高等数学基础(向量矩阵及其创建和特殊的矩阵)_csdn高等数学基础向量矩阵

技术文档

向量

向量是机器学习最底层的组成部分, 也是基础数据的表示形式, 线性代数通过将研究对象拓展到向量, 对多维数据进行统一研究, 而进化出的方法方便我们可以研究和解决真实世界中的问题

标量

标量也称为\"无向量\", 使用一个单独的数表示数值大小, 可以有正负之分, 可以是实数和负数, 一般用小写变量表示, 比如 $s$ 表示行走距离, $k$ 表示直线斜率, $n$ 表示元素数目, 这些都可以看做标量

向量

向量是为了表达和处理高维空间的问题, 为表示一个整体会用方括号扩起来

向量的定义

将 $n$ 个有序的数排成一排称为 $n$ 维向量, 将 $n$ 个有次序的数排成一列, 称为 $n$ 维列向量
如, 称为四维列向量
$\\left[\\begin{matrix}3 & 4 & 5 & 6\\end{matrix}\\right]$
称为四维行向量
$\\left[\\begin{matrix}3 \\\\4 \\\\5 \\\\6\\end{matrix}\\right]$
如果没有声明一般为列向量

定位向量的值

$y=[3456]Ty=\\left[\\begin{matrix}3 & 4 & 5 & 6\\end{matrix}\\right] ^T$ , 向量 $y$ 的第 $i$ 个分向量用 $y_i$ 表示, 如 $y_2$ 表示第二个分量, 值为 $4$

向量的几何意义

向量既有大小又有方向, 将向量的分量看作坐标轴上的坐标, 以坐标原点为起点, 向量代表的点为重点, 可以形成一条有向线段, 有向线段的长度表示向量的大小, 箭头所指的方向表示向量的方向, 可以将任意一个位置做为起始点进行自由移动, 但一般将原点看作起始点.

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as patches# 设置中文字体plt.rcParams[\'font.sans-serif\']=[\'Hiragino Sans GB\'] # 修改字体plt.rcParams[\'axes.unicode_minus\'] = False # 正常显示负号# 定义向量起点和终点（dx, dy）x_start, y_start = 0, 0dx, dy = 3, 4dx1, dy1 = 4, 3# 创建图形plt.figure(figsize=(5, 5))# 绘制向量plt.arrow(x_start, y_start, dx, dy, head_width=0.1, length_includes_head=True, color=\'blue\', lw=2)plt.text(x_start+dx, y_start+dy, f\"({dx}, {dy})\")# 绘制向量plt.arrow(x_start, y_start, dx1, dy1, head_width=0.1, length_includes_head=True, color=\'blue\', lw=2)plt.text(x_start+dx1, y_start+dy1, f\"({dx1}, {dy1})\")# 设置坐标轴范围plt.xlim(-1, 6)plt.ylim(-1, 6)# 设置坐标轴比例一致plt.axis(\'equal\')# 添加网格和标签plt.grid(True)plt.xlabel(\'x\')plt.ylabel(\'y\')plt.title(\'向量的表示\')# 显示图形plt.show()

高等数学基础(向量矩阵及其创建和特殊的矩阵)_csdn高等数学基础向量矩阵
通常向量代表一组数, 是由使用者定义, 比如个人信息, 可以用 $\\left[\\begin{matrix}0 & 18 & 173 & 78789\\end{matrix}\\right]$ , 分别代表性别, 年龄, 身高, 和名字

向量的运算

加法

向量加法的值等于两个向量的对应分量之和
以两个二维向量加法为例, 如 $r=[3,1]^t$ 和 $s=[2,3]^t$ , $r+s=[2+2, 1+3]^t=[5,4]^t$

