秩为1的矩阵的特征和性质_秩一矩阵

秩为1的矩阵即$r(A)=1$的矩阵，

当然，严格来讲，秩一矩阵不一定非要是方阵，例如下面这一个矩阵：

A=[123246]A=\\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\\\2 & 4 & 6\\end{bmatrix}A=[12​24​36​]
其并不是一个方阵，化简后
A=[123000]A=\\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\\\0 & 0 & 0\\end{bmatrix}A=[10​20​30​]只有一个线性无关的向量，因此秩为1。

但是，在考研和日常应用中需要讨论秩一矩阵的迹、特征值这些性质，因此基本上秩一矩阵默认都是方阵。

秩一矩阵有一些有常用的性质，介绍如下：

性质1：秩一矩阵的行列成比例

这也可以说是一个特征。行列成比例则可以化简为只有一个线性无关的向量的最简形式，从而得出矩阵的秩为1

性质2：r(A)=1⇔A=αβTr(A)=1\\Leftrightarrow A=\\alpha \\beta^Tr(A)=1⇔A=αβT，即秩一矩阵A可以化为两个一维向量相乘的形式
秩一矩阵可以化为一列向量乘一行向量的形式, 从线性代数的几何性质来理解就是即秩一矩阵A的列空间是一维的， 两个一维向量分别是列空间和行空间的基。从数值方面来理解秩为一的矩阵任何一行(列)向量都是某行(列)向量的k1,k2,k3⋯k_1,k_2,k_3 \\cdotsk1​,k2​,k3​⋯倍，矩阵要实现这种效果就是使用矩阵乘法，也就是列向量乘行向量

例如：
A=[1232464812]=[124]⋅[123]A=\\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\\\2 & 4 & 6 \\\\4 & 8 & 12 \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}1 \\\\2 \\\\4\\end{bmatrix} \\cdot \\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\\\\\end{bmatrix}A=​124​248​3612​​=​124​​⋅[1​2​3​]

性质3：tr(A)=βTαtr(A)=\\beta^T \\alphatr(A)=βTα 即$A$的迹等于两个向量的内积
$A$的迹$tr(A)$即为矩阵的对角线元素相加

举一个三阶矩阵的例子来证明：
tr(A)=tr(αβT)=tr((α1α2α3)(β1β2β3))=α1β1+α2β2+α3β3=αTβ=βTαtr(A) = tr(\\alpha\\beta^T)= tr(\\begin{pmatrix} \\alpha_1\\\\ \\alpha_2\\\\ \\alpha_3 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} \\beta_1& \\beta_2 &\\beta_3 \\end{pmatrix}) \\\\ =\\alpha_1\\beta_1+\\alpha_2\\beta_2 +\\alpha_3\\beta_3 = \\alpha^T \\beta=\\beta^T\\alpha tr(A)=tr(αβT)=tr(​α1​α2​α3​​​(β1​​β2​​β3​​))=α1​β1​+α2​β2​+α3​β3​=αTβ=βTα

这一个性质经常和性质2结合来处理秩一矩阵的的高次方。
若 $n$阶矩阵$A$的秩为1 ，则A=αβT，tr(A)=βTαA=\\alpha \\beta^T，tr(A)=\\beta^T \\alphaA=αβT，tr(A)=βTα
An=(αβT)n=αβTαβTαβT⋯αβTαβT=α[tr(A)]n−1βT=[tr(A)]n−1αβT=[tr(A)]n−1AA^n=(\\alpha \\beta^T)^n=\\alpha \\beta^T\\alpha \\beta^T\\alpha \\beta^T \\cdots \\alpha \\beta^T\\alpha \\beta^T \\\\[15pt]=\\alpha[tr(A)]^{n-1} \\beta^T=[tr(A)]^{n-1} \\alpha\\beta^T=[tr(A)]^{n-1} AAn=(αβT)n=αβTαβTαβT⋯αβTαβT=α[tr(A)]n−1βT=[tr(A)]n−1αβT=[tr(A)]n−1A

性质4： $n$阶秩一矩阵$A$的 $n$个特征值是1个$tr(A)$ 和$n-1$个 0

证明：
法1（方程组法）

若 $n$阶矩阵$A$的秩为1 ,则$Ax=0$ 的基础解系含 $n-1$个线性无关解向量，由于 $Ax=0=0\cdot x$，所以这 $n-1$个线性无关的解向量都是属于特征值0的特征向量，因此0至少是 $A$的$n-1$重特征值。

