线性代数 下

文章目录

• • • • 十一、方程组解的结构和性质
      • • 1、齐次线性方程组
        • 2、非齐次线性方程组
      • 十二、Ax=0的基础解系
      • 十三、两个方程组的公共解
      • 十四、同解方程
      • 十五、求特征值、特征向量
      • 十六、判断A能否相似对角化
      • 十七、若A可以相似对角化，求P(Q)
      • 十八、二次型化标准型
      • • 1、拉格朗日配方法
        • 2、正交化法
      • 十九、二次型正定
      • 二十、等价、相似、合同

十一、方程组解的结构和性质

1、齐次线性方程组

方程组

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 ,⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = 0 \\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\cdots + a_{1n}x_n = 0, \\\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\cdots + a_{2n}x_n = 0, \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\cdots \\cdots \\\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \\cdots + a_{mn}x_n = 0 \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​=0,a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=0,⋯⋯am1​x1​+am2​x2​+⋯+amn​xn​=0​ （Ⅰ）

称为m个方程，n个未知量的齐次线性方程组

（1）有解的条件

①当r(A) = n( α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​线性无关)时，方程组（Ⅰ）有唯一零解

②当r(A) = r < n( α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​线性相关)时，方程组（Ⅰ）有非零解（无穷多解），且有n-r个线性无关解

（2）求解方法

①将系数矩阵A作初等行变换化为行阶梯形矩阵B，求出r(A)

②按列找出一个秩为r的子矩阵，剩余列位置的未知数设为自由变量 n - r(A)个自由变量

③ 按基础解系定义求出 ξ 1 , ξ 2 ,…, ξ n − r \\boldsymbol{\\xi}_1, \\boldsymbol{\\xi}_2, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{n-r} ξ1​,ξ2​,…,ξn−r​ ，并写出通解。

2、非齐次线性方程组

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ,⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m \\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \\cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \\cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\cdots \\cdots \\\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \\cdots + a_{mn}x_n = b_m \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​=b1​,a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=b2​,⋯⋯am1​x1​+am2​x2​+⋯+amn​xn​=bm​​ （Ⅱ）

称为m个方程，n个未知量的非齐次线性方程组

（1）有解的条件

①若r(A)≠r([A,b])（b不能由 α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​线性表示），则方程组（Ⅱ）无解

②若r(A)＝r([A,b]) = n（即 α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​线性无关， α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α n ，b α_1,α_2,···，α_n，b α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​，b线性相关），则方程组（Ⅱ）有唯一解

③若r(A)＝r([A,b]) < n，则方程组（Ⅱ）有无穷多解

（2）求解方法

① 写出 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的导出方程组 $A\mathbf{x}=0$ ，并求 $A\mathbf{x}=0$ 的通解：

x = k 1ξ 1 + k 2ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r \\boldsymbol{x} = k_1\\boldsymbol{\\xi}_1 + k_2\\boldsymbol{\\xi}_2 + \\dots + k_{n-r}\\boldsymbol{\\xi}_{n-r} x=k1​ξ1​+k2​ξ2​+⋯+kn−r​ξn−r​

② 求 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的一个特解 $\mathbf{\eta }$

③非齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的通解为：
x = k 1ξ 1 + k 2ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r+ η \\boldsymbol{x} = k_1\\boldsymbol{\\xi}_1 + k_2\\boldsymbol{\\xi}_2 + \\dots + k_{n-r}\\boldsymbol{\\xi}_{n-r} + \\boldsymbol{\\eta} x=k1​ξ1​+k2​ξ2​+⋯+kn−r​ξn−r​+η

其中 k 1 , k 2 ,…, k n − r k_1, k_2, \\dots, k_{n-r} k1​,k2​,…,kn−r​为任意常数

十二、Ax=0的基础解系

设 ξ 1 , ξ 2 ,…, ξ n − r \\boldsymbol{\\xi}_1, \\boldsymbol{\\xi}_2, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{n-r} ξ1​,ξ2​,…,ξn−r​ 满足以下充要条件，则称 ξ 1 , ξ 2 ,…, ξ n − r \\boldsymbol{\\xi}_1, \\boldsymbol{\\xi}_2, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{n-r} ξ1​,ξ2​,…,ξn−r​ 为齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=0$ 的基础解系：

1. 是方程组的解：

   ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n − r \\boldsymbol{\\xi}_1, \\boldsymbol{\\xi}_2, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{n-r} ξ1​,ξ2​,…,ξn−r​ 均满足 $A\mathbf{x}=0$（即属于解空间）；

2. 线性无关：

   ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n − r \\boldsymbol{\\xi}_1, \\boldsymbol{\\xi}_2, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{n-r} ξ1​,ξ2​,…,ξn−r​ 作为向量组线性无关（是解空间的一组“基”的候选）；

3. 能表示所有解：

   方程组 $A\mathbf{x}=0$的任一解都可由 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n − r \\boldsymbol{\\xi}_1, \\boldsymbol{\\xi}_2, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{n-r} ξ1​,ξ2​,…,ξn−r​ 线性表示（即它们构成解空间的一组基）。

