线性代数——2.1逆矩阵_逆矩阵例题

线性代数：逆矩阵

一、逆矩阵的引入

在线性变换中，如果有一个线性变换 $Y=AX$，当矩阵 $A$ 满足特定条件时，我们可以找到一个逆变换 $X=BY$。这意味着我们可以从 $Y$ 重新得到 $X$。通过推导，我们发现这个逆变换的矩阵 $B$ 满足 $AB=BA=E$（其中 $E$ 是单位矩阵）。我们称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 A−1A^{-1}A−1。这就像实数中的倒数，如果 $ab=ba=1$，那么 a=b−1a=b^{-1}a=b−1， b=a−1b=a^{-1}b=a−1。

二、逆矩阵的定义

1. 定义
   设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵。如果存在一个 $n$ 阶方阵 $B$，使得 $AB=BA=E$ (单位矩阵)，那么称 $A$ 是可逆矩阵或非奇异矩阵。矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 A−1=BA^{-1}=BA−1=B。

2. 几点说明

   • $A$ 和 $B$ 都必须是方阵。
   • 如果矩阵 $A$ 的逆矩阵存在，那么它一定是唯一的。
     证明：假设 B1B_1B1​ 和 B2B_2B2​ 都是 $A$ 的逆矩阵，则有 AB1=B1A=EAB_1=B_1A=EAB1​=B1​A=E 和 AB2=B2A=EAB_2=B_2A=EAB2​=B2​A=E。
     那么 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2B_1 = B_1E = B_1(AB_2) = (B_1A)B_2 = EB_2 = B_2B1​=B1​E=B1​(AB2​)=(B1​A)B2​=EB2​=B2​。因此逆矩阵唯一。
   • 如果 $A$ 的逆矩阵存在，记为 A−1A^{-1}A−1，则有 AA−1=A−1A=EAA^{-1}=A^{-1}A=EAA−1=A−1A=E。
   • 请注意，A−1A^{-1}A−1 不是 1A\\frac{1}{A}A1​，矩阵没有除法运算。AA−1AA^{-1}AA−1 等于单位矩阵 $E$，而不是数1。
   • $A$ 和 A−1A^{-1}A−1 是互逆的。

3. 伴随矩阵
   设 AijA_{ij}Aij​ 是矩阵 $A$ 的行列式中元素 aija_{ij}aij​ 的代数余子式。矩阵 A∗A^*A∗ 称为 $A$ 的伴随矩阵，其定义为：
   A∗=(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋱⋮A1nA2n⋯Ann)A^* = \\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \\cdots & A_{n1} \\\\ A_{12} & A_{22} & \\cdots & A_{n2} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ A_{1n} & A_{2n} & \\cdots & A_{nn} \\end{pmatrix}A∗=​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​​
   注意： 伴随矩阵的元素是原矩阵对应元素的代数余子式转置后得到的。
   重要性质： AA∗=A∗A=∣A∣EAA^* = A^*A = |A|EAA∗=A∗A=∣A∣E。
   例如，对于一个 $2\times 2$ 矩阵 A=(abcd)A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}A=(ac​bd​)，其伴随矩阵为 A∗=(d−b−ca)A^* = \\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}A∗=(d−c​−ba​)。

三、逆矩阵的性质

1. 定理1：矩阵可逆的充要条件
   矩阵 $A$ 可逆的充要条件是其行列式 $|A|\ne 0$，且 A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \\frac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1​A∗，其中 A∗A^*A∗ 是 $A$ 的伴随矩阵。

   • 证明 (充分性)： 若 $A$ 可逆，则存在 A−1A^{-1}A−1 使得 AA−1=EAA^{-1}=EAA−1=E。对两边取行列式，得 ∣AA−1∣=∣E∣|AA^{-1}| = |E|∣AA−1∣=∣E∣，即 ∣A∣∣A−1∣=1|A||A^{-1}|=1∣A∣∣A−1∣=1。因此 $|A|\ne 0$。
   • 证明 (必要性)： 若 $|A|\ne 0$，根据伴随矩阵的性质，我们有 AA∗=A∗A=∣A∣EAA^* = A^*A = |A|EAA∗=A∗A=∣A∣E。
     将等式两边除以 $|A|$ (因为 $|A|\ne 0$)，得到 A(A∗∣A∣)=(A∗∣A∣)A=EA \\left(\\frac{A^*}{|A|}\\right) = \\left(\\frac{A^*}{|A|}\\right) A = EA(∣A∣A∗​)=(∣A∣A∗​)A=E。
     根据逆矩阵的定义，这意味着 $A$ 是可逆的，且 A−1=A∗∣A∣A^{-1} = \\frac{A^*}{|A|}A−1=∣A∣A∗​。
   • 注意： $A$ 可逆等价于 $A$ 是非奇异矩阵，也等价于 $|A|\ne 0$。

