【缩点 强连通分量】P1262 间谍网络|普及+

本文涉及知识点

C++图论 缩点 强连通分量

P1262 间谍网络

题目描述

由于外国间谍的大量渗入，国家安全正处于高度的危机之中。如果 A 间谍手中掌握着关于 B 间谍的犯罪证据，则称 A 可以揭发 B。有些间谍收受贿赂，只要给他们一定数量的美元，他们就愿意交出手中掌握的全部情报。所以，如果我们能够收买一些间谍的话，我们就可能控制间谍网中的每一分子。因为一旦我们逮捕了一个间谍，他手中掌握的情报都将归我们所有，这样就有可能逮捕新的间谍，掌握新的情报。

我们的反间谍机关提供了一份资料，包括所有已知的受贿的间谍，以及他们愿意收受的具体数额。同时我们还知道哪些间谍手中具体掌握了哪些间谍的资料。假设总共有 $n$ 个间谍（$n$ 不超过 $3000$），每个间谍分别用 $1$ 到 $3000$ 的整数来标识。

请根据这份资料，判断我们是否有可能控制全部的间谍，如果可以，求出我们所需要支付的最少资金。否则，输出不能被控制的一个间谍。

输入格式

第一行只有一个整数 $n$。

第二行是整数 $p$。表示愿意被收买的人数，$1\le p\le n$。

接下来的 $p$ 行，每行有两个整数，第一个数是一个愿意被收买的间谍的编号，第二个数表示他将会被收买的数额。这个数额不超过 $20000$。

紧跟着一行只有一个整数 $r$，$1\le r\le 8000$。然后 $r$ 行，每行两个正整数，表示数对 $(A,B)$，$A$ 间谍掌握 $B$ 间谍的证据。

输出格式

如果可以控制所有间谍，第一行输出 YES，并在第二行输出所需要支付的贿金最小值。否则输出 NO，并在第二行输出不能控制的间谍中，编号最小的间谍编号。

输入输出样例 #1

输入 #1

321 102 10021 32 3

输出 #1

YES110

输入输出样例 #2

输入 #2

421 1004 20021 23 4

输出 #2

NO3

缩点 无向图寻找环

简化： 存在某个节点能访问所有节点，如节点0。

m_vTime[cur]记录cur的DFS序。未处理的节点,m_vTime[cur]等于-1。已经处理的节点，DFS直接返回，保证每个点只DFS一次。
性质一：cur直接或间接DFS到的任何节点node，m_vTime[cur] < m_vTime[node]。则node一定是cur的后代。且DFS(cur)结束时，cur所有的后代都访问结束。
vPar[cur]记录cur的父节点，由于只会DFS一次，除根节点外，故只有一个父节点。
一，树边。$父节点\to 子节点$。DSF序小指向DFS序大。
二，前向边。$祖先\to 后代$，全部删除不影响环。任意祖先通过树边可以到达任意后代。DSF序小指向DFS序大。
三，后向边(回边)。$后代\to 祖先$DSF序大指向DFS序小。
四，横向边。其它边。$DSF序大指向DFS序小。\ast \ast 性质二\ast \ast ：任意环一定不包括横边，令横边$u\\rightarrow v$，由于是环v也能访问u，且DFS序小，根据性质一是回边。
性质三：只有树边无法构成环，DFS只会越来越大；同理，只有回边，也无环。环必须有树边和回边。
性质四：一个环有多条回边，可以拆分若干个只有一条回边的环（我简称基础环)。
时间复杂度：O(边数+点数)

环的合并 多个环有共同点则是一个强连通区域

性质五：基础环的回边是$u\to v$,长度是len，则构成的点是：$u的[0到len-1]级祖先$。
极端情况下，长度n的链，回边 n × ( n − 1 ) 2 \\frac{n\\times(n-1)}{2} 2n×(n−1)​，环长n。时间复杂度：O(nnn)
cnt[cur]=i，表示节点cur的0到i-1级祖先构成环。如果cur有多个环，取cnt[cur]最大的。
m_vSortToNode[i] 记录DFS序为i的节点。
通过cur逆序访问m_vSortToNode。如果cur存在父节点，且cnt[cur] > 0{uf.连通cur和父节点。MaxSelf(cnt[父节点],cur[cur]-1)}
uf中的连通区域可以缩成一个点。
时间复杂度：O(n)