十三、两个方程组的公共解

已知线性方程组：
{ (I) { x 1 + x 2 = 0 , x 2 − x 4 = 0 (II) { x 1 − x 2 + x 3 = 0 , x 2 − x 3 + x 4 = 0 \\begin{cases} \\text{(I)} & \\begin{cases} x_1 + x_2 = 0, \\\\ x_2 - x_4 = 0 \\end{cases} \\\\[1em] \\text{(II)} & \\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 0, \\\\ x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\end{cases} \\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​(I)(II)​{x1​+x2​=0,x2​−x4​=0​{x1​−x2​+x3​=0,x2​−x3​+x4​=0​​

(1) 求方程组 (I)、(II) 的基础解系

(2) 求方程组 (I)、(II) 的公共解

【解】

(1)

方程组 (I)的基础解析为
ξ 1 = ( 0 0 1 0 ) , ξ 2 = ( − 1 1 0 1 ) \\boldsymbol{\\xi}_1 = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\xi}_2 = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} ξ1​= ​0010​ ​,ξ2​= ​−1101​ ​

方程组(II)的基础解析为

η 1 = ( 0 1 1 0 ) , η 2 = ( − 1 − 1 0 1 ) \\boldsymbol{\\eta}_1 = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\eta}_2 = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} η1​= ​0110​ ​,η2​= ​−1−101​ ​

（2）

方法一：联立方程

联立后的系数矩阵为：

[ A B ] = [ 1 1 0 0 0 1 0 − 11 − 1 1 0 0 1 − 1 1 ] \\begin{bmatrix} \\boldsymbol{A} \\\\ \\boldsymbol{B} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\end{bmatrix} [AB​]= ​1010​11−11​001−1​0−101​ ​

对矩阵作初等行变换

[ 1 0 0 10 1 0 − 1 0 0 1 − 2 0 0 0 0 ] \\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{bmatrix} ​1000​0100​0010​1−1−20​ ​

因此方程组 (I)、(II)的公共解为

x=k [ − 11 2 1 ] , k∈R \\boldsymbol{x} = k \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad k \\in \\mathbb{R} x=k ​−1121​ ​,k∈R

方法二：通解代入

在方程组 (I) 的通解中，筛选出同时满足方程组 (II) 的解，即为 (I)、(II) 的公共解（也可在 (II) 的通解中筛选满足 (I) 的解 ）

已知方程组 (I) 的基础解系为 ξ 1 , ξ 2 \\boldsymbol{\\xi}_1, \\boldsymbol{\\xi}_2 ξ1​,ξ2​ ，因此其通解为：

x= k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 = k 1 [ 0 0 1 0 ] + k 2 [ − 11 0 1 ] = [ − k 2 k 2 k 1 k 2 ] \\boldsymbol{x} = k_1\\boldsymbol{\\xi}_1 + k_2\\boldsymbol{\\xi}_2 = k_1 \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + k_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -k_2 \\\\ k_2 \\\\ k_1 \\\\ k_2 \\end{bmatrix} x=k1​ξ1​+k2​ξ2​=k1​ ​0010​ ​+k2​ ​−1101​ ​= ​−k2​k2​k1​k2​​ ​

（其中 k 1 , k 2 ∈R k_1, k_2 \\in \\mathbb{R} k1​,k2​∈R 为任意常数 ）

将通解 x= [ − k 2 k 2 k 1 k 2 ] 代入方程组(II) \\boldsymbol{x} = \\begin{bmatrix} -k_2 \\\\ k_2 \\\\ k_1 \\\\ k_2 \\end{bmatrix} 代入方程组 (II) x= ​−k2​k2​k1​k2​​ ​代入方程组(II)：

{ x 1 − x 2 + x 3 = 0 , x 2 − x 3 + x 4 = 0 \\begin{cases}x_1 - x_2 + x_3 = 0, \\\\ x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\end{cases} {x1​−x2​+x3​=0,x2​−x3​+x4​=0​

代入第1个方程：

(− k 2 )− k 2 + k 1 =0    ⟹    k 1 −2 k 2 =0    ⟹    k 1 =2 k 2 (-k_2) - k_2 + k_1 = 0 \\implies k_1 - 2k_2 = 0 \\implies k_1 = 2k_2 (−k2​)−k2​+k1​=0⟹k1​−2k2​=0⟹k1​=2k2​

代入第2个方程：

k 2 − k 1 + k 2 =0    ⟹    2 k 2 − k 1 =0 k_2 - k_1 + k_2 = 0 \\implies 2k_2 - k_1 = 0 k2​−k1​+k2​=0⟹2k2​−k1​=0

结合 $k_1 = 2k_2 $，得方程组(I)、(II) 的公共解为

x= k 2 [ − 11 2 1 ] , k 2 ∈R \\boldsymbol{x} = k_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad k_2 \\in \\mathbb{R} x=k2​ ​−1121​ ​,k2​∈R