设λ1=λ2=⋯λn−1=0\\lambda _1=\\lambda _2=\\cdots \\lambda _{n-1}=0λ1​=λ2​=⋯λn−1​=0，则由特征值的性质特征值之和等于矩阵的迹，即λ1+λ2+⋯λn−1+λn=∑i=1naii\\lambda _1+\\lambda _2+\\cdots \\lambda _{n-1}+\\lambda _n=\\sum_{i=1}^n{a_{ii}}λ1​+λ2​+⋯λn−1​+λn​=∑i=1n​aii​得： λn=∑i=1naii=tr(A)\\lambda _n=\\sum_{i=1}^n{a_{ii}}=tr(A)λn​=∑i=1n​aii​=tr(A)。

所以当矩阵的迹$tr(A)=0$时，0就是矩阵的$n$重特征值，当矩阵的迹$tr(A)\ne 0$时，0就是矩阵的$n-1$重特征值

法2（特征方程法）

若 $n$阶矩阵$A$的秩为1 ，则$A$的列向量组的秩为 1，不妨设$A$的第一列为α=(a1,a2,⋯ ,an)T≠0(a1≠0)\\alpha=\\left(a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n}\\right)^{T} \\neq 0 \\quad\\left(a_{1} \\neq 0\\right)α=(a1​,a2​,⋯,an​)T=0(a1​=0)，则其它列均可由$\alpha$线性表示，于是矩阵可表示为A=(b1α,b2α,⋯ ,bnα)=αβTA=\\left(b_{1} \\alpha, b_{2} \\alpha, \\cdots, b_{n} \\alpha\\right)=\\alpha \\beta^{T}A=(b1​α,b2​α,⋯,bn​α)=αβT，其中 b1=1,β=(b1,b2,⋯ ,bn)Tb_{1}=1, \\quad \\beta=\\left(b_{1}, b_{2}, \\cdots, b_{n}\\right)^{T}b1​=1,β=(b1​,b2​,⋯,bn​)T

∣λE−A∣=∣λ−a1b1−a1b2⋯−a1bn−a2b1λ−a2b2⋯−a2bn⋮⋮⋮−anb1−anb2⋯λ−anbn∣=∣λ−a1b1−a1b2⋯−a1bn−a2a1λλ⋯0⋮⋮⋮−ana1λ0⋯λ∣=λ−∑i=1naibi−a1b2⋯−a1bn0λ⋯0⋮⋮⋮00⋯λ=λn−1(λ−∑i=1naibi)|\\lambda E-A|=\\left|\\begin{array}{cccc}\\lambda-a_{1} b_{1} & -a_{1} b_{2} & \\cdots & -a_{1} b_{n} \\\\ -a_{2} b_{1} & \\lambda-a_{2} b_{2} & \\cdots & -a_{2} b_{n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ -a_{n} b_{1} & -a_{n} b_{2} & \\cdots & \\lambda-a_{n} b_{n}\\end{array}\\right| \\\\[24pt] \\\\ =\\left|\\begin{array}{cccc} \\lambda-a_{1} b_{1} & -a_{1} b_{2} & \\cdots & -a_{1} b_{n} \\\\ -\\frac{a_{2}}{a_{1}} \\lambda & \\lambda & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ -\\frac{a_{n}}{a_{1}} \\lambda & 0 & \\cdots & \\lambda \\end{array}\\right| \\\\[24pt] =\\begin{array}{|cccc|} \\lambda-\\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} & -a_{1} b_{2} & \\cdots & -a_{1} b_{n} \\\\ 0 & \\lambda & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & \\lambda \\end{array} \\\\[24pt] =\\lambda^{n-1}\\left(\\lambda-\\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\\right) ∣λE−A∣=​λ−a1​b1​−a2​b1​⋮−an​b1​​−a1​b2​λ−a2​b2​⋮−an​b2​​⋯⋯⋯​−a1​bn​−a2​bn​⋮λ−an​bn​​​=​λ−a1​b1​−a1​a2​​λ⋮−a1​an​​λ​−a1​b2​λ⋮0​⋯⋯⋯​−a1​bn​0⋮λ​​=λ−∑i=1n​ai​bi​0⋮0​−a1​b2​λ⋮0​⋯⋯⋯​−a1​bn​0⋮λ​=λn−1(λ−i=1∑n​ai​bi​)

