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数学建模学习——MATLAB模型

网友: 技术文档 2025-07-30 19:18:52

一. 灰色预测模型 

  1. cumsum(X0)

    • 功能：计算向量X0的累加和。
    • 示例：X0 = [50, 55, 61, 68, 76]，则X1 = cumsum(X0) = [50, 105, 166, 234, 310]。

  2. 最小二乘求解模型参数

    • B\\Y：MATLAB 中求解线性方程组 B·u = Y 的最小二乘解（本质是拟合 X0(k) = a·z₁(k) + b，其中 z₁(k) 是背景值）。
    • u：参数向量 [a, b]，a 是发展系数，b 是灰作用量。
      • a 反映序列的增长 / 衰减趋势，|a| 越小，预测精度通常越高；
      • b 反映外部驱动因素的影响。

  4. 预测模型（累加序列还原）

二. 逻辑回归模型

  • fitglm 函数：拟合广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM）。
    • 参数：
      • X：特征矩阵；
      • Y：二元标签（0/1）；
      • \'Distribution\', \'binomial\'：指定响应变量服从二项分布（适用于分类问题）；
      • \'Link\', \'logit\'：指定连接函数为逻辑函数（Logit），将线性预测转换为概率。
    • 返回值 mdl：训练好的逻辑回归模型对象，包含系数、拟合统计量等。
    • 参数 Estimate（估计值） SE（标准误） tStat（t 统计量） pValue（p 值） (Intercept) -11.266 12.174 -0.925 0.35474 x1（使用时长） -1.073 1.932 -0.555 0.57868 x2（月消费） 0.32189 0.458 0.702 0.48242

  • 卡方统计量(常量模型): 6.13，p 值 = 0.0467：

    • 对比 “仅含截距的空模型” 和 “当前含 x1、x2 的模型”：
    • p 值 = 0.0467 < 0.05，说明 “加入 x1 和 x2 后，模型整体预测能力显著优于纯随机猜测”（尽管单个特征不显著，但整体有提升）。

三. 决策树模型

拟合决策树模型

tree = fitctree(X, Y, \'PredictorNames\', {\'出勤率\', \'作业得分\'}, ...  \'ResponseName\', \'是否挂科\');
  • fitctree 函数：训练分类决策树模型。
    • 参数：
      • X：特征矩阵；
      • Y：标签向量；
      • \'PredictorNames\'：自定义特征名称（提高可读性）；
      • \'ResponseName\'：自定义标签名称。
    • 返回值 tree：训练好的决策树对象，包含节点划分规则。

3. 可视化决策树

        作业得分 < 65?
          /      \\
      是           否
    挂科         出勤率 < 0.85?
                 /         \\
               是           否
           不挂科         挂科
 

四. 支持向量机模型

  • fitcsvm 函数：训练二分类 SVM 模型。
    • 参数：
      • X：特征矩阵；
      • Y：标签向量；
      • \'KernelFunction\', \'linear\'：使用线性核函数（生成直线分类边界）；
      • \'Standardize\', true：自动标准化特征（消除量纲影响，如评分和收入的单位差异）；
      • \'ClassNames\', [0 1]：指定标签类别名称。
    • 返回值 svmModel：训练好的 SVM 模型，包含分类边界参数和支持向量。

五. 人工神经网络模型

2. 创建神经网络

net = fitnet(10);
  • fitnet 函数：创建用于回归或函数逼近的前馈神经网络。
    • 参数：10 表示隐藏层有 10 个神经元。
    • 网络结构：
      • 输入层：3 个神经元（对应 3 个特征）；
      • 隐藏层：10 个神经元（默认使用 Tanh 激活函数）；
      • 输出层：1 个神经元（预测总成绩，线性激活）。

        隐藏层的 10 个神经元不是固定的，它是一个需要人为设定的 “超参数”。这个数量的核心作用是控制神经网络对数据的拟合能力，直接影响模型的学习效果和泛化能力。

        神经网络的核心是通过 “神经元” 模拟人脑的 “神经元连接”—— 每个神经元接收输入、通过激活函数处理后传递给下一层。隐藏层神经元数量没有固定规则，因为不同问题的复杂度不同：

