Schmidt 分解 ⚙️ 与 SVD 之间的本质联系

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Schmidt 分解（Schmidt Decomposition）是量子力学和线性代数中的一个重要工具，用于将一个双粒子（或多粒子）量子态表示为一系列正交基态的张量积之和。它类似于矩阵的奇异值分解（SVD），但应用于量子态（即向量）的分解。

1. 前提条件

Schmidt 分解适用于二分量子系统（即由两个子系统组成的复合系统）的纯态（pure state）。具体来说：

设 $|\\psi\\rangle$ 是一个复合系统的量子态，属于 Hilbert 空间 $\\mathcal{H}_A \\otimes \\mathcal{H}_B$ ，要求 $\\mathcal{H}_A$ 和 $\\mathcal{H}_B$ 的维数可能不同，但 Schmidt 分解仍然适用（类似于 SVD 适用于长方矩阵 $m \\neq n$ 的情况）。

2. Schmidt 分解的形式

给定一个二分量子态 $|\\psi\\rangle \\in \\mathcal{H}_A \\otimes \\mathcal{H}_B$ ，其 Schmidt 分解为：

$|\\psi\\rangle = \\sum_{i=1}^r \\lambda_i |u_i\\rangle_A \\otimes |v_i\\rangle_B$

其中：

$\\lambda_i$ 称为 Schmidt 系数（Schmidt coefficients），且 $\\lambda_i \\geq 0$ ， $\\sum_i \\lambda_i^2 = 1$ （归一化条件）；

$\\{ |u_i\\rangle_A \\}$ 是子系统 $A$ 的一组正交基。比如单量子比特的 $\\{|0\\rangle,\\ |1\\rangle\\}$ ；

$\\{ |v_i\\rangle_B \\}$ 是子系统 $B$ 的一组正交基。同样，比如单量子比特的 $\\{|0\\rangle,\\ |1\\rangle\\}$ ；

$r$ 称为 Schmidt 秩（Schmidt rank），表示非零 $\\lambda_i$ 的个数，且 $r \\leq \\min(\\dim \\mathcal{H}_A, \\dim \\mathcal{H}_B)$ 。

小注：

如果 $r = 1$ ，则 $|\\psi\\rangle$ 是可分离态（separable state）。

如果 1\" class=\"mathcode\" src=\"https://latex.csdn.net/eq?r%20%3E%201\" />，则 $|\\psi\\rangle$ 是纠缠态（entangled state）。【注，思考：B的部分相同呢】

3. 计算方法（基于 SVD）

Schmidt 分解可以通过奇异值分解（SVD）来计算：

将 $|\\psi\\rangle$ 表示为一个矩阵 $\\Psi$ （类似于 SVD 中的矩阵），设 $\\mathcal{H}_A$ 的基为 $\\{ |i\\rangle_A \\}$ ， $\\mathcal{H}_B$ 的基为 $\\{ |j\\rangle_B \\}$ ，量子态可表示为：

$|\\psi\\rangle = \\sum_{i,j} c_{ij} |i\\rangle_A \\otimes |j\\rangle_B$

其中 $c_{ij}$ 是系数矩阵 $\\Psi$ 的元素。

对 $\\Psi$ 进行 SVD：

$\\Psi = U \\Lambda V^\\dagger$

$U$ 是左奇异向量矩阵（对应 $\\mathcal{H}_A$ 的基）。

$V$ 是右奇异向量矩阵（对应 $\\mathcal{H}_B$ 的基）。

$\\Lambda$ 是对角矩阵，其对角线元素是奇异值 $\\lambda_i$ 。

将 SVD 转换为 Schmidt 分解：

$|\\psi\\rangle = \\sum_{i=1}^r \\lambda_i |u_i\\rangle_A \\otimes |v_i\\rangle_B$

其中：

$|u_i\\rangle_A$ 是 $U$ 的第 i 列；

$|v_i\\rangle_B$ 是 $V$ 的第 i 列；

$\\lambda_i$ 是 $\\Lambda$ 的第 i 个奇异值。

4. 例子

例 1：Bell 态的 Schmidt 分解

考虑 Bell 态（最大纠缠态）：

$|\\psi\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\left( |00\\rangle + |11\\rangle \\right)$
系数矩阵：