方法三：通解相等

(I)的通解： k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 = k 1 [ 0 0 1 0 ] + k 2 [ − 11 0 1 ] = [ − k 2 k 2 k 1 k 2 ] (I) 的通解：k_1\\boldsymbol{\\xi}_1 + k_2\\boldsymbol{\\xi}_2 = k_1 \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + k_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -k_2 \\\\ k_2 \\\\ k_1 \\\\ k_2 \\end{bmatrix} (I)的通解：k1​ξ1​+k2​ξ2​=k1​ ​0010​ ​+k2​ ​−1101​ ​= ​−k2​k2​k1​k2​​ ​

(II)的通解： l 1 η 1 + l 2 η 2 = l 1 [ 0 1 1 0 ] + l 2 [ − 1 − 10 1 ] = [ − l 2 l 1 − l 2 l 1 l 2 ] (II) 的通解：l_1\\boldsymbol{\\eta}_1 + l_2\\boldsymbol{\\eta}_2 = l_1 \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + l_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -l_2 \\\\ l_1 - l_2 \\\\ l_1 \\\\ l_2 \\end{bmatrix} (II)的通解：l1​η1​+l2​η2​=l1​ ​0110​ ​+l2​ ​−1−101​ ​= ​−l2​l1​−l2​l1​l2​​ ​

由上式可得 k 2 = l 2 , k 2 = l 1 − l 2 , k 1 = l 1 k_2 = l_2, k_2 = l_1 - l_2, k_1 = l_1 k2​=l2​,k2​=l1​−l2​,k1​=l1​

故

k 1 =2 k 2 k_1 = 2k_2 k1​=2k2​ 或 l 1 =2 l 2 l_1 = 2l_2 l1​=2l2​

因此公共解为

x= k 2 [ − 11 2 1 ] , k 2 ∈R \\boldsymbol{x} = k_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad k_2 \\in \\mathbb{R} x=k2​ ​−1121​ ​,k2​∈R

或

x= l 2 [ − 11 2 1 ] , l 2 ∈R \\boldsymbol{x} = l_2 \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{bmatrix}, \\quad l_2 \\in \\mathbb{R} x=l2​ ​−1121​ ​,l2​∈R

十四、同解方程

$A\mathbf{x}=0$ 与 $B\mathbf{x}=0$ 同解

基础解系为等价向量组

$A、B$行向量组为等价向量组

$A\mathbf{x}=0$的解均为$B\mathbf{x}=0$的解且 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$

r(A)=r(B)=r ( A B ) r(\\boldsymbol{A}) = r(\\boldsymbol{B}) = r\\begin{pmatrix} \\boldsymbol{A} \\\\ \\boldsymbol{B} \\end{pmatrix} r(A)=r(B)=r(AB​)

十五、求特征值、特征向量

方法一：|λE-A|=0，求λ，回代 ( λ i E−A)x=0 (λ_iE-A)x=0 (λi​E−A)x=0求α

方法二：常用结论

1. 行列式与迹（对 n 阶矩阵 A ， λ 1 , λ 2 , … , λ n\\boldsymbol{A} ， \\lambda_1, \\lambda_2, \\dots, \\lambda_n A，λ1​,λ2​,…,λn​为特征值 ）

   • ∣ A ∣ = λ 1 λ 2 ⋯ λ n |\\boldsymbol{A}| = \\lambda_1 \\lambda_2 \\cdots \\lambda_n ∣A∣=λ1​λ2​⋯λn​（行列式等于特征值之积 ）
   • tr ( A ) = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n \\text{tr}(\\boldsymbol{A}) = \\lambda_1 + \\lambda_2 + \\cdots + \\lambda_n tr(A)=λ1​+λ2​+⋯+λn​（迹等于特征值之和 ）

2. 多项式矩阵的特征值（若 $\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }$，则 ）

   对多项式 $f(x)$，有：

   $$f(\mathbf{A})\mathbf{\alpha }=f(\lambda )\mathbf{\alpha }$$

   具体应用：

   • A k α = λ k α \\boldsymbol{A}^k\\boldsymbol{\\alpha} = \\lambda^k\\boldsymbol{\\alpha} Akα=λkα（$k$ 次幂 ）
   • $(\mathbf{A}+k\mathbf{E})\mathbf{\alpha }=(\lambda +k)\mathbf{\alpha }$（加数量矩阵 ）
   • 若 $\mathbf{A}$ 可逆，则 A − 1 α = 1 λ α \\boldsymbol{A}^{-1}\\boldsymbol{\\alpha} = \\frac{1}{\\lambda}\\boldsymbol{\\alpha} A−1α=λ1​α， A ∗ α = ∣ A ∣ λ α \\boldsymbol{A}^*\\boldsymbol{\\alpha} = \\frac{|\\boldsymbol{A}|}{\\lambda}\\boldsymbol{\\alpha} A∗α=λ∣A∣​α（伴随矩阵 ）
   • 相似变换： P − 1 A P α = λ α \\boldsymbol{P}^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{P}\\boldsymbol{\\alpha} = \\lambda\\boldsymbol{\\alpha} P−1APα=λα（相似矩阵特征值相同，特征向量变换为 P − 1 α \\boldsymbol{P}^{-1}\\boldsymbol{\\alpha} P−1α ）

