完全平方数最少数量问题：动态规划与数学解法全解析_构成n的最少个完全平方数

完全平方数最少数量问题：动态规划与数学解法全解析

在算法的奇妙世界里，“完全平方数的最少数量”问题是一道既考验逻辑思维，又能让我们领略不同解法魅力的经典题目。它要求我们找到和为给定整数 n 的完全平方数的最少个数，接下来将从解题思路、代码实现、算法结构及优点等方面深入剖析 。

一、题目剖析与需求理解

（一）题目解读

给定整数 n ，要找出和为 n 的完全平方数（像 1、4、9 这类整数的平方数 ）的最少数量。比如 n = 12 时，12 = 4 + 4 + 4 ，最少数量是 3 ；n = 13 时，13 = 4 + 9 ，最少数量是 2 。核心就是在满足和为 n 的前提下，让完全平方数的个数尽可能少。

（二）关键矛盾

需要在众多可能的完全平方数组合中，筛选出个数最少的那个。完全平方数的选择会相互影响，选了一个较大的完全平方数，可能减少后续需要的个数，但也得考虑剩余数值能否用更少的完全平方数组合而成，这就需要一种系统的方法来探索最优解。

二、解题思路：动态规划与数学方法

（一）动态规划思路

1. 状态定义

定义 dp[i] 为和为 i 的完全平方数的最少数量。这样就把原问题拆解成了一个个求 dp[i] 的子问题，通过逐步求解子问题来得到最终 dp[n] 的结果。

2. 状态转移方程推导

对于每个 i（从 1 到 n ），我们需要遍历所有可能的完全平方数 j²（j² <= i ）。那么 dp[i] 就可以由 dp[i - j²] + 1 转移而来，因为 i - j² 加上 j² 就等于 i ，所以状态转移方程为：
dp[i] = min(dp[i], dp[i - j²] + 1)
初始时，dp[0] = 0（和为 0 时，完全平方数数量为 0 ），而对于 i >= 1 ，先初始化为一个较大的值（比如 i ，因为最坏情况是 i 个 1 相加 ），然后再通过上述转移方程更新。

3. 示例推导（以 n = 12 为例 ）

• 初始化 dp[0] = 0 ，dp[1] 初始化为 1（因为 1 = 1² ，dp[1] = dp[1 - 1²] + 1 = dp[0] + 1 = 1 ）。
• 计算 dp[2] 时，遍历 j² 可能为 1 ，dp[2] = min(初始值, dp[2 - 1] + 1) = min(2, dp[1] + 1) = 2 。
• 以此类推，计算到 dp[12] 时，会找到 dp[12] = 3 ，即 4 + 4 + 4 的组合。

（二）数学方法思路（四平方和定理）

四平方和定理指出：每个自然数都可以表示为四个整数的平方和。进一步还能细化：

• 当 n 是形如 4^k*(8m + 7) 时，最少需要 4 个完全平方数。
• 否则，最少数量可能是 1（n 本身是完全平方数 ）、2（能表