      • 如果数据很简单（比如线性关系明显），可能只需要 2-5 个神经元；
      • 如果数据复杂（比如非线性关系强、特征多），可能需要 10-100 个甚至更多。
      •  

        你给出的代码中用 10 个神经元，是针对 “学生成绩预测” 这个简单问题的合理尝试，换成 5 个或 15 个也能运行，只是效果可能不同。

        神经元数量的具体作用

      • 决定模型 “学习能力” 的强弱

        • 神经元越多：模型能捕捉更复杂的关系（比如 “出勤率” 和 “期中成绩” 的交互影响），但容易 “过度学习”（把训练数据中的噪音当成规律）。
        • 神经元越少：模型学习能力弱，可能连数据中的基本规律都抓不住（“欠拟合”）。

        举例：如果用 100 个神经元拟合 6 个学生的数据（你的代码中只有 6 个样本），模型可能会精准 “记住” 每个学生的成绩，但遇到新学生时预测会很离谱（过度拟合）。

      • 影响计算效率

        • 神经元越多：计算量越大（训练时间变长），但对复杂数据更友好。
        • 神经元越少：计算快，但可能无法处理复杂关系。
    • 设置训练 / 测试划分
    • net.divideParam.trainRatio = 0.8; % 80% 训练net.divideParam.valRatio = 0.1; % 10% 验证net.divideParam.testRatio = 0.1; % 10% 测试

    • 数据划分规则：

      • 训练集：用于调整网络权重和偏置；
      • 验证集：用于在训练过程中监测模型泛化能力，防止过拟合；
      • 测试集：用于最终评估模型性能。
  • 训练因 “梯度小于阈值” 而停止（不是因为达到最大迭代次数），说明模型参数已经收敛到稳定状态。

    如何验证模型可靠性？

  • 查看测试集性能：在训练报告的 “回归图” 或 “性能图” 中，检查测试集的 MSE 是否也接近 0。
  • 单位 初始值 停止值 目标值 解读 轮（Epoch） 0 6 1000 仅迭代了 6 轮就收敛（远小于目标 1000 轮），说明数据简单或模型学习能力强。 历时 - 00:00:08 - 训练耗时 8 秒，非常快（因样本量小、模型简单）。 性能（MSE） 2.77e+03 1.14e-28 0 均方误差（Mean Squared Error），从初始的 2770 降到几乎 0，说明预测误差极小。 梯度 4.23e+03 8.37e-13 1e-07 梯度从 4230 降到远小于目标阈值（1e-7），参数更新已稳定。 Mu 0.001 1e-09 1e+10 Levenberg-Marquardt 算法的阻尼系数，越小表示越接近高斯牛顿法，收敛稳定。 验证检查 0 3 6 验证集误差连续 3 次未下降（触发早停机制前的检查）。

六. 层次分析法模型

准则层（目标层下的 “成本、交通、环境”3 个维度）的判断矩阵，用于表示 3 个准则之间的相对重要性。

  • 行 / 列对应：成本（第 1 行）、交通（第 2 行）、环境（第 3 行）。
  • 元素 C(i,j)：表示第 i 个准则相对于第 j 个准则的重要性程度（采用 1-9 标度法）。
    • 例如：C(1,2)=3 表示 “成本” 比 “交通”重要 3 倍；C(3,1)=2 表示 “环境” 比 “成本”重要 2 倍

      1. 准则层权重（如 W_criteria）

      表示准则层各因素（成本、交通、环境）的相对重要性。

    • 示例：若 W_criteria = [0.5, 0.3, 0.2]，表示：
      • 成本的重要性占比为 50%；
      • 交通的重要性占比为 30%；
      • 环境的重要性占比为 20%。
    • 2. 方案层权重（如 W1、W2、W3）

    • 表示在某个准则下，各方案（城市 A、B、C）的相对优劣。

    • 示例：若 W1 = [0.6, 0.3, 0.1]（成本准则下的权重），表示：
      • 城市 A 的成本优势占比为 60%；
      • 城市 B 的成本优势占比为 30%；
      • 城市 C 的成本优势占比为 10%。