3. 特殊特征值

   • 若 $\mathbf{A}$ 为对合矩阵（ A 2 = E \\boldsymbol{A}^2 = \\boldsymbol{E} A2=E ），则 $\lambda =\pm 1$
   • 若 $\mathbf{A}$ 行和为 $ a $，则 $\lambda =a$ 是一个特征值，对应特征向量 α = ( 1 1 ⋮ 1) \\boldsymbol{\\alpha} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ \\vdots \\\\ 1 \\end{pmatrix} α= ​11⋮1​ ​（所有分量为1 ）

4. 特征值的重数

   若 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\lambda \mathbf{B}$ 且 $\mathbf{B}\ne 0$，则 $\lambda$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值，且 $\mathbf{B}$ 的非零列是对应特征向量；若 $\mathbf{B}$ 有 $n$ 个线性无关列满足，则 $\lambda$ 至少是 $n$ 重特征值

5. 二次型与特征值

   • 二次型 f = x T A x f = \\boldsymbol{x}^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{x} f=xTAx 经正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$ 化为标准型 λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 \\lambda_1 y_1^2 + \\lambda_2 y_2^2 + \\cdots + \\lambda_n y_n^2 λ1​y12​+λ2​y22​+⋯+λn​yn2​，其中 λ i \\lambda_i λi​ 是 $\mathbf{A}$ 的特征值

6. 相似矩阵的特征值

   若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$（相似 ），则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 特征值完全相同（包括重数 ），但特征向量不同（满足 A α = λ α    ⟺    B ( P − 1 α ) = λ ( P − 1 α ) \\boldsymbol{A}\\boldsymbol{\\alpha} = \\lambda\\boldsymbol{\\alpha} \\iff \\boldsymbol{B}(\\boldsymbol{P}^{-1}\\boldsymbol{\\alpha}) = \\lambda(\\boldsymbol{P}^{-1}\\boldsymbol{\\alpha}) Aα=λα⟺B(P−1α)=λ(P−1α)，$\mathbf{P}$ 为相似变换矩阵 ）

十六、判断A能否相似对角化

方法一：基于特征值和特征向量的个数判断（适用于一般矩阵）

• 判断条件：n阶矩阵$\mathbf{A}$可相似对角化的充分必要条件是$\mathbf{A}$有n个线性无关的特征向量。
• 具体步骤
  1. 计算特征值：根据特征方程$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$ ，求出矩阵$\mathbf{A}$的所有特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ s \\lambda_1,\\lambda_2,\\cdots,\\lambda_s λ1​,λ2​,⋯,λs​，以及它们对应的代数重数 n 1 , n 2 , ⋯   , n s n_1,n_2,\\cdots,n_s n1​,n2​,⋯,ns​（特征值 λ i \\lambda_i λi​的代数重数是指它在特征方程的根中出现的重数，且 n 1 + n 2 + ⋯ + n s = n n_1 + n_2+\\cdots + n_s = n n1​+n2​+⋯+ns​=n)。
  2. 计算特征向量并判断线性无关性：对于每个特征值 λ i \\lambda_i λi​，求解齐次线性方程组 ( λ i E − A ) x = 0 (\\lambda_i\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A})\\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{0} (λi​E−A)x=0，得到其基础解系，基础解系中的向量就是属于 λ i \\lambda_i λi​的线性无关的特征向量，设其个数为 m i m_i mi​, m i m_i mi​也被称为特征值 λ i \\lambda_i λi​的几何重数， 即属于 λ i \\lambda_i λi​的线性无关特征向量的个数）。若对于每一个特征值 λ i \\lambda_i λi​，都有其代数重数 n i n_i ni​等于几何重数 m i m_i mi​，即 n i = m i n_i = m_i ni​=mi​，$i=1,2,\cdots ,s$，则矩阵$\mathbf{A}$有n个线性无关的特征向量，$\mathbf{A}$可以相似对角化；若存在某个特征值，其代数重数不等于几何重数，则$\mathbf{A}$不能相似对角化。

方法二：判断矩阵是否为实对称矩阵（适用于实矩阵）

• 判断条件：实对称矩阵一定可以相似对角化，并且可以正交相似对角化（即存在正交矩阵$\mathbf{Q}$，使得 Q − 1A Q = Q T A Q \\boldsymbol{Q}^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q}=\\boldsymbol{Q}^T\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q} Q−1AQ=QTAQ为对角矩阵）。
• 具体步骤：只需判断矩阵$\mathbf{A}$是否满足 A T = A \\boldsymbol{A}^T = \\boldsymbol{A} AT=A，若满足，则$\mathbf{A}$可相似对角化。

十七、若A可以相似对角化，求P(Q)