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.patches as patches# 设置中文字体plt.rcParams[\'font.sans-serif\']=[\'Hiragino Sans GB\'] # 修改字体plt.rcParams[\'axes.unicode_minus\'] = False # 正常显示负号# 定义向量起点和终点（dx, dy）x_start, y_start = 0, 0dx, dy = 3, 4dx1, dy1 = 4, 3# 创建图形plt.figure(figsize=(5, 5))# 绘制向量# 注意, 后面的 dx, dy 分别是以前面两个微基础的向量非坐标plt.arrow(x_start, y_start, dx, dy, head_width=0.1, length_includes_head=True, color=\'blue\', lw=2)plt.arrow(dx, dy, dx1, dy1, head_width=0.1, length_includes_head=True, color=\'blue\', lw=2, linestyle=\"-\")plt.text(x_start+dx, y_start+dy, f\"({dx}, {dy})\")plt.text(x_start+dx + dx1, y_start+dy + dy1, f\"({dx} + {dx1}, {dy} + {dy1})\")# 绘制向量plt.arrow(x_start, y_start, dx1, dy1, head_width=0.1, length_includes_head=True, color=\'blue\', lw=2)plt.arrow(dx1, dy1, dx, dy, head_width=0.1, length_includes_head=True, color=\'blue\', lw=2, linestyle=\"-\")plt.text(x_start+dx1, y_start+dy1, f\"({dx1} + {dx}, {dy1} + {dy})\")# 设置坐标轴范围# plt.xlim(-1, 10)# plt.ylim(-1, 10)# 设置坐标轴比例一致plt.axis(\'equal\')# 添加网格和标签plt.grid(True)plt.xlabel(\'x\')plt.ylabel(\'y\')plt.title(\'向量的表示\')# 显示图形plt.show()

高等数学基础(向量矩阵及其创建和特殊的矩阵)_csdn高等数学基础向量矩阵

向量的乘法

数乘向量是数量与向量的乘法运算, 一个数 $m$ 乘以一个向量 $r$ , 结果是向量 $m r$ , 以而为向量数乘为例, $m=3, r=[2,1]^t$ , $mr=[3 * 2, 3 * 1]^t=[6, 3]^t$

向量与数据

机器学习中, 对一个对象或者事件的描述称为样本, 反映样本某方面的表现或者性质的事项称为特征或属性, 特征的取值称为特征值, 样本组成的集合称为数据集, 向量可以看做样本的特征数

矩阵

标量是一个数, 向量是标量的拓展是一组数, 矩阵是对向量的拓展, 看作一组向量, 矩阵是线性代数最有用的工具

矩阵的定义

$\\left[\\begin{matrix}120 & 3 & 2 & 2 & 0.2 & 600 \\\\100 & 3 & 1 & 2 & 0.2 & 500 \\\\110 & 3 & 1 & 2 & 0.1 & 700 \\\\90 & 3 & 1 & 1 & 1 & 300\\end{matrix}\\right]$
这个矩阵由4行6列组成, 就是 $\\times 6$ 的矩阵

由 $\\times n$ 个数 $a_{ij}$ , $i = 1, 2, ..., m$ , $j = 1, 2, ..., n$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表, 称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵
$\\left[\\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & a_{ij} & \\vdots \\\\a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn}\\end{matrix}\\right]$
记做 $A_{m \\times n} = (a_{ij})_{m \\times n}$

矩阵和数据

矩阵表示关系

用来表示城市之间是否可以通行, 分别用 $0, 1$ 来表示, 1代表可以通行, 0代表不可以通行

通行关系 A B C D A

√\\surd

√\\surd

√\\surd

√\\surd

√\\surd

√\\surd

√\\surd

$\\left[\\begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0 \\\\1 & 0 & 1 & 0 \\\\1 & 0 & 0 & 1 \\\\0 & 1 & 0 & 0 \\end{matrix}\\right]$

矩阵表示直接信息

学生选修了 $A, B, C, D$ 四门课, 用矩阵表示

通行关系 A B C D 1 80 75 75 78 2 98 70 85 84 3 90 75 90 90 4 88 70 82 80

$\\left[\\begin{matrix}80 & 75 & 75 & 78 \\\\98 & 70 & 85 & 84 \\\\90 & 75 & 90 & 90 \\\\88 & 70 & 82 & 80 \\end{matrix}\\right]$