    • . 一致性检验的本质

      验证专家的判断是否具有传递性（如 “若 A 比 B 重要，B 比 C 重要，则 A 比 C 重要”）。若不满足传递性，特征向量计算出的权重将失去意义。

  • 综合得分计算逻辑：
    矩阵乘法：方案层权重（[W1, W2, W3]，3×3 矩阵）与准则层权重（W_criteria，3×1 向量）相乘，得到每个城市的综合得分。

    综合得分A​=W1A​⋅W成本​+W2A​⋅W交通​+W3A​⋅W环境​
    其中：

  • W1_A：城市 A 在 “成本” 准则下的权重（W1 的第 1 行）；
  • W_{\\text{成本}}：“成本” 准则的权重（W_criteria 的第 1 个元素）；
  • 同理，累加交通、环境准则的加权贡献。

七. 熵权法模型

用途：

  • 用于多指标综合评价；

  • 在指标没有明显优劣排序、但需要综合排序的时候很有用（如评估城市发展水平、公司绩效、交通效率等）；

  • 常配合 TOPSIS、灰色关联度、AHP 等一起使用。

        熵值 E

P(P == 0) = 1; % 防止 log(0) 报错E = -sum(P .* log(P)) / log(m); % 计算每个指标的熵值
  • 计算逻辑：
    熵值反映指标的离散程度（信息量）：
    E(j)=−log(m)1​∑i=1m​P(i,j)⋅log(P(i,j))
    • 若某指标下所有城市的值相同（P(i,j)=1/m），则熵值最大（E(j)=1），说明该指标 “区分度低”；
    • 若某指标下只有一个城市的值非零（P(i,j)=1，其他为 0），则熵值最小（E(j)=0），说明该指标 “区分度高”。
  • 作用：
    衡量指标的信息量（区分度）：熵值越小，指标对决策的贡献越大。

6. 差异系数 d

d = 1 - E; % 差异系数 = 1 - 熵值
  • 计算逻辑：
    差异系数与熵值负相关：
    • 熵值越小（指标区分度高），差异系数越大；
    • 熵值越大（指标区分度低），差异系数越小。
  • 作用：
    将 “熵值” 转换为 “指标重要性” 的正向指标（差异系数越大，指标越重要）。

7. 熵权 w

w = d / sum(d); % 权重 = 差异系数 / 总差异系数
  • 计算逻辑：
    对差异系数归一化，得到每个指标的权重：
    w(j)=∑j=1n​d(j)d(j)​
    （n 是指标数量，此处 n=4）
  • 作用：
    表示每个指标在综合评价中的重要性占比（区分度高的指标权重更大）。

8. 综合得分 score

score = X_norm * w\'; % 加权求和：标准化数据 × 权重向量
  • 计算逻辑：
    对每个城市，将其标准化后的指标值按熵权加权求和：
    score(i)=∑j=1n​Xnorm​(i,j)⋅w(j)
  • 作用：
    综合所有指标的重要性，得到每个城市的综合评价得分。

八. TOPSIS模型

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）的核心是：

  1. 找 “理想标杆”：构造 “正理想解”（所有指标最优）和 “负理想解”（所有指标最劣）；
  2. 算 “距离”：每个方案与正 / 负理想解的距离；

在这个 TOPSIS 算法（优劣解距离法）的代码中，isBenefit 的 0 和 1 是根据指标的 “优劣判断逻辑” 来规定的，核心原则是：

  • 1（正向指标）：指标数值 越大越好（数值越大，代表方案越优）；
  • 0（负向指标）：指标数值 越小越好（数值越小，代表方案越优）。

4. 归一化数据 X_norm

熵权法本身没有 “自动识别指标方向” 的能力，如果不对负向指标做额外处理，直接用原始数据计算，负向指标的 “高数值” 会被误当成 “优势”（因为熵权法的核心是 “数值波动大的指标权重高，且数值大的样本在该指标下得分高”），这会导致结果完全偏离实际业务逻辑。

台湾教育在线

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