简明量子态密度矩阵理论知识点总结_密度矩阵性质

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第-1章：两个重要概念

-1.1. 量子纯态与混合态

理解密度矩阵，首要的是清晰两个概念：量子纯态与混合态

在量子力学中，量子态用于描述一个量子系统的状态。量子态可以分为纯态（pure state）和混合态（mixed state）。

纯态的定义，

纯态是量子系统的一个确定的量子态，可以用一个态矢量 $|\\psi\\rangle$ 完全描述。就是量子力学中通常介绍的量子态。

其中， $\\alpha , \\beta \\in \\mathbb{C}$ 是复数表示的量子概率幅，它们体现了量子态的概率秉性，与量子系统之外的外界无关。

纯态表示系统处于一个明确的量子叠加态。

混合态的定义，

混合态是多个纯态的经典统计混合，即系统以一定的概率处于某一个纯态，但，由于实验设备的不稳定性、甚至人的操作准确度的不确定性（经典不确定性），实验物理学家和理论物理学家都不知道制备、演化出来的量子系统状态具体是哪一个纯态。

例如：系统以概率 $p_1$ 处于 $|\\psi_1\\rangle$ ，以概率 $p_2$ 处于 $|\\psi_2\\rangle$ ，以概率 ... 等等，且 $\\sum_i p_i = 1$ 。

其中， $p_i$ 这些概率，是宏观参与者（设备和人）引发的不确定性。

混合态表示我们对系统的具体状态存在经典不确定性，即宏观参与者的因素导致的量子态的不确定性。这区别于量子态叠加时，本身的量子概率性。

-1.2. 密度矩阵的初步定义

密度矩阵的定义
为了统一描述纯态和混合态，我们从经典不确定性的角度引入密度矩阵（density matrix）（或称为密度算符）。密度矩阵是一个厄米（Hermitian）、半正定（positive semi-definite）、迹为1（trace-one）的算符。

纯态的密度矩阵

对于纯态 $|\\psi\\rangle$ ，其密度矩阵定义为：

$\\rho = |\\psi\\rangle\\langle\\psi|$

这是一个投影算符，满足 $\\rho^2 = \\rho$ （幂等性）和 $\\text{Tr}(\\rho) = 1$ 。

混合态的密度矩阵

对于混合态（由多个纯态 $\\{|\\psi_i\\rangle\\}$ 以经典概率 $\\{p_i\\}$ 混合），其密度矩阵为：

$\\rho = \\sum_i p_i |\\psi_i\\rangle\\langle\\psi_i|$

这里 $p_i \\geq 0$ 且 $\\sum_i p_i = 1$ ，这里的 $p_i$ 是 -1.1 节中提到的经典不确定性因素导致的经典概率；而量子概率体现在 $|\\psi_i\\rangle$ 的复数概率幅之中。

混合态的密度矩阵一般不满足 $\\rho^2 = \\rho$ （除非是纯态）。

第零章：感性认识密度矩阵

首先，我们要知道，引入密度矩阵方法是量子力学理论发展的必然要求，其根本原因在于纯态描述存在严重局限性。下面尝试较充分地阐述密度矩阵必要性的七个关键原因，这里会结合物理场景和数学推导做一些说明，试图形成初步的感性接触。

0.1、统一描述经典概率与量子双重概率叠加

问题场景
比如，由于工艺问题，制备量子态的设备有点不稳定，以50%的概率制备一个量子态，另外 50%的可能性会制备出来另一个量子态。即，系统状态存在经典不确定性（导致量子态 50% 概率处于态 $|\\psi_1\\rangle$ ，50% 概率处于 $|\\psi_2\\rangle$ ），纯态描述是没有办法下手的，因为设备有问题，这时纯态描述的方式是失效的，无法刻画进设备的不稳定性。

数学本质
纯态期望值，

这时，存在量子坍塌到某个态的概率，这种概率与人和设备无关，目前认为是一种量子内部的本质形态：

$\\langle \\hat{A} \\rangle = \\langle \\psi | \\hat{A} | \\psi \\rangle$

混合态期望值需双重平均，这时除了上述纯态中的概率会影响期望值(体现在这里的 $\\langle \\psi_i | \\hat{A} | \\psi_i \\rangle$ 量子内在概率表达形式）而宏观的设备问题、人的全部不确定性，都会被引进系统描述中来，体现在这里的 $p_i$ :
$\\langle \\hat{A} \\rangle = \\sum_i p_i \\langle \\psi_i | \\hat{A} | \\psi_i \\rangle$