若矩阵 $\mathbf{A}$ 可相似对角化，求可逆矩阵 $\mathbf{P}$（或正交矩阵 $\mathbf{Q}$）的步骤

一、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 使 P − 1 AP=Λ \\boldsymbol{P}^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{P} = \\boldsymbol{\\Lambda} P−1AP=Λ（$\mathbf{\Lambda }$ 为对角矩阵）

1. 求特征值 解特征方程 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$，得所有特征值 λ 1 , λ 2 , … , λ n \\lambda_1, \\lambda_2, \\dots, \\lambda_n λ1​,λ2​,…,λn​（含重数）。
2. 求特征向量 对每个特征值 λ i \\lambda_i λi​，解齐次方程组 ( λ i E − A ) x = 0 (\\lambda_i\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A})\\boldsymbol{x} = \\boldsymbol{0} (λi​E−A)x=0，得基础解系 ξ i 1, ξ i 2, … , ξ i k i \\boldsymbol{\\xi}_{i1}, \\boldsymbol{\\xi}_{i2}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{ik_i} ξi1​,ξi2​,…,ξiki​​（ k i k_i ki​ 为几何重数，且 ∑ k i = n \\sum k_i = n ∑ki​=n）。
3. 构造矩阵 $\mathbf{P}$ 与对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$

• 将所有线性无关的特征向量按列排列，组成可逆矩阵： P = ( ξ 11 , ξ 12 , … , ξ 1 k 1 , ξ 21 , … , ξ n k n ) \\boldsymbol{P} = (\\boldsymbol{\\xi}_{11}, \\boldsymbol{\\xi}_{12}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{1k_1}, \\boldsymbol{\\xi}_{21}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{nk_n}) P=(ξ11​,ξ12​,…,ξ1k1​​,ξ21​,…,ξnkn​​)

• 对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$ 的对角线元素为对应特征值，顺序与 $\mathbf{P}$ 的列向量一致： Λ = ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) \\boldsymbol{\\Lambda} = \\begin{pmatrix} \\lambda_1 & & & \\\\ & \\lambda_2 & & \\\\ & & \\ddots & \\\\ & & & \\lambda_n \\end{pmatrix} Λ= ​λ1​​λ2​​⋱​λn​​ ​

二、求正交矩阵 $\mathbf{Q}$ 使 Q − 1 AQ= Q T AQ=Λ \\boldsymbol{Q}^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q} = \\boldsymbol{Q}^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q} = \\boldsymbol{\\Lambda} Q−1AQ=QTAQ=Λ（适用于实对称矩阵）

1. 完成“求可逆矩阵 $\mathbf{P}$”的步骤1-2 得特征值 λ 1 , … , λ n \\lambda_1, \\dots, \\lambda_n λ1​,…,λn​ 和对应特征向量 ξ i 1, … , ξ i k i \\boldsymbol{\\xi}_{i1}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{ik_i} ξi1​,…,ξiki​​。
2. 正交化 对同一特征值 λ i \\lambda_i λi​ 的线性无关特征向量 ξ i 1, … , ξ i k i \\boldsymbol{\\xi}_{i1}, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_{ik_i} ξi1​,…,ξiki​​，用施密特正交化法化为正交向量组： β i 1 = ξ i 1 , β i j = ξ i j − ∑ m = 1 j − 1 ( ξ i j , β i m ) ( β i m , β i m ) β i m ( j = 2 , … , k i ) \\boldsymbol{\\beta}_{i1} = \\boldsymbol{\\xi}_{i1}, \\quad \\boldsymbol{\\beta}_{ij} = \\boldsymbol{\\xi}_{ij} - \\sum_{m=1}^{j-1} \\frac{(\\boldsymbol{\\xi}_{ij}, \\boldsymbol{\\beta}_{im})}{(\\boldsymbol{\\beta}_{im}, \\boldsymbol{\\beta}_{im})}\\boldsymbol{\\beta}_{im} \\quad (j=2, \\dots, k_i) βi1​=ξi1​,βij​=ξij​−m=1∑j−1​(βim​,βim​)(ξij​,βim​)​βim​(j=2,…,ki​)
3. 单位化 将正交向量组 β i 1, … , β i k i \\boldsymbol{\\beta}_{i1}, \\dots, \\boldsymbol{\\beta}_{ik_i} βi1​,…,βiki​​ 单位化： γ i j = β i j∥ β i j ∥ ( ∥ β ∥ = ( β , β )  为向量模长 ) \\boldsymbol{\\gamma}_{ij} = \\frac{\\boldsymbol{\\beta}_{ij}}{\\|\\boldsymbol{\\beta}_{ij}\\|} \\quad (\\|\\boldsymbol{\\beta}\\| = \\sqrt{(\\boldsymbol{\\beta}, \\boldsymbol{\\beta})} \\text{ 为向量模长}) γij​=∥βij​∥βij​​(∥β∥=(β,β) ​ 为向量模长)
4. 构造正交矩阵 $\mathbf{Q}$ 将所有单位正交特征向量按列排列，组成正交矩阵： Q = ( γ 11 , … , γ 1 k 1 , γ 21 , … , γ n k n ) \\boldsymbol{Q} = (\\boldsymbol{\\gamma}_{11}, \\dots, \\boldsymbol{\\gamma}_{1k_1}, \\boldsymbol{\\gamma}_{21}, \\dots, \\boldsymbol{\\gamma}_{nk_n}) Q=(γ11​,…,γ1k1​​,γ21​,…,γnkn​​)