不知道是否有点连通所有点

DFS(0…N-1)。由于环上任意一点，可以访问环上其它点，故DFS到环上任意一点，则可以DFS到整个环。即环不会分成两部分。
注意：DFS的时候，生成各点层次、父节点、各节点DFS序、各DFS序对应节点。
DFS(当前节点，父节点，层次)

缩点

如果存在环，缩成点，收买价格取最小值。
出掉自环，重边出不出都可以。
所有入度为0的间谍都要收买。

如果存在无法收买的间谍

缩点后的有向图G1的临接表为neiBo1，can记录所有能够收买的间谍组(一个间谍对应原图的一个点，一组间谍对应G1的一个点)。
以can为0层，求层次。层次-1的间谍组无法收买。求无法收买的间谍组的间谍的最小编号。

代码

核心代码

#include #include #include #include#include#include#include#include#include#include#include#include #include#include#include #include #include#include#include#include#include using namespace std;template<class T1, class T2>std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;}template<class T1, class T2, class T3 >std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;}template<class T = int>vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if (\'\\n\' == cin.get()) { break; }}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;}template<int N = 1\'000\'000>class COutBuff{public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = \'-\', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char puffer[N], * m_p;};template<int N = 1\'000\'000>class CInBuff{public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while ((\'\\r\' == *S) || (\'\\n\' == *S) || (\' \' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == \'-\');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == \'-\');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;};class CNeiBo{public:static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<int>> vNeiBo(n);for (const auto& [i1, i2] : edges){vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<int>> vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);}}return vNeiBo;}static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);}}return vNeiBo;}static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);for (const auto& [u, v, w] : edges){vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);if (!bDirect){vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat){vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++){for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++){if (neiBoMat[i][j]){neiBo[i].emplace_back(j);neiBo[j].emplace_back(i);}}}return neiBo;}};class CBFSLeve {public:static vector<int> Leve(const vector<vector<int>>& neiBo, vector<int> start) {vector<int> leves(neiBo.size(), -1);for (const auto& s : start) {leves[s] = 0;}for (int i = 0; i < start.size(); i++) {for (const auto& next : neiBo[start[i]]) {if (-1 != leves[next]) { continue; }leves[next] = leves[start[i]] + 1;start.emplace_back(next);}}return leves;}template<class NextFun>static vector<int> Leve(int N, NextFun nextFun, vector<int> start) {vector<int> leves(N, -1);for (const auto& s : start) {leves[s] = 0;}for (int i = 0; i < start.size(); i++) {auto nexts = nextFun(start[i]);for (const auto& next : nexts) {if (-1 != leves[next]) { continue; }leves[next] = leves[start[i]] + 1;start.emplace_back(next);}}return leves;}static vector<vector<int>> LeveNodes(const vector<int>& leves) {const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());vector<vector<int>> ret(iMaxLeve + 1);for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {ret[leves[i]].emplace_back(i);}return ret;};static vector<int> LeveSort(const vector<int>& leves) {const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());vector<vector<int>> leveNodes(iMaxLeve + 1);for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {leveNodes[leves[i]].emplace_back(i);}vector<int> ret;for (const auto& v : leveNodes) {ret.insert(ret.end(), v.begin(), v.end());}return ret;};};class CSCCTarjan {public:CSCCTarjan(vector<vector<int>>& neiBo) :m_neiBo(neiBo) {const int N = neiBo.size();m_vTime.assign(N, -1);m_vBack.assign(N, -1);m_vIsStack.assign(N, false);for (int i = 0; i < N; i++) {DFS(i);}}vector<vector<int>> m_sccs;protected:void DFS(int cur) {if (-1 != m_vTime[cur]) { return; }m_vTime[cur] = m_vBack[cur] = m_iTimes++;m_vIsStack[cur] = true;m_sta.emplace(cur);for (const auto& next : m_neiBo[cur]) {if (-1 == m_vTime[next]) {DFS(next);m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vBack[next]);}else if (m_vIsStack[next]) {m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vTime[next]);}}if (m_vTime[cur] != m_vBack[cur]) { return; }vector<int> scc;while (m_sta.size()){auto u = m_sta.top(); m_sta.pop();scc.emplace_back(u);m_vIsStack[u] = false;if (cur == u) { break; }}m_sccs.emplace_back(scc);}vector<vector<int>>& m_neiBo;int m_iTimes = 0;vector<int> m_vTime, m_vBack;vector<bool> m_vIsStack;stack<int> m_sta;};class Solution {public:pair<bool, int> Ans(const int N, vector<pair<int, int>>& vNoMoney, vector<pair<int, int>>& edge) {vector<int> need(N, INT_MAX / 2);for (const auto& [v, Mon] : vNoMoney) {need[v - 1] = Mon;}auto neiBo = CNeiBo::Two(N, edge, true, 1);CSCCTarjan sp(neiBo);vector<vector<int>>& sccs = sp.m_sccs;vector<int> ptNew(N);iota(ptNew.begin(), ptNew.end(), 0);vector<int> v0;for (auto& v : sccs) {nth_element(v.begin(), v.begin(), v.end());v0.emplace_back(v[0]);for (int i = 1; i < v.size(); i++) {need[v[0]] = min(need[v[0]], need[v[i]]);ptNew[v[i]] = v[0];}}sort(v0.begin(), v0.end());vector<int> in(N);vector<vector<int>> neiBo1(N);for (int i = 0; i < N; i++) {const int p1 = ptNew[i];for (const auto& next : neiBo[i]) {const int p2 = ptNew[next];if (p1 == p2) { continue; }//忽略自环in[p2]++;neiBo1[p1].emplace_back(p2);}}int ans = 0;bool bCanAll = true;for (auto& n : v0) {if (0 != in[n]) { continue; }if (need[n] >= INT_MAX / 2) { bCanAll = false; break; }ans += need[n];}if (bCanAll) {return { true,ans };}vector<int> can;for (auto& n : v0) {if (need[n] >= INT_MAX / 2) { continue; }can.emplace_back(n);}auto leves = CBFSLeve::Leve(neiBo1, can);int iMin = INT_MAX / 2;for (const auto& n : v0) {if (-1 == leves[n]) { return { false,n + 1 }; }}return { true,-1 };}};int main() {#ifdef _DEBUGfreopen(\"a.in\", \"r\", stdin);#endif // DEBUGios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff in; COutBuff ob;int n;cin >> n;auto noMoney = Read<pair<int, int>>();auto edge = Read<pair<int, int>>();#ifdef _DEBUGprintf(\"N=%d\",n);Out(noMoney, \",noMoney=\");Out(edge, \",edge=\");#endif // DEBUGauto res = Solution().Ans(n,noMoney,edge);cout << (res.first ? \"YES\" : \"NO\")<<\"\\n\";cout << res.second << \"\\n\";return 0;};

