蓝桥杯C语言组：动态规划问题_动态规划算法 c语言 任务优化

蓝桥杯C语言中的动态规划问题研究

摘要

动态规划是解决多阶段决策问题的一种高效算法，在蓝桥杯C语言竞赛中应用广泛。本文系统地介绍了动态规划的基本概念、原理及解题步骤，并通过多个经典例题，结合表格和代码实例，展示了动态规划在不同问题中的应用方法。本文旨在帮助参赛选手更好地理解和掌握动态规划，提高解题能力。

一、引言

蓝桥杯全国软件和信息技术专业人才大赛是国内知名的IT类竞赛，C语言是其中重要的竞赛语言之一。动态规划作为一种高效的算法思想，在蓝桥杯C语言竞赛中频繁出现，解决了很多复杂的优化问题。掌握动态规划对于参赛选手来说至关重要。

二、动态规划概述

（一）基本概念

动态规划是一种将复杂问题分解为相对简单的子问题进行求解的方法。它通过存储子问题的解，避免重复计算，从而提高算法效率。动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。

（二）基本原理

动态规划的核心是状态转移方程。它通过定义状态和状态之间的关系，将问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个子问题。通过求解子问题，逐步推导出原问题的解。

（三）解题步骤

1. 明确问题的阶段划分：根据问题的特点，将问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个子问题。

2. 定义状态：确定每个阶段的状态变量，用于描述子问题的特征。

3. 建立状态转移方程：根据问题的性质，推导出状态之间的关系，建立状态转移方程。

4. 确定边界条件：明确初始状态和边界条件，作为递推的起点。

5. 计算最优解：根据状态转移方程，从初始状态开始，逐步计算每个阶段的状态值，最终得到原问题的最优解。

三、动态规划问题分类及实例分析

（一）线性DP

1.线性DP简介

线性DP是最基本的动态规划类型，其状态转移是线性的，即状态的更新依赖于前一个或几个状态。

2.例题讲解

例题1：破损的楼梯 问题描述：小孟来到了一座高耸的楼梯前，楼梯共有N级台阶，从第0级台阶出发。小孟每次可以迈上1级或2级台阶，但是，楼梯上的某些台阶已经坏了，不能上去。现在，小孟想要到达楼梯的顶端，也就是第N级台阶，但他不能踩到坏了的台阶上。请问有多少种不踩到坏了的台阶上到达顶端的方案数？由于方案数很大，请输出其对1e9+7取模的结果。

解题思路：

• 状态定义：设状态dp[i]表示走到第i级台阶的方案数。

• 状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，如果i为破损的，则dp[i] = 0。

• 边界条件：dp[0] = 1，表示在第0级台阶有一种方案。

• 代码实现：

#includeusing namespace std;const int N = 1e5+10, mod = 1e9+7;int n, m, x, f[N], vis[N];int main(){ cin >> n >> m; for(int i = 1; i > x; vis[x] = 1; } f[0] = 1; for(int i = 1; i <= n; i++) { if(vis[i]) continue; f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]; f[i] %= mod; } cout << f[n] << \'\\n\'; return 0;}

表格说明：假设楼梯共有5级台阶，其中第2级台阶是坏的，dp数组的变化如下表：

3.线性DP的应用场景

线性DP常用于解决具有线性结构的问题，如爬楼梯、数列问题等。这类问题的特点是状态的更新依赖于前一个或几个状态，且状态的顺序是固定的。

（二）二维DP

<