【例】

求实对称矩阵 A= ( 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ) \\boldsymbol{A} = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 2 & 2 & 1 \\end{pmatrix} A= ​122​212​221​ ​ 的正交矩阵 $\mathbf{Q}$

1. 特征值： λ 1 = 5 \\lambda_1 = 5 λ1​=5， λ 2 = λ 3 = − 1 \\lambda_2 = \\lambda_3 = -1 λ2​=λ3​=−1（代数重数均等于几何重数）。

2. 特征向量：

   • λ 1 = 5 \\lambda_1 = 5 λ1​=5 对应 ξ 1 = ( 1 1 1 ) \\boldsymbol{\\xi}_1 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} ξ1​= ​111​ ​

   • λ 2 = − 1 \\lambda_2 = -1 λ2​=−1 对应 ξ 2 = ( − 1 1 0 ) , ξ 3 = ( − 1 0 1 ) \\boldsymbol{\\xi}_2 = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\boldsymbol{\\xi}_3 = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix} ξ2​= ​−110​ ​,ξ3​= ​−101​ ​

3. 正交化：

   • β 1 = ξ 1 = ( 1 1 1) \\boldsymbol{\\beta}_1 = \\boldsymbol{\\xi}_1 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} β1​=ξ1​= ​111​ ​
   • β 2 = ξ 2 = ( − 1 1 0) \\boldsymbol{\\beta}_2 = \\boldsymbol{\\xi}_2 = \\begin{pmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} β2​=ξ2​= ​−110​ ​
   • β 3 = ξ 3 − ( ξ 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 )β 2 = ( − 1 / 2 − 1 / 2 1) \\boldsymbol{\\beta}_3 = \\boldsymbol{\\xi}_3 - \\frac{(\\boldsymbol{\\xi}_3, \\boldsymbol{\\beta}_2)}{(\\boldsymbol{\\beta}_2, \\boldsymbol{\\beta}_2)}\\boldsymbol{\\beta}_2 = \\begin{pmatrix} -1/2 \\\\ -1/2 \\\\ 1 \\end{pmatrix} β3​=ξ3​−(β2​,β2​)(ξ3​,β2​)​β2​= ​−1/2−1/21​ ​

4. 单位化： γ 1 = 1 3( 1 1 1) , γ 2 = 1 2( − 1 1 0) , γ 3 = 1 6( − 1 − 1 2) \\boldsymbol{\\gamma}_1 = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\gamma}_2 = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix} -1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\gamma}_3 = \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\begin{pmatrix} -1 \\\\ -1 \\\\ 2 \\end{pmatrix} γ1​=3 ​1​ ​111​ ​,γ2​=2 ​1​ ​−110​ ​,γ3​=6 ​1​ ​−1−12​ ​

5. 正交矩阵： Q = ( 1 / 3 − 1 / 2 − 1 / 6 1 / 3 1 / 2 − 1 / 6 1 / 3 0 2 / 6 ) \\boldsymbol{Q} = \\begin{pmatrix} 1/\\sqrt{3} & -1/\\sqrt{2} & -1/\\sqrt{6} \\\\ 1/\\sqrt{3} & 1/\\sqrt{2} & -1/\\sqrt{6} \\\\ 1/\\sqrt{3} & 0 & 2/\\sqrt{6} \\end{pmatrix} Q= ​1/3 ​1/3 ​1/3 ​​−1/2 ​1/2 ​0​−1/6 ​−1/6 ​2/6 ​​ ​ 满足 Q T A Q = ( 5 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 )\\boldsymbol{Q}^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{Q} = \\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 \\end{pmatrix} QTAQ= ​500​0−10​00−1​ ​。

• $\mathbf{P}$ 是可逆矩阵，由线性无关特征向量组成，适用于所有可对角化矩阵；
• $\mathbf{Q}$ 是正交矩阵（ Q − 1= Q T \\boldsymbol{Q}^{-1} = \\boldsymbol{Q}^\\text{T} Q−1=QT），由单位正交特征向量组成，仅适用于实对称矩阵（必可对角化且可正交对角化）。

十八、二次型化标准型

1、拉格朗日配方法

通过代数配方将二次型 f= x T Ax f = \\boldsymbol{x}^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{x} f=xTAx 转化为只含平方项的标准形 f= d 1 y 1 2 + d 2 y 2 2 +⋯+ d n y n 2 f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \\cdots + d_ny_n^2 f=d1​y12​+d2​y22​+⋯+dn​yn2​，对应可逆线性变换 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$（$\mathbf{C}$ 为可逆矩阵）