矩阵表示线性系统

描述参数, 变量和常量先行关系, 设方程组如下
${a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+...+amnxn=b2\\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n=b_1 \\\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n=b_2 \\\\\\vdots \\\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n=b_2 \\end{cases}$
方程组左侧系数用 $\\times n$ 阶矩阵 $A$ 表示, 每行代表一个方程, 没列代表不同方程中未知数的系数. 方程组右侧用 $\\times 1$ 阶矩阵 $B$ 表示, 每行代表方程右侧的值, 通常 $A$ 为系数矩阵, $X$ 为未知数矩阵, $B$ 为常数项矩阵, 记做 $A X = B$
$\\left[\\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn}\\end{matrix}\\right]$
$\\left[\\begin{matrix}x_1 \\\\x_2 \\\\\\vdots \\\\x_n\\end{matrix}\\right]$
$\\left[\\begin{matrix}b_1 \\\\b_2 \\\\\\vdots \\\\b_n\\end{matrix}\\right]$
使用Numpy很容易求出 $X$ 的值

矩阵和向量的创建

NumPy是Python开源的数值计算拓展

矩阵的创建

NumPy采用matrix(矩阵)和array(数组表示矩阵, 主要区别如下

matrix 是 array 的分支, matrix 和 array 通用, 但大部分 Python程序中, array 更多, 因为更加灵活更快
array类型为numpy.ndarray, 是相同类型元素组成, 统称为矩阵

import numpy as np# 1. 基础矩阵创建a = np.array([[1,2],[3,4]])print(\"np.array:\\n\", a) # 通用矩阵创建b = np.zeros((3,3))print(\"\\nnp.zeros:\\n\", b) # 初始化零矩阵c = np.ones((2,3), dtype=int)print(\"\\nnp.ones:\\n\", c) # 创建整型全1矩阵d = np.eye(3)print(\"\\nnp.eye:\\n\", d) # 创建单位矩阵e = np.diag([1,2,3])print(\"\\nnp.diag:\\n\", e) # 创建对角矩阵# 2. 数值序列生成f = np.arange(2,10,2).reshape(2,2)print(\"\\nnp.arange+reshape:\\n\", f) # 生成等差序列矩阵g = np.linspace(0,1,6).reshape(2,3)print(\"\\nnp.linspace:\\n\", g) # 生成等间隔矩阵# 3. 随机矩阵h = np.random.rand(3,2)print(\"\\nnp.random.rand:\\n\", h) # 生成[0,1)均匀分布矩阵i = np.random.randn(2,3)print(\"\\nnp.random.randn:\\n\", i) # 生成正态分布矩阵j = np.random.randint(1,10,size=(3,3))print(\"\\nnp.random.randint:\\n\", j) # 生成随机整数矩阵# 4. 特殊构造方法k = np.fromfunction(lambda i,j: i+j, (3,3))print(\"\\nnp.fromfunction:\\n\", k) # 通过函数构造矩阵l = np.tile([1,2], (2,3))print(\"\\nnp.tile:\\n\", l) # 矩阵平铺复制m = np.repeat([1,2], 3).reshape(2,3)print(\"\\nnp.repeat:\\n\", m) # 元素重复扩展# 5. 矩阵属性操作n = np.array([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=np.float32)print(\"\\n矩阵属性:\")print(\"shape:\", n.shape) # 形状print(\"dtype:\", n.dtype) # 数据类型print(\"ndim:\", n.ndim) # 维度print(\"size:\", n.size) # 元素总数print(\"itemsize:\", n.itemsize) # 单元素字节大小\"\"\"np.array: [[1 2] [3 4]]np.zeros: [[0. 0. 0.] [0. 0. 0.] [0. 0. 0.]]np.ones: [[1 1 1] [1 1 1]]np.eye: [[1. 0. 0.] [0. 1. 0.] [0. 0. 1.]]np.diag: [[1 0 0] [0 2 0] [0 0 3]]np.arange+reshape: [[2 4] [6 8]]np.linspace: [[0. 0.2 0.4] [0.6 0.8 1. ]]np.random.rand: [[0.88342915 0.31164707] [0.149002 0.5399805 ] [0.42382287 0.85360373]]np.random.randn: [[ 0.20843083 -1.4405944 1.2375411 ] [ 0.36852983 0.5106739 -0.54602658]]np.random.randint: [[3 7 5] [8 2 1] [4 9 6]]np.fromfunction: [[0. 1. 2.] [1. 2. 3.] [2. 3. 4.]]np.tile: [[1 2 1 2 1 2] [1 2 1 2 1 2]]np.repeat: [[1 1 1] [2 2 2]]矩阵属性:shape: (2, 3)dtype: float32ndim: 2size: 6itemsize: 4\"\"\"

