掌握MATLAB中线性矩阵不等式（LMI）求解的技巧和实践

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简介：线性矩阵不等式（LMI）是现代控制理论中的关键工具，广泛用于系统稳定性分析、控制器设计等地方。本文介绍如何利用MATLAB及其工具箱进行LMI问题的求解，包括使用 lmiroot 和 fmincon 等函数的具体操作步骤，以及如何分析求解结果。附带PDF文档提供MATLAB代码实例和详细求解过程。

1. LMI在控制理论中的应用

在现代控制理论中，线性矩阵不等式（LMI）已经成为一种强有力的工具，它在保证系统性能和设计鲁棒控制器方面发挥着重要作用。LMI提供了一种有效的数学框架，使研究者能够在理论上分析系统的稳定性，并在实际工程应用中解决优化问题。本章将从LMI的定义出发，探索其在控制理论中的基本概念，并深入讨论其在控制系统的稳定性分析、鲁棒控制设计以及控制系统的优化问题中的应用。

1.1 LMI的基本定义

LMI是关于矩阵变量的一组不等式，通常涉及线性矩阵函数。在控制系统中，LMI可以用来表达系统的稳定性和性能指标。通过适当的数学处理，许多控制问题可以转化为LMI问题，进而利用数值算法进行求解。

1.2 LMI在系统稳定性中的应用

利用LMI可以表达系统稳定的充分条件，例如，对于一个给定的线性时不变系统，可以利用LMI来验证系统矩阵的特征值是否全部位于复平面的左半部分，这是系统稳定的必要条件。

1.3 LMI在鲁棒控制设计中的应用

在设计鲁棒控制器时，LMI可以被用来寻找满足鲁棒稳定性条件的控制器增益。例如，在存在模型不确定性的系统中，可以通过求解一组LMI来设计出一个既能够保证系统稳定，又能够抵抗一定程度的不确定性的控制器。

接下来，我们将深入介绍如何利用MATLAB这一强大的工具来求解LMI问题，并以此为基础，进一步探讨其在控制系统设计中的应用。

2. MATLAB中求解LMI的方法

2.1 LMI求解的基础理论

2.1.1 LMI的数学定义及其几何意义

线性矩阵不等式（LMI）是控制理论与优化领域中的一个核心概念，它以数学不等式的形式来表达系统性能的要求。在数学上，LMI可以定义为：
[F(x) = F_0 + x_1 F_1 + x_2 F_2 + … + x_n F_n < 0]
其中，(F_0, F_1, …, F_n) 是给定的对称矩阵，(x = (x_1, x_2, …, x_n)) 是决策变量向量。

LMI的几何意义是指在一个由对称矩阵空间构成的多维空间中，找到满足所有给定矩阵不等式条件的决策变量，形成一个可行解集合，通常这个集合是一个凸多面体或者更一般的凸集。

2.1.2 LMI求解问题的转化与优化

为了求解LMI问题，常常将其转化为一个标准的凸优化问题。利用线性矩阵不等式理论，我们可以将控制系统设计问题转化为求解满足某些线性矩阵不等式约束的最优化问题。

例如，考虑一个简单的二次稳定性问题，我们可以将其转化为寻找一个对称正定矩阵(P)来最小化某个给定的线性函数，同时满足LMI约束：
[\\min {c^T x \\vert Ax + B < 0}]
其中，(c^T x)是目标函数，(Ax + B < 0)是LMI约束，而(x)是决策变量。通过使用凸优化算法，如内点法，可以有效地求解这种类型的问题。

2.2 MATLAB内置函数求解LMI

2.2.1 `lmivar` 和 `setlmis` 的使用与设置

MATLAB的LMI工具箱提供了一系列函数来处理LMI问题。 lmivar 函数用于定义LMI的结构变量，而 setlmis 函数用于初始化一个LMI系统对象。

% 定义一个LMI变量，类型为对称矩阵lmi_var = lmivar(1, struct(\'type\', \'s\'));% 初始化LMI系统对象lmis = setlmis(lmi_var);

在这段代码中， lmivar 的参数1指定了LMI的类型为对称矩阵， struct 是一个结构体，用于指定LMI的详细信息。 setlmis 则是根据这些定义来创建一个空的LMI系统对象。

2.2.2 `lmisys` 和 `feasp` 的求解过程解析

lmisys 函数用于列出LMI系统中的所有LMI，而 feasp 函数则用于求解这个系统。

% 定义一个LMI系统，包含一个或多个LMIlmi_system = lmisys(lmis);% 使用feasp函数求解LMI系统[lmi_solution, X] = feasp(lmi_system);