性质5： $\alpha$是矩阵$A$的$tr(A)$特征值对应的特征向量。

若 $n$阶矩阵$A$的秩为1 ，则$A$可表示为
A=αβT=[a1a2⋯an]⋅[b1b2⋯b3]=[a1b1a1b2⋯a1bna2b1a2b2⋯a2bn⋮⋮⋮anb1anb2⋯anbn]A=\\alpha \\beta^T=\\begin{bmatrix}a_1 \\\\a_2 \\\\\\cdots \\\\a_n\\end{bmatrix} \\cdot \\begin{bmatrix}b_1 & b_2 & \\cdots & b_3 \\\\\\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & \\cdots & a_1b_n\\\\a_2b_1& a_2b_2 & \\cdots & a_2b_n \\\\\\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\a_nb_1 & a_nb_2& \\cdots & a_nb_n\\end{bmatrix} A=αβT=​a1​a2​⋯an​​​⋅[b1​​b2​​⋯​b3​​]=​a1​b1​a2​b1​⋮an​b1​​a1​b2​a2​b2​⋮an​b2​​⋯⋯⋯​a1​bn​a2​bn​⋮an​bn​​​，

首先求特征值0对应的特征向量，有：
$$(0E-A)X=0$$
即
$$AX=0$$
解这一方程组，由于$A$为秩一矩阵，可将$A$化为最简的形式：
[b1b2⋯bn00⋯0⋮⋮⋮00⋯0]\\begin{bmatrix}b_1 & b_2 & \\cdots & b_n\\\\0& 0 & \\cdots & 0 \\\\\\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\0 & 0& \\cdots & 0\\end{bmatrix} ​b1​0⋮0​b2​0⋮0​⋯⋯⋯​bn​0⋮0​​
则特征值0对应有$n-1$个线性无关的特征向量，分别为:
ξ1=[−b2b1,1,0,⋯ ,0]Tξ2=[−b3b1,0,1,⋯ ,0]T⋯ξn−1=[−bnb1,0,0,⋯ ,1]T\\xi_1=[-\\frac{b_2}{b_1},1,0,\\cdots,0]^T\\\\\\xi_2=[-\\frac{b_3}{b_1},0,1,\\cdots,0]^T\\\\\\cdots\\\\\\xi_{n-1}=[-\\frac{b_n}{b_1},0,0,\\cdots,1]^Tξ1​=[−b1​b2​​,1,0,⋯,0]Tξ2​=[−b1​b3​​,0,1,⋯,0]T⋯ξn−1​=[−b1​bn​​,0,0,⋯,1]T
则特征值0对应的特征向量为：k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−1ξn−1k_1\\xi_1+k_2\\xi_2+ \\cdots+k_{n-1}\\xi_{n-1}k1​ξ1​+k2​ξ2​+⋯+kn−1​ξn−1​,其中k1,k2,⋯ ,kn−1k_1,k_2, \\cdots,k_{n-1}k1​,k2​,⋯,kn−1​均为任意常数。

接下来再求特征值为$tr(A)$时对应的特征向量。由之前讲到的性质可以推出：
Aα=αβTα=tr(A)αA\\alpha=\\alpha \\beta^T\\alpha=tr(A)\\alphaAα=αβTα=tr(A)α
所以$tr(A)$特征值对应的特征向量就是$\alpha$

性质6：$tr(A)=0$时，矩阵不能相似对角化，当$tr(A)\ne 0$时，可以相似对角化。

首先先介绍几个线性代数中的名词和定理：

1. 矩阵可相似对角化的充要条件是$n$阶矩阵有$n$个线性无关的特征向量。
2. 特征根的代数重数：某一特征值对应特征方程的解向量的重数，即求解特征方程$|\lambda E-A|=0$重复特征值的重数
3. 特征根的几何重数：即同一个特征值对应线性无关的特征向量个数，计算方法为$n-r(\lambda E-A)$,而有$n$个线性无关的特征向量，则这些特征向量就可以最多可生成$n$维空间.可以以坐标轴为例理解，两条线最多可以生成一个二维平面，三条线最多可以组成一个立体三维空间。
4. 特征根的几何重数≤代数重数，其对应的就是在学习线性代数时一个结论：$n$重特征值最多有$n$个线性无关的特征向量。

当$tr(A)=0$时， 则特征值0对应的线性方程组$Ax=0$ 的线性无关解的个数等于$n-r(A)$,即$n-1$ ,$n$阶矩阵只有$n-1$个线性无关的特征向量，因此不可以对角化；

当$tr(A)\ne 0$时，上面说过有$n-1$重特征值0和一重特征值$tr(A)$.$n-1$重特征值0对应有$n-1$个线性无关的解，也就是$n-1$个线性无关的特征向量，而特征值$tr(A)$对应也有一个特征向量，而不同特征值对应的特征向量线性无关，所以矩阵有$n$个线性无关的特征向量，可对角化。

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