特殊的矩阵

具有一定规律的矩阵称为特殊的矩阵. 在机器学习中一些特殊类型的矩阵和向量有特别的用处

零矩阵

说明

元素全部为0的矩阵,称为零矩阵, 记作 $O$
$\\left[\\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{matrix}\\right]$ 表示 $\\times 4$ 阶的零矩阵

代码实现

在Numpy中, 可以通过np.zeros函数来创建零矩阵

import numpy as npprint(\"np.zeros(10) :\", np.zeros(10))print(\"np.zeros((3, 4)) :\", np.zeros((3, 4)))print(\"np.array(np.zeros((3, 4))) :\", np.array(np.zeros((3, 4))))\"\"\"output:np.zeros(10) : [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]np.zeros((3, 4)) : [[0. 0. 0. 0.] [0. 0. 0. 0.] [0. 0. 0. 0.]]np.array(np.zeros((3, 4))) : [[0. 0. 0. 0.] [0. 0. 0. 0.] [0. 0. 0. 0.]] \"\"\"

方阵

说明

行列数相等的矩阵称为 $n$ 阶方阵, 记作 $A_n$
$A4=[80757578987085849075909088708289]A_4 = \\left[\\begin{matrix} 80 & 75 & 75 & 78 \\\\ 98 & 70 & 85 & 84 \\\\ 90 & 75 & 90 & 90 \\\\ 88 & 70 & 82 & 89 \\end{matrix}\\right]$ 表示四阶方阵

代码实现

import numpy as npprint(\"np.random.randint(1, 10, size=(5, 5)) :\", np.random.randint(1, 10, size=(5, 5)))\"\"\"output:np.random.randint(1, 10, size=(5, 5)) : [[6 5 6 3 1] [1 4 1 5 9] [6 6 2 1 1] [4 6 8 9 7] [6 5 3 2 7]] \"\"\"

单位矩阵

说明

主对角线为1, 其他位置都是0的矩阵称为单位矩阵, 通常记作 $E$ 或者 $I$
比如: $\\left[\\begin{matrix} 1 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 1 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & 1\\end{matrix}\\right]_{m \\times n}$
单位矩阵与矩阵的乘积满足: $Am×n×Em×n=Am×n,Em×m×Am×n=Am×nA_{m \\times n} \\times E_{m \\times n} = A_{m \\times n}, E_{m \\times m} \\times A_{m \\times n} = A_{m \\times n}$ 单位矩阵在矩阵的乘法中具有特殊作用, 如同乘法中的1

代码实现

import numpy as npprint(\"np.eye(4): \\n\", np.eye(4))print(\"np.identity(4): \\n\", np.identity(4))\"\"\"output:np.eye(4): [[1. 0. 0. 0.] [0. 1. 0. 0.] [0. 0. 1. 0.] [0. 0. 0. 1.]]np.identity(4): [[1. 0. 0. 0.] [0. 1. 0. 0.] [0. 0. 1. 0.] [0. 0. 0. 1.]] \"\"\"

对角矩阵

说明

只在对角线上含有非零元素, 其他位置都是0的方阵, 比如
$\\left[\\begin{matrix} a_{11} & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & a_{22} & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & a_{nn}\\end{matrix}\\right]_{n \\times n}$
对角矩阵常用于矩阵分解