密度矩阵解决方案
$\\rho = \\sum_i p_i |\\psi_i\\rangle\\langle \\psi_i| \\quad \\Rightarrow \\quad \\langle \\hat{A} \\rangle = \\operatorname{Tr}(\\rho \\hat{A})$

0.1.1. 案例1，单个 qubit

量子比特在 $|0\\rangle$ 和 $|1\\rangle$ 的经典等概率混合，密度矩阵可以描述为如下：

$\\rho = \\frac{1}{2} \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix} + \\frac{1}{2} \\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} = \\frac{1}{2} \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$

0.1.2. 案例2，经典随机选择的量子态制备

现有实验设备，以经典概率随机选择两种不同的量子态制备方式：

以概率 $p$ 制备纯态 $|+\\rangle = \\frac{|0\\rangle + |1\\rangle}{\\sqrt{2}}$

以概率 $1-p$ 制备纯态 $|-\\rangle = \\frac{|0\\rangle - |1\\rangle}{\\sqrt{2}}$

计算密度矩阵：
系统的混合态为，

$\\rho = p |+\\rangle\\langle +| + (1-p) |-\\rangle\\langle -|$ .

展开计算，

$|+\\rangle\\langle +| = \\frac{1}{2}\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}, \\quad |-\\rangle\\langle -| = \\frac{1}{2}\\begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ -1 & 1 \\end{pmatrix}$ ,

$\\rho = \\frac{p}{2} \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix} + \\frac{1-p}{2} \\begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ -1 & 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{2} & p - \\frac{1}{2} \\\\ p - \\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\end{pmatrix}$ .

物理解释，
当 $p = 0.5$ ，非对角元消失（ $\\rho$ 完全混合），经典随机性完全掩盖了量子相干性。

当 $p \\neq 0.5$ ，非对角元保留，混合态中仍存在部分量子相干性。

0.1.3. 案例3，人为因素导致信息不完整

这个case 比较微妙，可以多体会一会其中的意涵，量子测量后的经典信息丢失。
场景：
如果系统初始处于纯态 $|\\psi\\rangle = \\alpha|0\\rangle + \\beta|1\\rangle$ 。

对系统进行 $|0\\rangle/|1\\rangle$ 基的测量，但实验者忘记测量结果（或测量结果被经典噪声掩盖）。

$\\rho = |\\alpha|^2 |0\\rangle\\langle 0| + |\\beta|^2 |1\\rangle\\langle 1| = \\begin{pmatrix} |\\alpha|^2 & 0 \\\\ 0 & |\\beta|^2 \\end{pmatrix}$

特点：
测量本身是量子过程（坍缩），但信息丢失引入了经典不确定性。

密度矩阵的非对角元（相干项）消失，体现量子退相干。

0.2、严格描述子系统量子态

问题场景
对于纠缠态

$|\\Psi_{AB}\\rangle = \\frac{|00\\rangle + |11\\rangle}{\\sqrt{2}}$

子系统，比如第一个qubit $A$ 的量子状态，这里无法用任何纯态描述。

数学推导
约化密度矩阵是唯一解：

$\\rho_A = \\operatorname{Tr}_B(|\\Psi_{AB}\\rangle\\langle \\Psi_{AB}|) = \\sum_{j} \\langle j_B | \\Psi_{AB} \\rangle \\langle \\Psi_{AB} | j_B \\rangle$

计算得：
$\\rho_A = \\frac{1}{2} \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$

物理意义
$\\rho_A$ 是混合态（ <img alt=\"$\\operatorname{Tr}(\\rho_A^2) = 0.5 ），完美反映量子纠缠导致的局部不确定性。

0.3、处理系综等价性问题

核心问题
不同系综可产生完全相同的物理预测：

${ \\frac{1}{2}, |0\\rangle; \\frac{1}{2}, |1\\rangle }$

${ \\frac{1}{2}, |+\\rangle; \\frac{1}{2}, |-\\rangle }$
其中

$|\\pm\\rangle = \\frac{|0\\rangle \\pm |1\\rangle}{\\sqrt{2}}$

密度矩阵的统一表示
$\\rho = \\frac{1}{2} \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ （相同矩阵）
结论：密度矩阵是物理等价的系综的唯一不变量。

