【数学基础】第十五课：矩阵的相似变换和相合变换

1.相似矩阵

在线性代数中，相似矩阵（similar matrix）是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个$n\times n$矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个$n\times n$的可逆矩阵P，使得：

P − 1A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B

P被称为矩阵A与B之间的相似变换矩阵。

例如：

[ 2 1 1 − 1 ] − 1 [ 1 2 1 0 ][ 2 1 1 − 1] = [ 2 0 0 − 1] \\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & -1 \\\\ \\end{bmatrix}^{-1} \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 1 & 0 \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & -1 \\\\ \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & -1 \\\\ \\end{bmatrix} [21​1−1​]−1[11​20​][21​1−1​]=[20​0−1​]

[ 1 2 − 2 1 ] − 1 [ 8 − 6 − 6 17 ][ 1 2 − 2 1 ] = [ 20 0 0 5 ] \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ -2 & 1 \\\\ \\end{bmatrix}^{-1} \\begin{bmatrix} 8 & -6 \\\\ -6 & 17 \\\\ \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ -2 & 1 \\\\ \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 20 & 0 \\\\ 0 & 5 \\\\ \\end{bmatrix} [1−2​21​]−1[8−6​−617​][1−2​21​]=[200​05​]

1.1.相似变换的几何意义

👉相似矩阵的几何意义就是同一个线性变换在不同的基下的表达形式（关于线性变换请见：线性变换，即$Q=P$且均为方阵的情况）。

举个例子，线性变换$T:V\to V$，在$y=x$方向拉伸两倍：

选择第一组基为： α={ α 1 =(1,0), α 2 =(0,1)} \\alpha=\\{ \\alpha_1=(1,0),\\alpha_2=(0,1) \\} α={α1​=(1,0),α2​=(0,1)}，则有：

T ( α 1 + α 2 ) = 2 ( α 1 + α 2 ) T(\\alpha_1+\\alpha_2)=2(\\alpha_1 + \\alpha_2) T(α1​+α2​)=2(α1​+α2​)

T ( α 1 − α 2 ) = α 1 − α 2 T(\\alpha_1 - \\alpha_2)=\\alpha_1 - \\alpha_2 T(α1​−α2​)=α1​−α2​

根据上面两个式子可得：

T ( α 1 ) = 3 2α 1 + 1 2α 2 T(\\alpha_1)=\\frac{3}{2}\\alpha_1 + \\frac{1}{2} \\alpha_2 T(α1​)=23​α1​+21​α2​

T ( α 2 ) = 1 2α 1 + 3 2α 2 T(\\alpha_2)=\\frac{1}{2} \\alpha_1 + \\frac{3}{2} \\alpha_2 T(α2​)=21​α1​+23​α2​

因此：

A α ( T ) = [ 3 2 1 2 1 2 3 2] A_{\\alpha}(T)=\\begin{bmatrix} \\frac{3}{2} & \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{1}{2} & \\frac{3}{2} \\\\ \\end{bmatrix} Aα​(T)=[23​21​​21​23​​]

此时，我们再换另外一组基： α ~ ={ α 1 =(1,1), α 2 =(1,−1)} \\tilde{\\alpha}=\\{ \\alpha_1=(1,1), \\alpha_2=(1,-1) \\} α~={α1​=(1,1),α2​=(1,−1)}

类似的，我们可以求得：

T ( α 1 ~ ) = 2 α 1 ~ T(\\tilde{\\alpha_1})=2 \\tilde{\\alpha_1} T(α1​~​)=2α1​~​

T ( α 2 ~ ) = α 2 ~ T(\\tilde{\\alpha_2})=\\tilde {\\alpha_2} T(α2​~​)=α2​~​

A α ~( T ) = [ 2 0 0 1 ] A_{\\tilde{\\alpha}}(T)=\\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 1 \\\\ \\end{bmatrix} Aα~​(T)=[20​01​]

1.2.相似变换下的不变性质

两个相似的矩阵有许多相同的性质（这里仅列出部分性质）：

1. 两者的秩相等。
2. 两者的行列式值相等。
3. 两者的迹数相等。
4. 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。

1.2.1.矩阵的特征值和特征向量

设$A$是$n$阶方阵，如果数$\lambda$和$n$维非零列向量$x$使关系式$Ax=\lambda x$成立，那么这样的数$\lambda$称为矩阵$A$的特征值，非零向量$x$称为$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量。