单元测试

 int N;vector<pair<int, int>> noMoney, edge;TEST_METHOD(TestMethod01){N = 3, noMoney = { {1,10},{2,100} }, edge = { {1,3},{2,3} };auto res = Solution().Ans(N, noMoney,edge);AssertEx({true,110 }, res);}TEST_METHOD(TestMethod02){N = 4, noMoney = { {1,100},{4,200} }, edge = { {1,2},{3,4} };auto res = Solution().Ans(N, noMoney, edge);AssertEx({ false,3 }, res);}TEST_METHOD(TestMethod03){N = 4, noMoney = { {1,2},{2,2} ,{3,3},{4,4} }, edge = { {1,2},{1,3},{1,4},{4,3},{3,2},{2,1} };auto res = Solution().Ans(N, noMoney, edge);AssertEx({ true,2 }, res);}TEST_METHOD(TestMethod05){N = 9, noMoney = { {1,100},{9,10000} }, edge = { {1,3},{4,3},{2,4},{2,1},{8,5},{8,7},{5,6},{7,6},{4,5} };auto res = Solution().Ans(N, noMoney, edge);AssertEx({ false,2 }, res);}TEST_METHOD(TestMethod06){N = 4, noMoney = { {4,10} }, edge = { {3,2},{3,1} };auto res = Solution().Ans(N, noMoney, edge);AssertEx({ false,1 }, res);}TEST_METHOD(TestMethod04){int n = 5; // Number of nodesvector<vector<int>> adj(n);// Example graphadj[0] = { 1 };adj[1] = { 2 };adj[2] = { 0, 3 };adj[3] = { 4 };adj[4] = { 3 };vector<vector<int>> sccs = CShrinkPoint().kosaraju(adj, n);}

扩展阅读

我想对大家说的话 工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。 学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作 有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注 闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。