0.4、建立量子测量一般理论

纯态测量的局限
投影测量 $P_m = |m\\rangle\\langle m|$ 无法描述：

非正交测量（POVM）

连续测量过程

密度矩阵的普适公式
对任意测量算符 ${ \\hat{M}_m }$ （满足. $\\sum_m \\hat{M}_m^\\dagger \\hat{M}_m = I$ ）：

概率公式：

$P(m) = \\operatorname{Tr}(\\hat{M}_m^\\dagger \\hat{M}_m \\rho)$

态更新规则：

$\\rho \\to \\rho_m\' = \\frac{\\hat{M}_m \\rho \\hat{M}_m^\\dagger}{P(m)}$

优势：统一描述弱测量、强测量、连续测量等所有测量类型。

0.5、描述开放系统动力学

问题本质
封闭系统演化：

$|\\psi(t)\\rangle = e^{-iHt/\\hbar}|\\psi(0)\\rangle$
但实际系统总与环境耦合，导致退相干和耗散。

密度矩阵演化方程
Lindblad主方程（马尔可夫近似）：

$\\frac{d\\rho}{dt} = -\\frac{i}{\\hbar}[H, \\rho] + \\sum_k \\gamma_k \\left( L_k \\rho L_k^\\dagger - \\frac{1}{2}\\{ L_k^\\dagger L_k, \\rho \\} \\right)$

Kraus表示（完全正定映射）：

$\\rho(t) = \\sum_k K_k(t) \\rho(0) K_k^\\dagger(t), \\quad \\sum_k K_k^\\dagger K_k = I$

实例：振幅阻尼信道（描述能量耗散）：
$K_0 = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & \\sqrt{1-\\gamma} \\end{pmatrix}, \\quad K_1 = \\begin{pmatrix} 0 & \\sqrt{\\gamma} \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$

0.6、量化量子资源

纯态无法定义的物理量
冯·诺依曼熵：

$S(\\rho) = -\\operatorname{Tr}(\\rho \\ln \\rho)$

纯态： $S=0$

最大混合态： $S=\\ln d$ （ $d$ 为希尔伯特空间维度）

纠缠熵：

$E(|\\Psi_{AB}\\rangle) = S(\\operatorname{Tr}B |\\Psi{AB}\\rangle\\langle \\Psi_{AB}|)$

相干性度量：

$C_l(\\rho) = \\sum_{i \\neq j} |\\rho_{ij}|$

0.7、统一量子力学与统计物理

核心需求
量子统计系综（如正则系综）必须同时考虑：

量子叠加原理

经典热涨落

密度矩阵解决方案
正则系综：
$\\rho = \\frac{e^{-\\beta H}}{\\operatorname{Tr}(e^{-\\beta H})}, \\quad \\beta = \\frac{1}{k_B T}$

期望值： $\\langle E \\rangle = \\operatorname{Tr}(H\\rho)$

熵： $S = k_B \\operatorname{Tr}(\\rho \\ln \\rho)$

推导：通过最大化冯·诺依曼熵 $S$ ，在约束 $\\langle H \\rangle = E$ 下得到上述形式。

0.8、尝试性总结：密度矩阵的不可替代性

问题类型 纯态描述缺陷 密度矩阵解决方案 经典-量子混合不确定性完全失效 $\\rho = \\sum p_i | \\psi_i\\rangle\\langle \\psi_i |$ 子系统描述无法定义约化密度矩阵 $\\rho_A = \\operatorname{Tr}_B (\\rho_{AB})$ 系综等价性仅适用幺正演化密度矩阵是唯一不变量开放系统演化仅适用幺正演化 Lindblad方程/ Kraus表示量子资源量化无法定义熵、相干性等基于 $\\rho$ 的泛函度量量子测量理论局限于投影测量广义测量算符作用于 $\\rho$ 量子统计力学无法描述热平衡态正则密度矩阵 $\\rho \\propto e^{-\\beta H}$