特征方程：$det(A-\lambda I)=0$，$I$为单位矩阵。

❗️$A$的迹等于所有特征值之和。

👉举个例子：

A = [ 2 1 1 2 ] A=\\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \\\\ \\end{bmatrix} A=[21​12​]

$A-\lambda I$为：

A = [ 2 − λ 1 1 2 − λ] A=\\begin{bmatrix} 2-\\lambda & 1 \\\\ 1 & 2-\\lambda \\\\ \\end{bmatrix} A=[2−λ1​12−λ​]

d e t ( A − λ I ) = ( 2 − λ ) 2 − 1 = ( λ − 1 ) ( λ − 3 ) = 0 det(A-\\lambda I)=(2-\\lambda)^2 -1=(\\lambda -1)(\\lambda -3)=0 det(A−λI)=(2−λ)2−1=(λ−1)(λ−3)=0

解得两个特征值： λ 1 =1; λ 2 =3 \\lambda_1=1;\\lambda_2=3 λ1​=1;λ2​=3。

$Ax=\lambda x$等价于$(A-\lambda I)x=0$，分别代入 λ 1 , λ 2 \\lambda_1,\\lambda_2 λ1​,λ2​求得对应的特征向量：

[ 2 − 1 1 1 2 − 1] x = [ 1 1 1 1 ] x = 0 ⇒ x 1 = [ 1 − 1] \\begin{bmatrix} 2-1 & 1 \\\\ 1 & 2-1 \\\\ \\end{bmatrix} x = \\begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \\\\ \\end{bmatrix}x=0 \\Rightarrow x_1=\\begin{bmatrix} 1 \\\\ -1 \\\\ \\end{bmatrix} [2−11​12−1​]x=[11​11​]x=0⇒x1​=[1−1​]

[ 2 − 3 1 1 2 − 3] x = [ − 1 1 1 − 1] x = 0 ⇒ x 2 = [ 1 1 ] \\begin{bmatrix} 2-3 & 1 \\\\ 1 & 2-3 \\\\ \\end{bmatrix} x = \\begin{bmatrix} -1 & 1 \\\\ 1 & -1 \\\\ \\end{bmatrix}x=0 \\Rightarrow x_2=\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ \\end{bmatrix} [2−31​12−3​]x=[−11​1−1​]x=0⇒x2​=[11​]

x 1 , x 2 x_1,x_2 x1​,x2​乘以某一系数结果依旧成立。

‼️矩阵和其特征值存在两个非常重要的关系：假设矩阵$A$的特征值为 a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n a_1,a_2,a_3,...,a_n a1​,a2​,a3​,...,an​（重根重复记），则：

∑ a i = trace ( A ) \\sum a_i = \\text{trace} (A) ∑ai​=trace(A)

∏ a i = det ( A ) \\prod a_i = \\text{det} (A) ∏ai​=det(A)

2.相合变换

如果对于两个对称方阵$A$和 A ~ \\tilde A A~，存在一个可逆方阵$P$，使得 A ~ = P T AP \\tilde A=P^T AP A~=PTAP。那么这两个方阵就互为相合矩阵。

2.1.相合不变量

1. 矩阵的正定性（正定，负定）。
2. 矩阵的正负特征值的个数。
3. 相合变换下矩阵保持对称性。

3.正交相似变换

如果两个对称方阵$A$和 A ~ \\tilde A A~满足， A ~ = P T AP \\tilde A=P^T AP A~=PTAP，而且$P$是正交矩阵： P T = P − 1 P^T=P^{-1} PT=P−1，那么这$A$与 A ~ \\tilde A A~就互为正交相似。

正交矩阵：方阵$Q$满足， Q T Q = Q Q T = I Q^T Q=Q Q^T=I QTQ=QQT=I（等价于 Q T = Q − 1 Q^T=Q^{-1} QT=Q−1），其中$I$为单位矩阵。

若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。

正交相似变换同时满足相似和相合变换的条件，也就是说它同时保持了矩阵的相似与相合不变量。

‼️任何一个对称矩阵$A$都可以正交相似于一个对角矩阵$D$。即总存在一个正交矩阵$P$使得， A= P T DP A=P^T DP A=PTDP。

对角矩阵（diagonal matrix）是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。

4.参考资料

1. 相似矩阵（维基百科）

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