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【C题解题思路】2025华数杯数学建模C题解题思路+可运行代码参考（无偿分享）_华数杯2025c题

网友: 技术文档 2025-08-15 13:14:44

注：该内容由“数模加油站”原创，无偿分享，可以领取参考但不要利用该内容倒卖，谢谢！

C 题 可调控生物节律的 LED光源研究

示例：

发光二极管（Light Emitting Diode, LED）作为一种高效、节能、环保的新 型光源，近年来在多个领域得到了广泛应用。在照明领域，白光 LED的效率已 远超传统的白炽灯和荧光灯，成为目前最主要的照明光源，能够通过调节色温 和光谱特性，适应不同的照明需求。

科学研究表明，光照不仅为我们提供视觉照明，还会通过视网膜深远地影 响人体的生理节律系统。例如，特定波长的光照会影响褪黑激素的分泌，进而 调节我们的睡眠质量、认知功能与情绪状态。适当的光照调节可以提高工作效 率，而失当的光照则可能干扰正常的昼夜节律。因此，如何在满足照明需求的 同时，优化 LED光源的光谱特性以实现有益的生理节律调节效应，成为一个亟 待解决的重要问题。

思路框架图

问题1 ×××××××

问题1思路框架：

第1问的核心目标是基于已知的LED光源光谱功率分布（SPD）数据，计算其在颜色外观、显色性与节律调控三大性能维度下的五个关键参数，分别为相关色温（CCT）、色偏差（Duv）、保真度指数（Rf）、色域指数（Rg）与褪黑素日光效率比（mel-DER）。这些参数均是国际照明委员会（CIE）和美国照明工程学会（IES）制定的行业标准指标，本质上是从SPD到感知空间的数学映射。

整体思路可分为以下步骤：首先，将给定的SPD数据通过色品匹配函数变换为CIE XYZ三刺激值及其对应的色品坐标(x,y)或(u,v)；其次，计算该色点在色度图中距离黑体轨迹的位置，并据此估算CCT和Duv；随后，模拟光源照射99种标准颜色样本，计算其与参考光源下色差，得到Rf与Rg；最后，依据节律光照模型，将SPD与melanopic权重函数叠加计算mel-DER。

通过上述流程，能够实现从物理光谱数据到颜色感知与节律生理响应的全参数预测，是照明系统建模与优化的基础。

数学模型构建：

光谱到三刺激值转换：

给定波长范围内的光谱功率分布S(\\lambda)，可通过CIE 1931标准色品匹配函数\\overline{x}(\\lambda), \\overline{y}(\\lambda), \\overline{z}(\\lambda)计算三刺激值：

X=\\int_{\\lambda }{S}(\\lambda )\\cdot \\bar{x}(\\lambda )d\\lambda ,\\quad Y=\\int_{\\lambda }{S}(\\lambda )\\cdot \\bar{y}(\\lambda )d\\lambda ,\\quad Z=\\int_{\\lambda }{S}(\\lambda )\\cdot \\bar{z}(\\lambda )d\\lambda 

进一步计算归一化色品坐标：

              x=\\frac{X}{X+Y+Z},\\quad y=\\frac{Y}{X+Y+Z}    

在CIE 1960 UCS空间下，计算(u,v)坐标：

          u=\\frac{4X}{X+15Y+3Z},\\quad v=\\frac{6Y}{X+15Y+3Z}

相关色温（CCT）与色偏差（Duv）计算：

CCT定义为黑体轨迹上与目标色点(u,v)距离最小的点所对应的黑体温度。可采用最小距离法建立目标函数：

{​{T}^{*}}=\\arg {​{\\min }_{T}}\\left[ {​{\\left( u-{​{u}_{T}} \\right)}^{2}}+{​{\\left( v-{​{v}_{T}} \\right)}^{2}} \\right]   

其中(u_T, v_T)为温度为T时黑体辐射点的坐标。

对应的色偏差为：

               

可进一步使用McCamy近似公式粗略估计色温（适用于4000K–25000K）：

n=\\frac{x-0.3320}{y-0.1858},\\quad CCT=-449{​{n}^{3}}+3525{​{n}^{2}}-6823.3n+5520.33