在执行 feasp 函数时，MATLAB将进行优化求解，最终返回一个解 lmi_solution ，其中 X 是一个矩阵，用于表示所有LMI中对称矩阵变量的值。

2.3 MATLAB工具箱的高级功能

2.3.1 Control System Toolbox中的LMI求解

MATLAB的Control System Toolbox提供了 lmiDesigner 工具，这是一个交互式的图形用户界面，允许用户以更直观的方式定义和求解LMI问题。

% 打开lmiDesigner工具lmiDesigner;

2.3.2 Robust Control Toolbox的LMI应用

Robust Control Toolbox是MATLAB中用于鲁棒控制设计的一个工具箱。它包含了用于设计鲁棒控制器的LMI求解函数，如 lmireduce ，这可以帮助用户减少系统的自由度，优化控制器设计。

% 使用lmireduce简化LMI系统reduced_sys = lmireduce(lmi_system);

在这里， reduced_sys 将是一个简化后的LMI系统，可能包含较少的决策变量，但仍然保持原问题的主要特征，从而方便后续的优化和分析。

3. `lmiroot` 函数的使用指南

3.1 `lmiroot` 函数基本介绍

3.1.1 函数的定义和功能

lmiroot 是MATLAB中用于求解线性矩阵不等式（LMI）的一类函数。它属于LMI工具箱的一部分，提供了一种方便的接口来定义和解决包含LMI约束的优化问题。 lmiroot 的核心功能是寻找满足一组LMI约束条件的解，这些解通常是控制系统的参数，以确保系统的稳定性或达到某种性能指标。

3.1.2 函数的输入输出参数解析

lmiroot 函数需要输入参数包括LMI系统对象、求解器参数以及任何与问题相关的额外数据。其输出参数通常包括LMIs的解以及是否成功找到解的信息。下面是 lmiroot 的基本调用格式：

[x, fval, exitflag, output, lmiinfo] = lmiroot(lmisys, x0, options, data);

这里：
- lmisys 是一个LMI系统对象，它描述了要解决的LMI问题。
- x0 是问题的初始猜测解。
- options 是一个设置求解器参数的结构体，用户可以调整这些参数来改变求解器的行为。
- data 是一个包含所有需要的额外数据的结构体。
- x 是找到的满足所有LMIs的解。
- fval 是目标函数的值（如果有的话）。
- exitflag 提供了关于求解过程的状态信息，比如是否成功找到解。
- output 包含了求解过程的附加信息，如迭代次数。
- lmiinfo 提供了关于LMI求解过程的详细信息。

3.2 `lmiroot` 的实践应用

3.2.1 简单LMI问题的求解实例

为了演示 lmiroot 函数的使用方法，我们先从一个简单的LMI问题开始。假设我们有一个如下形式的LMI问题：

minimize x1^2 + x2^2subject to x1 + x2 >= 1 x1^2 + 2*x2^2 = 0

我们可以使用 lmiroot 来找到满足上述条件的最优解。以下是使用 lmiroot 函数的MATLAB代码示例：

% 定义LMIssetlmis([]); % 初始化x1 = lmivar(1,[1 0]); % 第一个决策变量x1x2 = lmivar(1,[1 0]); % 第二个决策变量x2% 定义目标函数和约束L = [1; 1; 0]; % 定义LMI的线性部分M = [0 0; 0 0]; % 定义LMI的矩阵部分，初始化为零% 目标函数的系数为1obj = [1; 1; 0]; % 定义第一个LMI x1 + x2 >= 1setlmis([L, M; L, M], obj); % 定义第二个LMI x1^2 + 2*x2^2 <= 1% 定义非负约束setlmis([1, 0, 0; 0, 1, 0], obj); setlmis([0, 1, 0; 0, 0, 1], obj); % 求解LMI问题[x, fval, exitflag, output, lmiinfo] = lmiroot(lmisys);% 显示结果disp(\'解为:\');disp(x);disp(\'目标函数值为:\');disp(fval);

3.2.2 复杂系统稳定性的LMI分析

在处理更加复杂的问题，比如设计一个系统的控制器时，LMI方法提供了一个强大的分析和设计框架。控制器设计中常见的问题之一是如何确保闭环系统的稳定性。在这种情况下，我们可以使用 lmiroot 来找到满足特定稳定性要求的控制器参数。

以一个典型的鲁棒控制器设计问题为例，我们希望设计一个状态反馈控制器使得闭环系统稳定：

x_dot = Ax + Bu

其中 A 是系统的动态矩阵， B 是控制输入矩阵。我们希望找到一个状态反馈 u = Kx ，使得对于所有满足某些不确定性的 A ，闭环系统保持稳定。这可以通过求解如下LMI问题来实现：

minimize γsubject to A\'X + XA + γB\'XB < 0

其中 γ 是我们希望最小化的性能指标， X 是Lyapunov矩阵。使用 lmiroot 求解这个问题同样涉及到上述步骤，关键在于如何利用 lmiroot 的参数设置来精确地表达问题。

