【动态规划】完全背包问题
完全背包问题
- 1. 完全背包
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1. 完全背包
题目链接： DP42 【模板】完全背包
题目分析：
上面题目描述和01背包的一样，这里不在叙述。直接来看示例。
算法原理：
解决第一问背包没有必要装满的情况
之前在01背包哪里说过其他背包问题都是从01背包延伸的，所以01背包是其他背包的基础。接下来的状态表示、状态转移方程等全都是按照01背包来的。
1.状态表示
dp[i][j] 表示：从前 i 个物品中选，总体积不超过 j ，所有选法中，最大价值是多少。
2.状态转移方程
这里也是和01背包那里一样，根据最后一个位置，划分情况。
但是这里有点差别，01背包哪里只有选or不选两个情况，我们这里情况就多了。可以不选、可以选1个、可以选2个、可以选3个…
不选 i，说明所有选法中都不包含第 i 个物品，相当于从去 1 ~ i - 1 这个区间去选，就是dp[i-1][j]
选一个 i，这时就有一个v[i]的体积了，然后仅需去 1 ~ i - 1 区间去选一个 不超过j - v[i]的最大价值，然后在加上 i 的价值。
选两个 i，这时就有两个v[i]的体积了，然后仅需去 1 ~ i - 1 区间去选一个 不超过j - 2*v[i]的最大价值，然后在加上两个 i 的价值。
选三个 i，选四个…，同理如上。
如果做过前面的通配符匹配和正则表达式的时候，我们是遇到这种状态转移方程的。发现填一个状态的时候发现这个状态时候很多状态拼接而成的，这个时候我们要想到策略把这些状态用一个或者两个状态来表示。
优化：数学
假设最后选了k个i，在选背包容量就装不下了。
我们发现 i - 1 是没有变的，但是 j 是均匀减v[i]，所以我们可以转化一下
先分析一下，k和x是否相等。上面的k表示，j - kv[i] 无限接近于0，下面的x其实也是表示，j - xv[i] 无线接近于0。所以 k == x，也就说上面划线的和下面的个数是完全相同的。
然后我们给下面的加上一个w[i]，你会发现上面划线的完全可以用下面的替代。
因此我们就可以得到优化后的dp[i][j]的状态转移方程。
注意 j - v[i] 可能不存在，这里和01背包一样，所以必须 j >= v[i]
3.初始化
多开一行一列
- 里面的值要保证后序的填表是正确的
- 下标的映射关系
第一列不用初始化前面01背包应用已经解释过了。
第一行表示物品为空，当 j 为0的时候，要凑成不超过 j，只要不选就行了，最大价值是0。如果j为1、2、3但是没有物品可选，同样最大价值也是0.
4.填表
填dp[i][j]会用到上面和左边的值，因此从上往下填写每一行，每一行从左往右。
5.返回值
dp[i][j] 表示：从前 i 个物品中选，总体积不超过 j ，所有选法中，最大价值是多少。我们要的是从整个物品中选不超过V的最大价值。因此返回dp[n][V]
解决第二问背包必须装满的情况。
在之前的基础上稍加修改就行
1.状态表示
2.状态转移方程
这里稍微修改的是dp[i][j-v[i]] + w[i]，我们之前只是判断 j - v[i] 是否存在。因为我们这里是必须要装满，但是dp[i][j-v[i]]不一定装满。如果不一定装满用0表示的话，因为后面加个w[i]，dp[i][j]求max就可能会用到这个状态。但是实际上要求如果dp[i][j-v[i]]凑不够是不能用dp[i][j-v[i]] + w[i]。所以不仅要判断 j >= v[i]，还要判断dp[i][j-v[i]情况是否存在。我们这里和01背包哪里一样，用dp[i][j] == -1 表示情况不存在，没有这个状态。根本凑不出来 j - v[i]的体积。为什么不用0，因为第一行第一个空格dp[0][0] == 0 表示没有物品，j 等于0，只要不选就行了，是有这种情况的。最大价值是0。
3.初始化
这里我们处理第一行就行了，第一列还是不用初始化
第一行为空，表示没有物品，没有物品此时 j 为 0，不选就行了，此时最大价值为0。那没有物品肯定凑不成 j 为 1、2、3…等情况，给 -1.
4.填表
5.返回值
注意如果最终结果是-1，说明物品凑不出V的情况要返回0，因此返回之前要判断一下
#include #includeusing namespace std;const int N = 1010;int n,V,v[N],w[N];int dp[N][N];int main(){ // 读入数据 cin >> n >> V