根本结论：密度矩阵是量子力学最完备的状态描述方式，它做到了如下效果，

统一了量子与经典概率
解决了子系统描述问题
建立了开放系统动力学框架
提供了量子信息度量的数学基础
成为量子计算、量子通信、量子热力学等现代物理领域的核心工具

第一章：纯态描述的局限性与混合态的引入

1.1 纯态回顾

量子系统的状态在希尔伯特空间 $\\mathcal{H}$ 中由态矢量 $|\\psi\\rangle$ 描述：

归一化条件： $\\langle\\psi|\\psi\\rangle = 1$

可观测量的期望值： $\\langle \\hat{A} \\rangle = \\langle\\psi| \\hat{A} |\\psi\\rangle$

测量概率：对算符 $\\hat{A}$ 的本征态 $|a_i\\rangle$ ，测得本征值 $a_i$ 的概率为 $P(a_i) = |\\langle a_i | \\psi \\rangle|^2$

1.2 纯态描述的局限性

纯态无法描述以下情形，

经典概率混合，系统以概率 $p_i$ 处于不同纯态 ${|\\psi_i\\rangle}$ ：

$\\text{ensemble:} \\quad \\{ p_i, |\\psi_i\\rangle \\} \\quad \\text{meet} \\quad \\sum_i p_i = 1, \\quad p_i \\geq 0$

子系统状态：复合系统 $AB$ 的子系统 $A$ 无法用单一纯态描述。

第二章：密度算符的定义、性质与表示

2.1 密度算符的定义

对系综 ${ p_i, |\\psi_i\\rangle }$ ，密度算符定义为：

$\\rho = \\sum_i p_i |\\psi_i\\rangle\\langle \\psi_i|$

2.2 密度算符的性质

厄米性： $\\rho^\\dagger = \\rho$

半正定性： $\\langle \\phi | \\rho | \\phi \\rangle \\geq 0 \\quad \\forall |\\phi\\rangle$

迹为 1：

$\\operatorname{Tr}(\\rho) = \\sum_i p_i \\langle \\psi_i | \\psi_i \\rangle = 1$

纯态判据： $\\rho^2 = \\rho \\iff \\rho$ 描述纯态；混合态中幂等不成立。

混合态判据：<img alt=\"$\\operatorname{Tr}(\\rho^2)

2.3 纯度与冯·诺依曼熵

纯度：

$\\mathcal{P}(\\rho) = \\operatorname{Tr}(\\rho^2) \\in [\\frac{1}{d}, 1]$ （ $d = \\dim \\mathcal{H}$ ）

冯·诺依曼熵：

$S(\\rho) = -\\operatorname{Tr}(\\rho \\ln \\rho) = -\\sum_k \\lambda_k \\ln \\lambda_k$
其中 $\\lambda_k$ 是 $\\rho$ 的本征值。

2.4 密度矩阵表示

在基 ${|n\\rangle}$ 下，密度矩阵元素为：

$\\rho_{nm} = \\langle n | \\rho | m \\rangle = \\sum_i p_i \\langle n | \\psi_i \\rangle \\langle \\psi_i | m \\rangle$

对角元 $\\rho_{nn}$ ：在基 $|n\\rangle$ 上的概率

非对角元 $\\rho_{nm}$ $(n \\neq m)$ ：量子相干项

2.5 系综等价性

不同系综可能给出相同密度矩阵：

$\\rho = \\frac{1}{2} |0\\rangle\\langle 0| + \\frac{1}{2} |1\\rangle\\langle 1| = \\frac{1}{2} |+\\rangle\\langle +| + \\frac{1}{2} |-\\rangle\\langle -|$

其中 $|\\pm\\rangle = \\frac{|0\\rangle \\pm |1\\rangle}{\\sqrt{2}}$ 。

第三章：密度矩阵的物理应用

3.1 期望值计算

可观测量 $\\hat{A}$ 的期望值：

$\\langle \\hat{A} \\rangle = \\operatorname{Tr}(\\rho \\hat{A}) = \\sum_i p_i \\langle \\psi_i | \\hat{A} | \\psi_i \\rangle$

3.2 量子测量理论

测量算符 ${ \\hat{M}_m }$ （满足. $\\sum_m \\hat{M}_m^\\dagger \\hat{M}_m = \\hat{I}$ ）：

