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传染病监测（二）：模型搭建实战 —— 从流感预测看数学建模的骨架_如何快速高效建立传染病监测预警模型

网友: 技术文档 2025-08-08 11:04:08

“当一种新型流感突袭 10 万人的小镇，我们如何预测疫情走势？本章揭晓：传染病学家如何用数学方程‘预演’疫情！” 在上一篇博客中，我们了解了传染病监测的基础概念，如 R0、潜伏期等。今天，我们将深入到模型构建的底层逻辑中，以教材中的流感案例为线索，带你一步步看懂数学建模的全流程。

一、模型搭建七步法

我们的核心目标是回答 “流感入侵 10 万人小镇后，易感 / 感染 / 免疫者数量如何变化？最终多少人感染？”。下面给出的建模七步曲，就像搭建一座房子的蓝图，指引我们完成整个模型的构建：

  1. 明确问题：确定我们要解决的具体问题，比如上述的流感预测。
  2. 收集感染病学事实：了解疾病的各种特性，像潜伏期、传染期等。
  3. 选择模型结构：这是关键决策！不同的模型结构适用于不同的场景。
  4. 设定输入参数：给模型提供具体的数据，比如感染率、康复率等。
  5. 建立模型方程：将前面的步骤整合起来，形成描述疫情变化的方程。
  6. 模型验证：检查模型是否符合实际情况。
  7. 预测与优化：用模型进行预测，并根据结果优化模型。

小白提示：建模就像组装乐高，先选框架（步骤 3），再填参数（步骤 4），最后拼装成方程（步骤 5），一步步来，其实没那么难！

二、模型类型：三大选择决定预测风格

1. 结构选择：SIR?SIS?SEIR?SIRS?

模型类型

适用场景

疾病举例

SI

终身感染

HIV

SIS

治愈后无免疫

淋病

SEIR

有潜伏期 + 免疫

流感 / 麻疹

SIRS

免疫力逐渐减弱

百日咳 / 季节性流感

上面研究的疾病是流感，因此我们选择SEIR。为什么流感选 SEIR？因为流感有 1 - 2 天的潜伏期（E 状态），传染期约 5 天（I 状态），康复后还有短期免疫（R 状态），SEIR 模型能更好地描述这些特点。

2. 确定性 vs 随机性模型

类型

核心特点

输出结果

类比

确定性模型

忽略随机波动

单一 “平均预测值”

天气预报 “平均气温”

随机性模型

引入随机事件（如接触偶然性）

概率分布（区间预测）

天气预报 “降水概率”

随机模型能展现出疫情可能消失或爆发的情况，更贴近现实中的不确定性。

3. 其他模型分类
  • 分室模型（Compartmental）：把人群按状态分组（如 S/E/I/R），追踪组间流动。
  • 个体模型（Individual-based）：模拟每个人的行为，但计算成本高。
  • 网络模型（Network）：模拟真实接触链，比如性传播网络。

三、方程实战：流感 SEIR 模型的搭建

假设前提：

  • 小镇 10 万人全易感（S₀=99,999），1 名感染者（I₀=1）。
  • 随机混合接触（简化计算）。
  • 忽略出生 / 死亡 / 迁移。

核心方程（差分方程形式）：

\\( S_{t+1} = S_t - \\lambda_t S_t \\)

\\( E_{t+1} = E_t + \\lambda_t S_t - f E_t \\)

\\( I_{t+1} = I_t + f E_t - r I_t \\)

\\( R_{t+1} = R_t + r I_t \\)

参数解读：

  • \\(\\lambda_t = \\beta I_t\\)：当日感染风险，和感染者数量\\(I_t\\)成正比。
  • \\(\\beta\\)：有效接触率，两人每日有效接触概率，在这个例子中\\(\\beta = 10^{-5}\\)。
  • \\(f\\)：结束潜伏率，如果潜伏期是 2 天，那么\\(f=0.5/天\\)。
  • \\(r\\)：康复率，如果传染期 5 天，那么\\(r=0.2/天\\)。