$\\Psi = \\begin{bmatrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} & 0 \\\\ 0 & \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{bmatrix}$

显然， $\\Psi$ 已经是对角矩阵，其 SVD 为：

$\\Psi = I \\cdot \\begin{bmatrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} & 0 \\\\ 0 & \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{bmatrix} \\cdot I$

因此，Schmidt 分解为：

$|\\psi\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}} |0\\rangle_A \\otimes |0\\rangle_B + \\frac{1}{\\sqrt{2}} |1\\rangle_A \\otimes |1\\rangle_B$

Schmidt 秩 r = 2，说明这是一个最大纠缠态。

例 2：可分离态的 Schmidt 分解

考虑可分离态：

$|\\psi\\rangle = |0\\rangle_A \\otimes |1\\rangle_B$

系数矩阵：

$\\Psi = \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}$

SVD 分解：

$\\Psi = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} \\cdot \\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} \\cdot \\begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{bmatrix}$

Schmidt 分解为：

$|\\psi\\rangle = 1 \\cdot |0\\rangle_A \\otimes |1\\rangle_B$

Schmidt 秩 $r = 1$ ，说明这是一个可分离态（无纠缠）。

5. 具体应用

量子纠缠分析，Schmidt 秩 $r$ 衡量纠缠程度：

r = 1：可分离态。

r > 1：纠缠态。

$r = \\min(\\dim \\mathcal{H}_A, \\dim \\mathcal{H}_B)$ ：最大纠缠态（如 Bell 态）。

这可以应用于量子信息处理，用于量子隐形传态（quantum teleportation）、量子密钥分发（QKD）等协议。也可以应用于降维计算，类似于 SVD 的低秩近似，可用于量子态的压缩表示。

6. Schmidt 分解与 SVD 的关系

Schmidt 分解（Schmidt Decomposition）和奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）在数学结构上高度相似，甚至可以认为 Schmidt 分解是 SVD 在量子态（张量空间）上的直接应用。它们的本质关系可以从以下几个方面理解：

6.1. 数学形式上的对应关系

(1) SVD 分解（矩阵形式）

给定一个矩阵 $A \\in \\mathbb{C}^{m \\times n}$ ，其 SVD 分解为：

$A = U \\Sigma V^\\dagger$
其中：

$U \\in \\mathbb{C}^{m \\times m}$ 是左奇异向量矩阵（列向量正交）。

$V \\in \\mathbb{C}^{n \\times n}$ 是右奇异向量矩阵（列向量正交）。

$\\Sigma \\in \\mathbb{R}^{m \\times n}$ 是对角矩阵，对角线元素 $\\sigma_i$ 称为奇异值（ $\\sigma_i \\geq 0$ ）。

(2) Schmidt 分解（量子态形式）

给定一个二分量子态 $|\\psi\\rangle \\in \\mathcal{H}_A \\otimes \\mathcal{H}_B$ ，其 Schmidt 分解为：

$|\\psi\\rangle = \\sum_{i=1}^r \\lambda_i |u_i\\rangle_A \\otimes |v_i\\rangle_B$
其中：

$\\{ |u_i\\rangle_A \\}$ 是子系统 $A$ 的正交基（对应 $U$ 的列）。

$\\{ |v_i\\rangle_B \\}$ 是子系统 BB 的正交基（对应 VV 的列）。

$\\lambda_i$ 是Schmidt 系数（对应 $\\Sigma$ 的奇异值 $\\sigma_i$ ）。

r 是Schmidt 秩（对应 $\\Sigma$ 的非零奇异值个数）。

Schmidt 分解本质上是 SVD 在量子态上的应用：

概念 SVD（矩阵） Schmidt 分解（量子态）分解对象矩阵 A 量子态 ( $|\\psi\\rangle$ ）分解形式 $A = U \\Sigma V^\\dagger$ $\\psi\\rangle = \\sum_i \\lambda_i |u_i\\rangle \\otimes |v_i\\rangle$ 奇异值 $\\sigma_i$ $\\lambda_i$ （Schmidt 系数）左右基 $U$ 和 $V$ $\\{ | u_i\\rangle \\}$ 和 $\\{ |v_i\\rangle \\}$ 低秩近似截断 SVD 截断 Schmidt 分解（用于降维）