1. 含平方项的变量优先配方：

若二次型含某个变量（如 x 1 x_1 x1​）的平方项，将所有含 x 1 x_1 x1​ 的项集中，配成完全平方形式，剩余项中重复此操作。

2. 不含平方项时构造平方项：

   若二次型仅含交叉项（如 x 1 x 2x_1x_2 x1​x2​），令 x 1 = y 1 + y 2x_1 = y_1 + y_2 x1​=y1​+y2​， x 2 = y 1 − y 2x_2 = y_1 - y_2 x2​=y1​−y2​， x i = y i   ( i ≥ 3 ) x_i = y_i \\ (i \\geq 3) xi​=yi​ (i≥3)，引入平方项后再配方。

3. 写出标准形和变换矩阵：

   配方后得到标准形，根据变量替换关系写出可逆矩阵 $\mathbf{C}$，满足 f = y T ( C T A C ) y f = \\boldsymbol{y}^\\text{T}(\\boldsymbol{C}^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{C})\\boldsymbol{y} f=yT(CTAC)y 为标准形。

示例：

化二次型 f= x 1 2 +2 x 1 x 2 +2 x 2 2 +4 x 2 x 3 +4 x 3 2 f = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 4x_3^2 f=x12​+2x1​x2​+2x22​+4x2​x3​+4x32​ 为标准形。

• 配方过程：
  f = ( x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 ) + ( x 2 2 + 4 x 2 x 3 + 4 x 3 2 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( x 2 + 2 x 3 ) 2 \\begin{align*} f &= (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) + (x_2^2 + 4x_2x_3 + 4x_3^2) \\\\ &= (x_1 + x_2)^2 + (x_2 + 2x_3)^2 \\end{align*} f​=(x12​+2x1​x2​+x22​)+(x22​+4x2​x3​+4x32​)=(x1​+x2​)2+(x2​+2x3​)2​

• 变量替换：
  令 y 1 = x 1 + x 2y_1 = x_1 + x_2 y1​=x1​+x2​， y 2 = x 2 + 2 x 3y_2 = x_2 + 2x_3 y2​=x2​+2x3​， y 3 = x 3y_3 = x_3 y3​=x3​，则 x = ( 1 − 1 2 0 1 − 2 0 0 1 ) y \\boldsymbol{x} = \\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}\\boldsymbol{y} x= ​100​−110​2−21​ ​y。

• 标准形： f = y 1 2 + y 2 2f = y_1^2 + y_2^2 f=y12​+y22​，变换矩阵 C = ( 1 − 1 2 0 1 − 2 0 0 1 )\\boldsymbol{C} = \\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix} C= ​100​−110​2−21​ ​（可逆）。

2、正交化法

通过正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$（$\mathbf{Q}$ 为正交矩阵）将二次型化为标准形，标准形的系数为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值，即 f= λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 +⋯+ λ n y n 2 f = \\lambda_1y_1^2 + \\lambda_2y_2^2 + \\cdots + \\lambda_ny_n^2 f=λ1​y12​+λ2​y22​+⋯+λn​yn2​。

1. 写出二次型矩阵 $\mathbf{A}$：

二次型 f= x T Ax f = \\boldsymbol{x}^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{x} f=xTAx 中，$\mathbf{A}$ 为实对称矩阵（ a i i a_{ii} aii​ 是 x i 2 x_i^2 xi2​ 的系数， a i j = a j i a_{ij} = a_{ji} aij​=aji​ 是 x i x j x_ix_j xi​xj​ 系数的一半）。

2. 求 $\mathbf{A}$ 的特征值和特征向量：
   解特征方程 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=0$ 得特征值 λ 1 , … , λ n\\lambda_1, \\dots, \\lambda_n λ1​,…,λn​，对应特征向量 ξ 1 , … , ξ n\\boldsymbol{\\xi}_1, \\dots, \\boldsymbol{\\xi}_n ξ1​,…,ξn​。

3. 特征向量正交化与单位化：

   对同一特征值的线性无关特征向量用施密特正交化，再将所有特征向量单位化，得单位正交向量组 γ 1 , … , γ n\\boldsymbol{\\gamma}_1, \\dots, \\boldsymbol{\\gamma}_n γ1​,…,γn​。

4. 构造正交矩阵 $\mathbf{Q}$ 和标准形：

   Q = ( γ 1 , … , γ n ) \\boldsymbol{Q} = (\\boldsymbol{\\gamma}_1, \\dots, \\boldsymbol{\\gamma}_n) Q=(γ1​,…,γn​)，则正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$ 化二次型为标准形：
   f = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + ⋯ + λ n y n 2 f = \\lambda_1y_1^2 + \\lambda_2y_2^2 + \\cdots + \\lambda_ny_n^2 f=λ1​y12​+λ2​y22​+⋯+λn​yn2​

示例：

用正交化法化 f=2 x 1 2 +2 x 2 2 +2 x 3 2 +2 x 1 x 2 +2 x 1 x 3 +2 x 2 x 3 f = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3 f=2x12​+2x22​+2x32​+2x1​x2​+2x1​x3​+2x2​x3​ 为标准形。