为什么\\(\\lambda_t = \\beta I_t\\)？这是基于质量作用定律，感染风险和感染者密度、易感者密度都成正比。\\(\\beta\\)还有深层意义，它可以通过公式\\(\\beta = \\frac{R_0}{N \\times D} = \\frac{2}{100,000 \\times 2} = 10^{-5}\\)计算得出（\\(R_0=2\\), \\(D\\)= 传染期 2 天，\\(N\\)=10 万人）。

四、参数争议：频率依赖 vs 密度依赖

假设

核心观点

适用场景

频率依赖

每人每日接触数固定

人群规模变化时（推荐）

密度依赖

接触数随人口密度增加而上升

动物 / 植物疾病

决策关键：如果我们要模拟城市扩张（人口增长），选择频率依赖（\\(\\lambda_t = \\frac{c_e I_t}{N_t}\\)）会更合理。

根据上述建模的过程，我们可以使用MATLAB对其进行仿真，代码如下：

clear; clc% 初始化参数N = 100000; % 总人数S0 = 99999; % 初始易感者E0 = 0; % 初始暴露者I0 = N - S0; % 初始感染者R0 = 0; % 初始康复者br = 2; % 基本再生数D = 2; % 传染期beta = br / (N * D); % 接触感染率（β）f = 0.5; % 暴露者转化率（/天）r = 0.2; % 康复率（/天）T = 200; % 模拟天数z% 初始化状态向量S = zeros(1, T);E = zeros(1, T);I = zeros(1, T);R = zeros(1, T);% 初始条件S(1) = S0;E(1) = E0;I(1) = I0;R(1) = R0;% 差分方程迭代for t = 1:T-1 lambda_t = beta * I(t); % 有效接触率（λ_t = β*I_t，假设λ_t与感染者数量成正比） S(t+1) = S(t) - lambda_t * S(t); E(t+1) = E(t) + lambda_t * S(t) - f * E(t); I(t+1) = I(t) + f * E(t) - r * I(t); R(t+1) = R(t) + r * I(t);end% 生成时间序列t = 1:T;% 绘制演化曲线figure(\'Color\', \'white\', \'Position\', [100 100 800 500]);plot(t, S, \'b-\', \'LineWidth\', 1.5, \'DisplayName\', \'易感者(S)\');hold on;plot(t, E, \'g--\', \'LineWidth\', 1.5, \'DisplayName\', \'暴露者(E)\');plot(t, I, \'r-.\', \'LineWidth\', 1.5, \'DisplayName\', \'感染者(I)\');plot(t, R, \'m:\', \'LineWidth\', 1.5, \'DisplayName\', \'康复者(R)\');% 添加图表属性xlabel(\'时间（天）\', \'FontSize\', 12);ylabel(\'人数\', \'FontSize\', 12);title(\'SEIR模型群体演化曲线\', \'FontSize\', 14, \'FontWeight\', \'bold\');legend(\'Location\', \'northeast\', \'FontSize\', 10);grid on;

运行结果如下：

输出结果显示：

  • 疫情高峰在第40天左右；
  • 暴露者高峰先于感染者高峰。 

五、模型验证：避免 “垃圾进，垃圾出”

  • 校验依据：把模型结果和历史疫情数据对比，比如 1957 年流感血清抗体分布。
  • 参数校准：要是\\(R_0\\)未知，可以调整参数，让模型曲线和真实病例数更贴合。
  • 敏感度分析：测试不同\\(R_0\\)（1.5 vs 3.0）对结果的影响。

六、总结与预告

本章精华：模型是现实的 “简笔画”，SEIR 框架描述人群状态流动，\\(\\beta\\)量化传播强度，差分方程推进时间演化。通过一步步搭建模型，我们能更好地理解疫情传播的规律。

下篇预告：差分方程升级版来了！微分方程模型如何实现 “连续时间模拟”？我们将用 SIR 模型解析疫情拐点与疫苗策略，敬请期待！

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