2. 定理2：乘积为单位矩阵的矩阵
   设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵，若 $AB=E$，则 $A,B$ 都可逆，且 A−1=BA^{-1}=BA−1=B, B−1=AB^{-1}=AB−1=A。

   • 证明： 由 $AB=E$ 可知 $|AB|=|E|=1$，所以 $|A||B|=1$，因此 $|A|\ne 0$ 且 $|B|\ne 0$。这表明 $A$ 和 $B$ 都是可逆的。
     A−1=A−1E=A−1(AB)=(A−1A)B=EB=BA^{-1} = A^{-1}E = A^{-1}(AB) = (A^{-1}A)B = EB = BA−1=A−1E=A−1(AB)=(A−1A)B=EB=B。
     B−1=EB−1=(AB)B−1=A(BB−1)=AE=AB^{-1} = EB^{-1} = (AB)B^{-1} = A(BB^{-1}) = AE = AB−1=EB−1=(AB)B−1=A(BB−1)=AE=A。

3. 定理3：逆矩阵的运算性质
   设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 可逆，则：

   • (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A。
     证明：由 AA−1=EAA^{-1}=EAA−1=E，根据定义， $A$ 就是 A−1A^{-1}A−1 的逆矩阵。
   • ∣A−1∣=∣A∣−1|A^{-1}| = |A|^{-1}∣A−1∣=∣A∣−1。
     证明：由 AA−1=EAA^{-1}=EAA−1=E 取行列式得 ∣A∣∣A−1∣=1|A||A^{-1}|=1∣A∣∣A−1∣=1，所以 ∣A−1∣=1∣A∣=∣A∣−1|A^{-1}| = \\frac{1}{|A|} = |A|^{-1}∣A−1∣=∣A∣1​=∣A∣−1。
   • (A′)−1=(A−1)′(A\')^{-1}=(A^{-1})\'(A′)−1=(A−1)′ (逆的转置等于转置的逆)。
     证明：由于 AA−1=EAA^{-1}=EAA−1=E，对两边取转置，得到 (AA−1)′=E′(AA^{-1})\' = E\'(AA−1)′=E′，即 (A−1)′A′=E(A^{-1})\'A\' = E(A−1)′A′=E。
     根据定理2， A′A\'A′ 可逆，且其逆矩阵为 (A−1)′(A^{-1})\'(A−1)′。
   • 当 $\lambda \ne 0$ 时，(λA)−1=1λA−1(\\lambda A)^{-1}=\\frac{1}{\\lambda}A^{-1}(λA)−1=λ1​A−1。
     证明：因为 AA−1=EAA^{-1}=EAA−1=E，所以 λA⋅1λA−1=λ⋅1λ⋅AA−1=1⋅E=E\\lambda A \\cdot \\frac{1}{\\lambda}A^{-1} = \\lambda \\cdot \\frac{1}{\\lambda} \\cdot AA^{-1} = 1 \\cdot E = EλA⋅λ1​A−1=λ⋅λ1​⋅AA−1=1⋅E=E。
     根据定义，(λA)−1=1λA−1(\\lambda A)^{-1} = \\frac{1}{\\lambda}A^{-1}(λA)−1=λ1​A−1。
     注意： (A+B)−1≠A−1+B−1(A+B)^{-1} \\ne A^{-1}+B^{-1}(A+B)−1=A−1+B−1。
   • $AB$ 可逆，且 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1 (乘积的逆等于逆的乘积，顺序相反)。
     证明：因为 $A,B$ 可逆，所以 $|A|\ne 0,|B|\ne 0$，从而 $|AB|=|A||B|\ne 0$，所以 $AB$ 可逆。
     验证 (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AEA−1=AA−1=E(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AEA^{-1} = AA^{-1} = E(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AEA−1=AA−1=E。
     根据定义，(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1。