• 二次型矩阵： A = ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 )\\boldsymbol{A} = \\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2 \\end{pmatrix} A= ​211​121​112​ ​。

• 特征值： λ 1 = 4 \\lambda_1 = 4 λ1​=4， λ 2 = λ 3 = 1 \\lambda_2 = \\lambda_3 = 1 λ2​=λ3​=1。

• 单位正交特征向量：

γ 1 = 1 3 (1,1,1 ) T \\boldsymbol{\\gamma}_1 = \\frac{1}{\\sqrt{3}}(1, 1, 1)^\\text{T} γ1​=3 ​1​(1,1,1)T， γ 2 = 1 2 (−1,1,0 ) T \\boldsymbol{\\gamma}_2 = \\frac{1}{\\sqrt{2}}(-1, 1, 0)^\\text{T} γ2​=2 ​1​(−1,1,0)T， γ 3 = 1 6 (−1,−1,2 ) T \\boldsymbol{\\gamma}_3 = \\frac{1}{\\sqrt{6}}(-1, -1, 2)^\\text{T} γ3​=6 ​1​(−1,−1,2)T。

• 标准形： f = 4 y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 f = 4y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 f=4y12​+y22​+y32​，正交矩阵 Q = ( γ 1 , γ 2 , γ 3 ) \\boldsymbol{Q} = (\\boldsymbol{\\gamma}_1, \\boldsymbol{\\gamma}_2, \\boldsymbol{\\gamma}_3) Q=(γ1​,γ2​,γ3​)。

十九、二次型正定

若n元二次型 f= x T Ax f=x^TAx f=xTAx正定 对任意x≠0，有 f= x T Ax f=x^TAx f=xTAx＞0

f的正惯性指数p = n

存在可逆矩阵D，使 A = D T ^T TD

A合同与E

A的特征值 λ i >0(i=1,2,⋅⋅⋅，n) λ_i >0 (i = 1, 2,···，n) λi​>0(i=1,2,⋅⋅⋅，n)

A的全部顺序主子式均大于0

二十、等价、相似、合同

关系 等价（矩阵$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$等价） 相似（矩阵$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$相似） 合同（矩阵$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$合同） 定义 存在可逆矩阵$\mathbf{P},\mathbf{Q}$，使$\mathbf{B}=\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}$ 存在可逆矩阵$\mathbf{P}$，使 B = P − 1 A P \\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{P}^{-1}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{P} B=P−1AP 存在可逆矩阵$\mathbf{C}$，使 B = C T A C \\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{C}^\\text{T}\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{C} B=CTAC 核心本质 矩阵经初等变换可互化（体现秩的一致性） 线性变换在不同基下的矩阵表示（保持特征值等核心属性） 二次型经可逆线性变换的等价性（保持正定性等惯性性质） 充要条件 同型且秩相等：$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})$ ① 特征值完全相同（含重数）；
② 存在可逆矩阵$\mathbf{P},\mathbf{Q}$使$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{Q}$且 P − 1 = Q \\boldsymbol{P}^{-1}=\\boldsymbol{Q} P−1=Q（特殊等价） ① 均为实对称矩阵且惯性指数相同（正、负惯性指数分别相等）；
② 存在可逆矩阵$\mathbf{P},\mathbf{Q}$使$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{B}\mathbf{Q}$且 P T = Q \\boldsymbol{P}^\\text{T}=\\boldsymbol{Q} PT=Q（特殊等价） 包含关系 等价是最宽泛的关系：
相似$\subset$等价，合同$\subset$等价（实对称矩阵中相似$\subset$合同） 相似矩阵必等价，但等价矩阵不一定相似；
实对称矩阵相似必合同，但合同不一定相似 合同矩阵必等价，但等价矩阵不一定合同；
实对称矩阵合同$\nRightarrow$相似（特征值可不同） 不变量 矩阵的秩$r(\mathbf{A})$ 特征值、行列式、迹、秩、可逆性 惯性指数（正惯性指数$p$、负惯性指数$q$）、秩、对称性（若原矩阵对称） 适用场景 矩阵秩的比较、方程组同解性等 特征值与特征向量、矩阵对角化、线性变换等 二次型化简、正定性判定、曲面分类等 示例 ( 1 0 0 0 ) \\begin{pmatrix}1&0\\\\0&0\\end{pmatrix} (10​00​)与 ( 0 1 0 0 ) \\begin{pmatrix}0&1\\\\0&0\\end{pmatrix} (00​10​)等价（秩均为1） ( 1 1 0 1 ) \\begin{pmatrix}1&1\\\\0&1\\end{pmatrix} (10​11​)与 ( 1 0 1 1 ) \\begin{pmatrix}1&0\\\\1&1\\end{pmatrix} (11​01​)相似（特征值均为1） ( 1 0 0 − 1 ) \\begin{pmatrix}1&0\\\\0&-1\\end{pmatrix} (10​0−1​)与 ( 2 0 0 − 3 ) \\begin{pmatrix}2&0\\\\0&-3\\end{pmatrix} (20​0−3​)合同（惯性指数均为$p=1,q=1$）