保真度指数 R_f 与色域指数 R_g（基于TM-30）：

使用TM-30推荐的99种颜色样本（Color Evaluation Samples, CES），设每种颜色在参考光源与测试光源下的颜色差为\\Delta E_i，则保真度指数为：

{​{R}_{f}}=100-4.6\\cdot \\frac{1}{99}\\sum\\limits_{i=1}^{99}{\\Delta }{​{E}_{i}}

其中\\Delta E_i为CAM02-UCS色差：

\\Delta {​{E}_{i}}=\\sqrt{​{​{\\left( J_{i}^{t}-J_{i}^{r} \\right)}^{2}}+{​{\\left( a_{i}^{t}-a_{i}^{r} \\right)}^{2}}+{​{\\left( b_{i}^{t}-b_{i}^{r} \\right)}^{2}}}

色域指数R_g衡量测试光源下色域面积与参考光源色域面积的比值：

         {​{R}_{g}}=100\\cdot \\frac{​{​{A}_{t}}}{​{​{A}_{r}}}   

其中A_t与A_r分别为在CAM02-UCS空间下连接99个色样形成的凸包面积。

生理节律响应参数 mel-DER：

mel-DER 表示光源的melanopic响应与标准光源（D65或V(λ)）响应的比值，计算公式为：

\\operatorname{mel}-DER=\\frac{\\int{S}(\\lambda )\\cdot \\bar{M}(\\lambda )d\\lambda }{\\int{S}(\\lambda )\\cdot V(\\lambda )d\\lambda }

其中，\\overline{M}(\\lambda)为melanopic灵敏度函数，V(\\lambda)为光视函数。

模型算法求解：

在实现上述模型时，需处理以下算法挑战：黑体轨迹最小距离搜索、99色样的高维色差计算，以及积分计算中的插值与数值逼近问题。

首先，在CCT与Duv计算中，(u_T, v_T)为随T变化的非线性函数，建议采用下降牛顿迭代法（参考附件[5]）或混合查找表+插值法逼近其最小距离点，目标函数为：

f(T)={​{\\left( u-{​{u}_{T}} \\right)}^{2}}+{​{\\left( v-{​{v}_{T}} \\right)}^{2}}

设初始值T_0，迭代公式为：

{​{T}_{k+1}}={​{T}_{k}}-\\frac{​{​{f}^{\\prime }}\\left( {​{T}_{k}} \\right)}{​{​{f}^{\\prime \\prime }}\\left( {​{T}_{k}} \\right)}

其次，在Rf与Rg计算中，由于涉及对每种CES样本的高维映射与色差计算，直接枚举计算代价极高，因此可引入支持向量回归（SVR）模型或神经网络回归器训练映射关系，减少重复样本计算量，提高处理速度。

此外，为提升mel-DER计算中积分精度，可在波长维度使用样条插值法对SPD与melanopic函数进行平滑拟合，再进行Romberg积分或高阶高斯求积，提高收敛精度。

为实现上述计算流程的全局一致性与性能优化，可引入智能算法对参数空间进行校准。例如在CCT与Duv拟合中，引入粒子群优化（PSO）算法搜索最优拟合温度T^*，粒子表示温度值，适应度函数为最小距离函数f(T)，算法框架如下：

  1. 初始化粒子群：T_i \\in [1000K, 20000K]
  2. 迭代更新位置与速度：

                               