关键对应关系：

概念 SVD（矩阵） Schmidt 分解（量子态）矩阵 A 量子态 ( $|\\psi\\rangle$ ) 左奇异向量 U 子系统 A 的基 ( ${ |u_i\\rangle_A }$ ) 右奇异向量 V 子系统 B 的基 ( $\\{ | v_i\\rangle_B \\}$ ) 奇异值 $\\sigma_i$ Schmidt 系数 $\\lambda_i$ 奇异值个数 r Schmidt 秩 r

6.2. 计算过程的等价性

(1) SVD 的计算

对矩阵 $A$ 进行 SVD：

计算 $A^\\dagger A$ 和 $A A^\\dagger$ 的特征分解，

$A^\\dagger A$ 的特征向量组成 $V$

$A A^\\dagger$ 的特征向量组成 $U$

奇异值 $\\sigma_i = \\sqrt{\\text{eig}(A^\\dagger A)}$

(2) Schmidt 分解的计算

对量子态 $|\\psi\\rangle$ 进行 Schmidt 分解：

将 $|\\psi\\rangle$ 表示为系数矩阵 $\\Psi$ （类似 $A$ ）。

计算 $\\Psi^\\dagger \\Psi$ 和 $\\Psi \\Psi^\\dagger$ 的约化密度矩阵：

$\\rho_A = \\text{Tr}_B(|\\psi\\rangle \\langle \\psi|)$ （类似 $\\Psi \\Psi^\\dagger$ ）。

$\\rho_B = \\text{Tr}_A(|\\psi\\rangle \\langle \\psi|)$ （类似 $\\Psi^\\dagger \\Psi$ ）。

对 $\\rho_A$ 和 $\\rho_B$ 进行谱分解，得到 $\\{ |u_i\\rangle_A \\}$ 、 $\\{ |v_i\\rangle_B \\}$ 和 $\\lambda_i^2$ （即奇异值的平方）。

结论：

Schmidt 分解本质上就是对量子态的系数矩阵 $\\Psi$ 进行 SVD。

计算过程完全一致，只是物理意义不同：

SVD 用于矩阵的低秩近似。

Schmidt 分解用于量子态的纠缠分析。

6.3. 物理意义的关联

(1) SVD 的物理意义

描述矩阵的主要成分（奇异值越大，对应的成分越重要）。

用于数据降维（PCA）、图像压缩等。

(2) Schmidt 分解的物理意义

描述量子态的纠缠结构：

Schmidt 秩 r：衡量纠缠程度：

r = 1：可分离态（无纠缠）。

r > 1：纠缠态（rr 越大，纠缠越强）。

Schmidt 系数 $\\lambda_i$ ：描述子系统 $A$ 和 $B$ 的关联强度。

关键联系：

SVD 的低秩近似对应 Schmidt 分解的纠缠截断：

在 SVD 中，可以只保留前 k 个奇异值进行降维。

在 Schmidt 分解中，可以只保留前 k 个 Schmidt 系数，近似表示量子态（用于量子计算中的降维）。

6.4. 数学本质的总结

Schmidt 分解是 SVD 在张量空间（量子态）上的推广：

SVD 适用于矩阵 $A \\in \\mathbb{C}^{m \\times n}$ 。

Schmidt 分解适用于量子态 $|\\psi\\rangle \\in \\mathcal{H}_A \\otimes \\mathcal{H}_B$ （可以看作高阶张量）。

两者都是基于正交展开：

SVD：矩阵 $A$ 被分解为正交基 $U$ 和 $V$ 的线性组合。

Schmidt 分解：量子态 $|\\psi\\rangle$ 被分解为正交基 $\\{ |u_i\\rangle_A \\}$ 和 $\\{ |v_i\\rangle_B \\}$ 的张量积。

