2θ−sin2θ 和 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$. 三角公式（至少是倍角公式）可由线性代数得到。

【例6】$S$ 逆时针选择角度 $\theta$，$T$ 逆时针选择角度 $-\theta$，则由 $TS=I$ 可以得到 $AB=I$. 该情形下 $T(S(\mathbf{u}))$ 就是 $\mathbf{u}$，旋转后又旋转回来了。相应的矩阵表示，$AB\mathbf{x}$ 一定就是 $\mathbf{x}$，这两个矩阵互为逆矩阵。将 $\cos (-\theta )=\cos \theta$ 和 $\sin (-\theta )=-\sin \theta$ 代入旋转矩阵 $A$ 中即可验证：AB=[cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ][cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]=[cos⁡2θ+sin⁡2θ00cos⁡θ+sin⁡2θ]=IAB=\\begin{bmatrix}\\kern 7pt\\cos\\theta&\\sin\\theta\\\\-\\sin\\theta&\\cos\\theta\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}\\cos\\theta&-\\sin\\theta\\\\\\sin\\theta&\\kern 7pt\\cos\\theta\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}\\cos^2\\theta+\\sin^2\\theta&0\\\\0&\\cos^\\theta+\\sin^2\\theta\\end{bmatrix}=IAB=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​]=[cos2θ+sin2θ0​0cosθ+sin2θ​]=I

五、选择最佳基

下面是本节的最后一部分：选择最佳基使得变换矩阵为对角矩阵。使用标准基（$I$ 的列向量）时，变换 $T$ 的矩阵 $A$ 可能不是对角矩阵；当使用不同的基时，同样的变换 $T$ 会由不同的矩阵表示。选择基向量时，两个很好的选择是特征向量和奇异向量：特征向量如果变换 T 将 Rn 映射到 Rn，则它的矩阵 A 是个方阵。但是使用标准基时，矩阵 A 可能不是对角的。如果 A 有 n 个线性无关的特征向量，选择它们作为输入和输出基，使用这组 “好基” 时，T 的变换矩阵为 Λ，其对角元素是 A 的特征值。\\begin{array}{l}\\pmb{特征向量}\\kern 15pt如果变换 \\,T\\,将\\,\\pmb{\\textrm R}^n\\,映射到\\,\\textrm{\\pmb R}^n，则它的矩阵\\,A\\,是个方阵。但是使用标准基时，矩阵\\,A\\,可能不是\\\\对角的。如果\\,A\\,有\\,n\\,个线性无关的特征向量，选择它们作为输入和输出基，使用这组\\,“好基”\\,时，\\pmb{T\\,的变换}\\\\\\pmb{矩阵为\\,\\Lambda，其对角元素是\\,A\\,的特征值}。\\end{array}特征向量如果变换T将Rn映射到Rn，则它的矩阵A是个方阵。但是使用标准基时，矩阵A可能不是对角的。如果A有n个线性无关的特征向量，选择它们作为输入和输出基，使用这组“好基”时，T的变换矩阵为Λ，其对角元素是A的特征值。​【例7】投影矩阵 $T$ 将 R2\\pmb{\\textrm R}^2R2 中的每个向量 $\mathbf{v}=(x,y)$ 投影到直线 $y=-x$ 上。若使用标准基，v1=(1,0)\\boldsymbol v_1=(1,0)v1​=(1,0) 的投影为 T(v1)=(12,−12)T(\\boldsymbol v_1)=(\\dfrac{1}{2},-\\dfrac{1}{2})T(v1​)=(21​,−21​)；v2=(0,1)\\boldsymbol v_2=(0,1)v2​=(0,1) 的投影为 T(v2)=(−12,12)T(\\boldsymbol v_2)=(-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2})T(v2​)=(−21​,21​)，这些投影构成了 $A$ 的列：标准基下的投影矩阵是非对角矩阵A=[12−12−1212] 有 AT=A 且 A2=A\\begin{array}{l}\\pmb{标准基下的}\\\\\\pmb{投影矩阵是}\\\\\\pmb{非对角矩阵}\\end{array}\\kern 15ptA=\\begin{bmatrix}\\kern 7pt\\dfrac{1}{2}&-\\dfrac{1}{2}\\\\[1.5ex]-\\dfrac{1}{2}&\\kern 7pt\\dfrac{1}{2}\\end{bmatrix}\\,有\\,A^T=A\\,且\\,A^2=A标准基下的投影矩阵是非对角矩阵​A=​21​−21​​−21​21​​​有AT=A且A2=A下面是关于选取特征向量作为基向量的情况，可以对角化变换矩阵！
当基向量是原变换矩阵 $A$ 的特征向量时，变换矩阵将变为对角矩阵。v1=w1=(1,−1) 投影到自身：T(v1)=v1，对应 λ1=1v2=w2=(1,1) 投影到零向量：T(v2)=0，对应 λ2=0\\begin{array}{l}\\boldsymbol v_1=\\boldsymbol w_1=(1,-1)\\,投影到自身：T(\\boldsymbol v_1)=\\boldsymbol v_1，对应\\,\\lambda_1=1\\\\\\boldsymbol v_2=\\boldsymbol w_2=(1,1)\\,投影到零向量：T(\\boldsymbol v_2)=\\boldsymbol 0，对应\\,\\lambda_2=0\\end{array}v1​=w1​=(1,−1)投影到自身：T(v1​)=v1​，对应λ1​=1v2​=w2​=(1,1)投影到零向量：T(v2​)=0，对应λ2​=0​特征向量基对应对角矩阵新的变换矩阵是 [1000]=[λ100λ2]=Λ(8.2.6)\\begin{array}{l}\\pmb{特征向量基}\\\\\\pmb{对应对角矩阵}\\end{array}\\kern 15pt新的变换矩阵是\\,\\begin{bmatrix}1&0\\\\0&0\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}\\lambda_1&0\\\\0&\\lambda_2\\end{bmatrix}=\\Lambda\\kern 20pt(8.2.6)特征向量基对应对角矩阵​新的变换矩阵是[10​00​]=[λ1​0​0λ2​​]=Λ(8.2.6)特征向量是完美的基向量，它们给出特征值矩阵 $\Lambda$.
当输入基和输出基相同但并不一定是特征向量时会怎样的？将这些基向量 bi\\boldsymbol b_ibi​ 作为 $B$ 的列，则基变换矩阵（从标准基到新基）是 Bin=B\\pmb{B_{\\textrm{in}}}=\\pmb BBin​=B，Bout=B−1\\pmb{B_{\\textrm{out}}}=\\pmb{ B^{-1}}Bout​=B−1，$T$ 新的变换矩阵和 $A$ 相似：