  1. 判断收敛性，更新全局最优g直至f(T)收敛。

通过将上述计算模型集成于统一求解框架中，可系统完成任意光源SPD向关键性能指标的转换，建立照明系统性能评估的完整模型链路。

Python代码：import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.integrate import simpsfrom scipy.optimize import minimize_scalar# ========== Step 1: 读取附录文件中所有必要数据 ==========file_path = \"附录.xlsx\"# 读取LED SPD数据（用于问题1计算）spd_df = pd.read_excel(file_path, sheet_name=\"Problem 2_LED_SPD\")wavelengths = spd_df.iloc[:, 0].values # 波长（单位nm）spd_channels = spd_df.iloc[:, 1:].values # 每列为一个LED通道channel_names = spd_df.columns[1:]# 读取CIE 1931匹配函数（从 Problem 1）cmf_df = pd.read_excel(file_path, sheet_name=\"Problem 1\", skiprows=1, nrows=81)x_bar = cmf_df[\'x_bar\'].valuesy_bar = cmf_df[\'y_bar\'].valuesz_bar = cmf_df[\'z_bar\'].values# 读取 melanopic 响应（M(λ)）和 V(λ) 视觉函数melanopic = cmf_df[\'melanopic\'].valuesvlambda = cmf_df[\'V_lambda\'].values# ========== Step 2: 定义指标计算函数 ==========def compute_parameters(spd): # 1. 三刺激值 XYZ X = simps(spd * x_bar, wavelengths) Y = simps(spd * y_bar, wavelengths) Z = simps(spd * z_bar, wavelengths) # 2. 色度坐标 (u, v) denom = (X + 15*Y + 3*Z) u = 4 * X / denom v = 6 * Y / denom # 3. 黑体轨迹拟合求 CCT def blackbody_uv(T): # 黑体光谱 c1 = 3.74183e-16 c2 = 1.4388e-2 lamb = wavelengths * 1e-9 bb = (c1 * lamb**-5) / (np.exp(c2 / (lamb * T)) - 1) X_bb = simps(bb * x_bar, wavelengths) Y_bb = simps(bb * y_bar, wavelengths) Z_bb = simps(bb * z_bar, wavelengths) denom_bb = (X_bb + 15*Y_bb + 3*Z_bb) u_bb = 4 * X_bb / denom_bb v_bb = 6 * Y_bb / denom_bb return u_bb, v_bb def distance_to_bb(T): u_bb, v_bb = blackbody_uv(T) return (u - u_bb)**2 + (v - v_bb)**2 res = minimize_scalar(distance_to_bb, bounds=(1000, 10000), method=\'bounded\') cct = res.x u_bb, v_bb = blackbody_uv(cct) duv = np.sqrt((u - u_bb)**2 + (v - v_bb)**2) # 4. mel-DER = melanopic efficacy / photopic efficacy numerator = simps(spd * melanopic, wavelengths) denominator = simps(spd * vlambda, wavelengths) mel_der = numerator / denominator if denominator > 0 else 0 return { \"X\": X, \"Y\": Y, \"Z\": Z, \"u\": u, \"v\": v, \"CCT\": cct, \"Duv\": duv, \"mel-DER\": mel_der }# ========== Step 3: 批量计算每个LED通道的参数 ==========results = []for i in range(spd_channels.shape[1]): spd = spd_channels[:, i] params = compute_parameters(spd) params[\"通道\"] = channel_names[i] results.append(params)results_df = pd.DataFrame(results)results_df.to_csv(\"问题1_光谱参数计算结果.csv\", index=False)print(\"✅ 已保存参数计算结果至 \'问题1_光谱参数计算结果.csv\'\")# ========== Step 4: 可视化 - 色品图 + 黑体轨迹 ==========plt.figure(figsize=(8, 6))# 黑体轨迹绘制temps = np.linspace(1000, 10000, 100)u_bb_list, v_bb_list = [], []for T in temps: u_bb, v_bb = compute_parameters((1 / (wavelengths * 1e-9)) * 0)[[\'u\',\'v\']] if T==0 else blackbody_uv(T) u_bb_list.append(u_bb) v_bb_list.append(v_bb)plt.plot(u_bb_list, v_bb_list, \'k-\', label=\'Blackbody Locus\')# LED点绘制for i, row in results_df.iterrows(): plt.plot(row[\'u\'], row[\'v\'], \'o\', label=row[\'通道\'])plt.xlabel(\"u\")plt.ylabel(\"v\")plt.title(\"CIE 1960 色品图（uv坐标）\")plt.grid(True)plt.legend()plt.savefig(\"问题1_uv坐标图.png\", dpi=300)print(\"✅ 已保存 uv 色品图至 \'问题1_uv坐标图.png\'\")

后续都在“数模加油站”......

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