MIT线性代数02_矩阵消元

1. Elimination

pivot 主元

[121381041]−>[12102−2041]−>[12102−2005]\\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\\\3 & 8 & 1\\\\0 & 4 & 1\\\\\\end{bmatrix}->\\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\\\0 & 2 & -2 \\\\0 & 4 & 1 \\\\\\end{bmatrix}->\\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\\\0 & 2 & -2\\\\0 & 0 & 5\\\\\\end{bmatrix}​130​284​111​​−>​100​224​1−21​​−>​100​220​1−25​​

2. Back-substitution

augumented matrix 增广矩阵

[1212381120412]−>[121202−260412]−>[121202−26005−10]\\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\\\3 & 8 & 1 & 12 \\\\0 & 4 & 1 & 2 \\\\\\end{bmatrix}->\\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 2\\\\0 & 2 & -2 & 6\\\\0 & 4 & 1 & 2\\\\\\end{bmatrix}->\\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 2 \\\\0 & 2 & -2& 6 \\\\0 & 0 & 5 & -10\\\\\\end{bmatrix}​130​284​111​2122​​−>​100​224​1−21​262​​−>​100​220​1−25​26−10​​

3. Elimination matrices

• identity matrix 单位矩阵
• elementary matrix 初等矩阵
• associative law 结合律
• par·en·thesis n. /pəˈrenθəsɪs/= bracket
• permutation matrix 置换矩阵
• Inverse

Step 1: Matries: subtract 3 x row1 from row2

$$
\\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
3 & 8 & 1 & 12 \\
0 & 4 & 1 & 2 \\
\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 2 & -2 & 6 \\
0 & 4 & 1 & 2 \\
\\end{bmatrix}
$$

Step 2: Subtract 2 x row2 from row3

$$
\\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -2& 1 \\
\\end{bmatrix}
\\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 2 & -2 & 6 \\
0 & 4 & 1 & 2 \\
\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 2 & -2 & 6 \\
0 & 0 & 5 & -10 \\
\\end{bmatrix}
$$

E32(E21A)=U(E32E21)A=UE_{32} (E_{21} A) = U\\\\(E_{32} E_{21}) A = UE32​(E21​A)=U(E32​E21​)A=U

4. Matrix Multiplication

矩阵乘以一个列向量，相当于矩阵的列的线性组合。
一个行向量乘以一个矩阵，相当于矩阵的行的线性组合。

Permutation

Exchange row1 and row2

$$
\\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}
c & d \\
a & b \\
\\end{bmatrix}
$$

$$
\\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}
b & a \\
d & c \\
\\end{bmatrix}
$$

Inverses

$$
\\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\\end{bmatrix}
\\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\\end{bmatrix}

\\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\\end{bmatrix}
$$