代码实现

import numpy as npprint(\"np.diag([1,2,3,4,5,6]): \\n\", np.diag([1,2,3,4,5,6]))\"\"\"output:np.diag([1,2,3,4,5,6]): [[1 0 0 0 0 0] [0 2 0 0 0 0] [0 0 3 0 0 0] [0 0 0 4 0 0] [0 0 0 0 5 0] [0 0 0 0 0 6]] \"\"\"# 从已有的矩阵创建对角矩阵arr = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])diag_arr = np.diag(arr)print(\"np.diag(np.diag(arr)): \\n\", np.diag(diag_arr))\"\"\"output:np.diag(np.diag(arr)): [[1 0 0] [0 5 0] [0 0 9]] \"\"\"

上三角和下三角矩阵

说明

主对角线非0, 主对角线上或者下为0的称为上三角或者下三角矩阵
上三角矩阵
$\\left[\\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\ 0 & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & a_{nn}\\end{matrix}\\right]_{n \\times n}$
下三角矩阵
$\\left[\\begin{matrix} a_{11} & 0 & \\cdots & 0 \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\cdots & a_{nn}\\end{matrix}\\right]_{n \\times n}$

代码实现

import numpy as nparr = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])print(\"上三角矩阵 保留对角线, np.triu(arr): \\n\", np.triu(arr, k=0))print(\"上三角矩阵 右偏移1, np.triu(arr): \\n\", np.triu(arr, k=1))print(\"下三角矩阵 保留对角线, np.triu(arr): \\n\", np.tril(arr, k=0))print(\"下三角矩阵 左偏移1, np.triu(arr): \\n\", np.tril(arr, k=-1))\"\"\"output:k代表对角线偏移量是否保留上三角矩阵 保留对角线, np.triu(arr): [[1 2 3] [0 5 6] [0 0 9]]上三角矩阵 不保留对角线, np.triu(arr): [[0 2 3] [0 0 6] [0 0 0]]下三角矩阵 保留对角线, np.triu(arr): [[1 0 0] [4 5 0] [7 8 9]]下三角矩阵 不保留对角线, np.triu(arr): [[1 2 0] [4 5 6] [7 8 9]] \"\"\"

对称矩阵

说明

满足 $a_{ij}=a_{ji}$ 的方阵称为对称矩阵, 元素关于对角线对称
$\\left[\\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 \\\\5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 \\\\6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\\\\\end{matrix}\\right]_{6 \\times 6}$

代码实现

import numpy as npA = np.random.rand(4, 4) # 生成一个随机 n x n 矩阵symmetric_matrix = A + A.T # 确保对称print(\"对称矩阵, A + A.T: \\n\", symmetric_matrix)print(\"是否对称：\", np.array_equal(symmetric_matrix, symmetric_matrix.T))\"\"\"output:对称矩阵, A + A.T: [[1.42988171 1.32752313 0.34052907 0.8294304 ] [1.32752313 1.94935488 0.8594118 0.37471058] [0.34052907 0.8594118 0.66978847 1.0584849 ] [0.8294304 0.37471058 1.0584849 0.02921428]]是否对称： True \"\"\"

同型矩阵

说明

列数相同的两个矩阵称为同型矩阵
$\\left[\\begin{matrix}1 & 2 \\\\2 & 2 \\\\3 & 3 \\\\4 & 4 \\\\5 & 5 \\\\6 & 6 \\\\\\end{matrix}\\right]_{2 \\times 6}$
$\\left[\\begin{matrix}6 & 2 \\\\5 & 2 \\\\4 & 3 \\\\3 & 4 \\\\2 & 5 \\\\6 & 6 \\\\\\end{matrix}\\right]_{2 \\times 6}$

高等数学基础(向量矩阵及其创建和特殊的矩阵)_csdn高等数学基础向量矩阵

向量

标量

向量

向量的定义

定位向量的值

向量的几何意义

向量的运算

加法

向量的乘法

向量与数据

矩阵

矩阵的定义

矩阵和数据

矩阵表示关系

矩阵表示直接信息

矩阵表示线性系统

矩阵和向量的创建

矩阵的创建

特殊的矩阵

零矩阵

说明

代码实现

方阵

说明

代码实现

单位矩阵

说明

代码实现

对角矩阵

说明

代码实现

上三角和下三角矩阵

说明

代码实现

对称矩阵

说明

代码实现

同型矩阵

说明

相关问题

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