CQF预备知识：二、线性代数 -- 2.2.2 矩阵乘法详解

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本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。

教程涵盖以下四个主题：

• 微积分
• 线性代数
• 微分方程
• 概率与统计

2.2.2 矩阵乘法详解

1. 矩阵乘法定义

   两个矩阵 $A$ 和 $B$ 的乘积 $C=AB$ 定义为：
   Cij=∑k=1NAikBkj C_{ij} = \\sum_{k=1}^{N} A_{ik} B_{kj} Cij​=k=1∑N​Aik​Bkj​
   其中：

   • CijC_{ij}Cij​ 是结果矩阵 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素
   • AikA_{ik}Aik​ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $k$ 列元素
   • BkjB_{kj}Bkj​ 是矩阵 $B$ 的第 $k$ 行第 $j$ 列元素
   • 求和下标 $k$ 遍历所有列（对 $A$）和行（对 $B$）

2. 几何解释

   矩阵乘法可理解为：

   结果矩阵 $C$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 = 矩阵 $A$ 的第 $i$ 行向量 与 矩阵 $B$ 的第 $j$ 列向量的 点积

3. 维度规则

   矩阵乘法的维度必须满足：

   Ap×n⋅Bn×m→Cp×m A_{p \\times n} \\cdot B_{n \\times m} \\rightarrow C_{p \\times m} Ap×n​⋅Bn×m​→Cp×m​

   • 前矩阵的列数（$n$）必须等于后矩阵的行数（$n$）
   • 结果矩阵的行数 = 前矩阵的行数（$p$）
   • 结果矩阵的列数 = 后矩阵的列数（$m$）

4. 计算步骤（以 2×2 矩阵为例）

   (abcd)(efgh)=(ae+bgaf+bhce+dgcf+dh) \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} e & f \\\\ g & h \\end{pmatrix} \\\\ \\text{=} \\begin{pmatrix} \\color{red}{ae + bg} & \\color{blue}{af + bh} \\\\ \\color{green}{ce + dg} & \\color{purple}{cf + dh} \\end{pmatrix} (ac​bd​)(eg​fh​)=(ae+bgce+dg​af+bhcf+dh​)

   • C11\\color{red}{C_{11}}C11​：$A$ 的第1行 $\cdot$ $B$ 的第1列 = $a\cdot e+b\cdot g$
   • C12\\color{blue}{C_{12}}C12​：$A$ 的第1行 $\cdot$ $B$ 的第2列 = $a\cdot f+b\cdot h$
   • C21\\color{green}{C_{21}}C21​：$A$ 的第2行 $\cdot$ $B$ 的第1列 = $c\cdot e+d\cdot g$
   • C22\\color{purple}{C_{22}}C22​：$A$ 的第2行 $\cdot$ $B$ 的第2列 = $c\cdot f+d\cdot h$

5. 非交换性

   矩阵乘法不满足交换律：

   $$AB\ne BA$$

   原因：

   1. 维度可能不匹配（如 A2×3A_{2×3}A2×3​ 和 B3×2B_{3×2}B3×2​ 可乘，但 B3×2A2×3B_{3×2}A_{2×3}B3×2​A2×3​ 不可乘）
   2. 即使维度匹配，元素计算结果也不同

6. 计算示例

   给定：

   A=(210202),B=(120312) A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 2 \\end{pmatrix}, \\quad B = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 3 \\\\ 1 & 2 \\end{pmatrix} A=(22​10​02​),B=​101​232​​

   计算 C11C_{11}C11​：

   C11=A1∗⋅B∗1=2×1+1×0+0×1=2 C_{11} = A_{1*} \\cdot B_{*1} = 2×1 + 1×0 + 0×1 = 2 C11​=A1∗​⋅B∗1​=2×1+1×0+0×1=2

   计算 C12C_{12}C12​：

   C12=A1∗⋅B∗2=2×2+1×3+0×2=7 C_{12} = A_{1*} \\cdot B_{*2} = 2×2 + 1×3 + 0×2 = 7 C12​=A1∗​⋅B∗2​=2×2+1×3+0×2=7

   计算 C21C_{21}C21​：

   C21=A2∗⋅B∗1=2×1+0×0+2×1=4 C_{21} = A_{2*} \\cdot B_{*1} = 2×1 + 0×0 + 2×1 = 4 C21​=A2∗​⋅B∗1​=2×1+0×0+2×1=4

   计算 C22C_{22}C22​：

   C22=A2∗⋅B∗2=2×2+0×3+2×2=8 C_{22} = A_{2*} \\cdot B_{*2} = 2×2 + 0×3 + 2×2 = 8 C22​=A2∗​⋅B∗2​=2×2+0×3+2×2=8

   最终结果：

   C=AB=(2748) C = AB = \\begin{pmatrix} 2 & 7 \\\\ 4 & 8 \\end{pmatrix} C=AB=(24​78​)

7. 关键要点

   1. 点积本质：每个元素都是行向量与列向量的点积
   2. 维度匹配：前矩阵列数 = 后矩阵行数
   3. 顺序敏感：$AB$ 和 $BA$ 通常不同
   4. 非标量乘法：矩阵乘法包含求和操作，不是元素对应相乘

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