结果概率：

$P(m) = \\operatorname{Tr}( \\hat{M}_m^\\dagger \\hat{M}_m \\rho )$

测量后态：

$\\rho_m\' = \\frac{ \\hat{M}_m \\rho \\hat{M}_m^\\dagger }{ P(m) }$

投影测量（ $\\hat{P}_m$ 为投影算符）：

$P(m) = \\operatorname{Tr}(\\hat{P}_m \\rho)$

$\\rho_m\' = \\frac{ \\hat{P}_m \\rho \\hat{P}_m }{ P(m) }$

3.3 约化密度矩阵

对复合系统 $AB$ ，子系统 $A$ 的约化密度矩阵：

$\\rho_A = \\operatorname{Tr}_B (\\rho_{AB}) = \\sum_j \\langle j_B | \\rho_{AB} | j_B \\rangle$
其中 ${|j_B\\rangle}$ 是 $B$ 的基。

3.4 纠缠判据

若复合系统 $AB$ 处于纯态 $|\\Psi_{AB}\\rangle$ ，则：

$\\rho_A = \\operatorname{Tr}_B( |\\Psi_{AB}\\rangle\\langle \\Psi_{AB}| ) \\text{ is \\ mixed \\ states} \\iff |\\Psi_{AB}\\rangle \\text{ is \\ entangled \\ state }$

3.5 动力学演化

封闭系统的刘维尔-冯·诺依曼方程：

$i\\hbar \\frac{\\partial \\rho}{\\partial t} = [\\hat{H}, \\rho]$

解为 $\\rho(t) = \\hat{U}(t) \\rho(0) \\hat{U}^\\dagger(t)$ ，

其中 $\\hat{U}(t) = e^{-i\\hat{H}t/\\hbar}$ 。

第四章：开放系统与扩展应用

4.1 开放量子系统

系统 $S$ 与环境 $E$ 相互作用，总态 $\\rho_{SE}$ 演化：

$\\rho_S(t) = \\operatorname{Tr}_E \\left( \\hat{U}_{SE}(t) \\rho_{SE}(0) \\hat{U}_{SE}^\\dagger(t) \\right)$

4.2 Kraus 算符表示

量子操作 $\\Phi$ 的 Kraus 表示：

$\\Phi(\\rho) = \\sum_k \\hat{K}_k \\rho \\hat{K}_k^\\dagger, \\quad \\sum_k \\hat{K}_k^\\dagger \\hat{K}_k = \\hat{I}$

4.3 Lindblad 主方程

马尔可夫开放系统的动力学：

$\\frac{d\\rho}{dt} = -\\frac{i}{\\hbar} [\\hat{H}, \\rho] + \\sum_k \\gamma_k \\left( \\hat{L}_k \\rho \\hat{L}_k^\\dagger - \\frac{1}{2} \\{ \\hat{L}_k^\\dagger \\hat{L}_k, \\rho \\} \\right)$

其中 $\\hat{L}_k$ 为 Lindblad 算符， $\\gamma_k \\geq 0$ 为耗散率。

4.4 量子信息应用

纠缠熵：

$S_A = -\\operatorname{Tr}(\\rho_A \\ln \\rho_A)$

保真度：

$F(\\rho, \\sigma) = \\left( \\operatorname{Tr} \\sqrt{ \\sqrt{\\rho} \\sigma \\sqrt{\\rho} } \\right)^2$

量子信道容量：

$C = \\max_{\\{p_i, \\rho_i\\}} S\\left( \\sum_i p_i \\Phi(\\rho_i) \\right) - \\sum_i p_i S(\\Phi(\\rho_i))$

总结

密度矩阵理论提供了量子态的统一描述：

统一框架：处理纯态、混合态及子系统

物理预测： $\\langle \\hat{A} \\rangle = \\operatorname{Tr}(\\rho \\hat{A})$ , $P(m) = \\operatorname{Tr}(\\hat{M}_m^\\dagger \\hat{M}_m \\rho)$

动力学：封闭系统（刘维尔方程），开放系统（Lindblad 方程）

量子信息：纠缠度量、信道容量、退相干研究

密度矩阵是现代量子力学、量子统计物理和量子信息科学的基石，其数学形式简洁且物理内涵深刻。

本篇比较完整涵盖了密度矩阵的核心概念、数学结构、物理应用及前沿扩展，希望对量子路上的你有所帮助。

参考：