核心数学工具相同：

都依赖于特征分解/谱分解。

都用于提取主要成分（奇异值/Schmidt 系数）。

6.5. 示例对比

例 1：矩阵的 SVD

设矩阵：

$A = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}$
其 SVD 为：

$A = I \\cdot \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} \\cdot I$
奇异值 $\\sigma_1 = \\sigma_2 = 1$ 。

左/右奇异向量均为标准基。

例 2：量子态的 Schmidt 分解

设 Bell 态：

$|\\psi\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}} (|00\\rangle + |11\\rangle)$
其 Schmidt 分解为：

$|\\psi\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}} |0\\rangle_A \\otimes |0\\rangle_B + \\frac{1}{\\sqrt{2}} |1\\rangle_A \\otimes |1\\rangle_B$

Schmidt 系数 $\\lambda_1 = \\lambda_2 = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$ 。

基 $\\{ |0\\rangle_A, |1\\rangle_A \\}$ 和 $\\{ |0\\rangle_B, |1\\rangle_B \\}$ 均为标准基。

对比：

SVD 的 $\\sigma_i$ . 对应 Schmidt 的 $\\lambda_i$ 。

SVD 的 $U, V$ 对应 Schmidt 的 $\\{ |u_i\\rangle_A \\}, \\{ |v_i\\rangle_B \\}$ 。

6.6. Schmidt 分解与 SVD 的关系结论

Schmidt 分解是 SVD 在量子态（张量）上的自然推广，数学结构完全一致。

SVD 用于矩阵分解，Schmidt 分解用于量子态分解，但核心思想相同：

通过正交基展开。

用奇异值 / Schmidt 系数衡量重要性。

应用场景不同：

SVD 用于数据分析、降维。

Schmidt 分解用于量子纠缠分析、量子信息处理。

因此，可以认为 Schmidt 分解就是量子版本的 SVD，两者在数学本质上完全相同，只是应用领域不同。

7. 小结

Schmidt 分解是量子计算和量子信息理论中的基本工具，类似于线性代数中的 SVD，但应用于量子态的分析。Schmidt 分解主要用于将二分量子态表示为正交基的张量积之和。

Schmidt 秩衡量量子纠缠程度：

r = 1：可分离态。

r > 1：纠缠态。

Schmidt 分解的计算是通过 SVD 实现的。主要应用于量子信息、纠缠分析、降维计算等。可以认为 Schmidt 分解就是量子版本的 SVD

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Schmidt 分解 ⚙️ 与 SVD 之间的本质联系

1. 前提条件

2. Schmidt 分解的形式

3. 计算方法（基于 SVD）

4. 例子

例 1：Bell 态的 Schmidt 分解

例 2：可分离态的 Schmidt 分解

5. 具体应用

6. Schmidt 分解与 SVD 的关系

6.1. 数学形式上的对应关系

(1) SVD 分解（矩阵形式）

(2) Schmidt 分解（量子态形式）

6.2. 计算过程的等价性

(1) SVD 的计算

(2) Schmidt 分解的计算

6.3. 物理意义的关联

(1) SVD 的物理意义

(2) Schmidt 分解的物理意义

6.4. 数学本质的总结

6.5. 示例对比

例 1：矩阵的 SVD

例 2：量子态的 Schmidt 分解

6.6. Schmidt 分解与 SVD 的关系结论

7. 小结

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Schmidt 分解 ⚙️ 与 SVD 之间的本质联系

1. 前提条件

2. Schmidt 分解的形式

3. 计算方法（基于 SVD）

4. 例子

例 1：Bell 态的 Schmidt 分解

例 2：可分离态的 Schmidt 分解

5. 具体应用

6. Schmidt 分解与 SVD 的关系

6.1. 数学形式上的对应关系

(1) SVD 分解（矩阵形式）

(2) Schmidt 分解（量子态形式）

6.2. 计算过程的等价性

(1) SVD 的计算

(2) Schmidt 分解的计算

6.3. 物理意义的关联

(1) SVD 的物理意义

(2) Schmidt 分解的物理意义

6.4. 数学本质的总结

6.5. 示例对比

例 1：矩阵的 SVD

例 2：量子态的 Schmidt 分解

6.6. Schmidt 分解与 SVD 的关系结论

7. 小结

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