四、解题常用公式总结

在计算和证明逆矩阵相关问题时，以下公式非常有用：

1. 矩阵 $A$ 可逆的充要条件是 $|A|\ne 0$。
2. 若 $AB=E$，则 A−1=BA^{-1}=BA−1=B 且 B−1=AB^{-1}=AB−1=A。
3. A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\\frac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1​A∗ (通过伴随矩阵求逆)。
4. AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|EAA∗=A∗A=∣A∣E (伴随矩阵与原矩阵的关系)。

五、分块矩阵的逆矩阵

对于分块矩阵的逆矩阵，有一些常用的公式：

设 A,B,A1,A2,…,ArA, B, A_1, A_2, \\ldots, A_rA,B,A1​,A2​,…,Ar​ 都是可逆矩阵，则有：

1. (A0CB)−1=(A−10−B−1CA−1B−1)\\begin{pmatrix} A & 0 \\\\ C & B \\end{pmatrix}^{-1} = \\begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\\\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \\end{pmatrix}(AC​0B​)−1=(A−1−B−1CA−1​0B−1​)
   推导思路： 设其逆矩阵为 (X11X12X21X22)\\begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} \\\\ X_{21} & X_{22} \\end{pmatrix}(X11​X21​​X12​X22​​)，然后根据矩阵乘法和单位矩阵的定义列出方程组求解。
   (A0CB)(X11X12X21X22)=(E00E)\\begin{pmatrix} A & 0 \\\\ C & B \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} \\\\ X_{21} & X_{22} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} E & 0 \\\\ 0 & E \\end{pmatrix}(AC​0B​)(X11​X21​​X12​X22​​)=(E0​0E​)
   可以得到方程组：
   AX11=E⇒X11=A−1AX_{11} = E \\Rightarrow X_{11} = A^{-1}AX11​=E⇒X11​=A−1
   AX12=0⇒X12=0AX_{12} = 0 \\Rightarrow X_{12} = 0AX12​=0⇒X12​=0 (因为 $A$ 可逆)
   CX11+BX21=0⇒CA−1+BX21=0⇒BX21=−CA−1⇒X21=−B−1CA−1CX_{11} + BX_{21} = 0 \\Rightarrow CA^{-1} + BX_{21} = 0 \\Rightarrow BX_{21} = -CA^{-1} \\Rightarrow X_{21} = -B^{-1}CA^{-1}CX11​+BX21​=0⇒CA−1+BX21​=0⇒BX21​=−CA−1⇒X21​=−B−1CA−1
   CX12+BX22=E⇒C⋅0+BX22=E⇒BX22=E⇒X22=B−1CX_{12} + BX_{22} = E \\Rightarrow C \\cdot 0 + BX_{22} = E \\Rightarrow BX_{22} = E \\Rightarrow X_{22} = B^{-1}CX12​+BX22​=E⇒C⋅0+BX22​=E⇒BX22​=E⇒X22​=B−1
   由此得到上述逆矩阵的公式。

2. (A00B)−1=(A−100B−1)\\begin{pmatrix} A & 0 \\\\ 0 & B \\end{pmatrix}^{-1} = \\begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\\\ 0 & B^{-1} \\end{pmatrix}(A0​0B​)−1=(A−10​0B−1​)

3. (AC0B)−1=(A−1−A−1CB−10B−1)\\begin{pmatrix} A & C \\\\ 0 & B \\end{pmatrix}^{-1} = \\begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\\\ 0 & B^{-1} \\end{pmatrix}(A0​CB​)−1=(A−10​−A−1CB−1B−1​)

4. 对于对角分块矩阵：
   (A1A2⋱Ar)−1=(A1−1A2−1⋱Ar−1)\\begin{pmatrix} A_1 & & & \\\\ & A_2 & & \\\\ & & \\ddots & \\\\ & & & A_r \\end{pmatrix}^{-1} = \\begin{pmatrix} A_1^{-1} & & & \\\\ & A_2^{-1} & & \\\\ & & \\ddots & \\\\ & & & A_r^{-1} \\end{pmatrix}​A1​​A2​​⋱​Ar​​​−1=​A1−1​​A2−1​​⋱​Ar−1​​​

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