这种方法不仅适用于线性系统，而且可以推广到非线性系统以及考虑参数不确定性的系统中。通过 lmiroot 函数，控制工程师可以高效地解决复杂的控制问题，进行系统性能的评估和优化。

4. `fmincon` 函数的使用指南

在控制理论和优化问题中， fmincon 是一个非常实用的MATLAB函数，用于求解具有线性或非线性约束的非线性优化问题。当与线性矩阵不等式（LMI）结合时， fmincon 能够处理更为复杂的最优化问题，特别是在LMI约束下进行控制器设计时显示出强大的功能。

4.1 `fmincon` 函数的理论基础

4.1.1 函数的优化目标和约束条件

fmincon 函数可以处理的目标函数和约束条件类型非常广泛。目标函数可以是非线性函数，而约束条件可以是线性的也可以是非线性的。这使得它在处理具有复杂约束的最优化问题时，比其他只处理线性问题的函数更加灵活。

[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options)

fun : 目标函数。
x0 : 初始解。
A , b : 线性不等式约束，形式为 A*x ≤ b 。
Aeq , beq : 线性等式约束，形式为 Aeq*x = beq 。
lb , ub : 变量的下界和上界。
nonlcon : 非线性约束函数，形式为 [c, ceq] = nonlcon(x) 。
options : 优化选项设置。

4.1.2 求解算法的选择和调整

fmincon 提供了多种优化算法，比如内点法（’interior-point’）、序列二次规划法（’sqp’）等。选择合适的算法对于优化求解的效率和稳定性至关重要。

options = optimoptions(\'fmincon\',\'Algorithm\',\'interior-point\');

在使用 fmincon 时，用户可以通过设置 options 来调整算法的细节，如收敛容忍度、迭代次数上限、显示进度信息等。

4.2 `fmincon` 在LMI问题中的应用

4.2.1 将LMI转换为 `fmincon` 的优化问题

为了使用 fmincon 解决LMI问题，第一步是将LMI约束转换为标准优化问题的形式。LMI通常表示为 A(x) < 0 的形式，其中 A(x) 是依赖于设计变量 x 的矩阵。通过引入松弛变量，可以将LMI约束转换为等式和不等式约束。

4.2.2 实例演示：LMI约束下的控制器设计

下面我们将通过一个实例来演示如何使用 fmincon 来设计一个在LMI约束下的控制器。假设我们的目标是设计一个状态反馈控制器，使得闭环系统稳定，并满足特定的性能指标。

% 定义目标函数function J = objective(x) % x包含了控制器增益K和松弛变量 J = x(1)^2 + x(2)^2 + ...; % 控制器增益的某种性能指标end% 定义非线性约束function [c, ceq] = nonlcon(x) A = ...; % 依赖于x的矩阵 c = [A(1,1)+x(3), A(2,2)+x(4), ...]; % LMI转化为不等式约束 ceq = []; % 本例中暂无等式约束end% 初始猜测值x0 = [0, 0, ...];% 设置优化选项options = optimoptions(\'fmincon\',\'Algorithm\',\'interior-point\');% 执行优化[x_opt, fval] = fmincon(@objective, x0, [], [], [], [], [], [], @nonlcon, options);

在上述代码中， x_opt 将包含最优的控制器增益和松弛变量。通过这种方式，我们可以在满足LMI约束的情况下，找到最小化性能指标的目标函数值。

本章所展示的只是 fmincon 在LMI问题中应用的一个简单例子。在更复杂的情况下，可能需要处理多目标优化、动态系统稳定性分析和更复杂的约束条件。掌握 fmincon 的使用，将为解决这类问题提供极大的便利。

5. LMI求解的MATLAB代码示例

5.1 LMI问题的MATLAB代码设置

5.1.1 基础LMI问题的代码构建

在MATLAB中设置一个基础的线性矩阵不等式（LMI）问题，我们首先需要定义LMI的矩阵变量以及不等式约束条件。使用MATLAB的LMI工具箱，可以非常方便地进行这些操作。以下是一个简单的LMI问题设置示例：

% 定义LMI的数量，例如定义两个LMIlmi1 = [1, 2; 3, 4];lmi2 = [5, 6; 7, 8];% 设置LMI系统setlmis([]); % 初始化LMI系统% 假设我们有2个矩阵变量X和YX = lmivar(1, [1 0]); % 定义一个标量矩阵变量Y = lmivar(1, [2 0]); % 定义一个2x2矩阵变量% 定义第一个LMI lmi1 <= Xlmiterm([-1, 1, 1, X], lmi1); % -1 表示小于等于% 定义第二个LMI lmi2 <= Ylmiterm([-1, 2, 2, Y], lmi2); % 第一个参数是权重，后面分别是变量编号和矩阵% 求解LMI系统lmisys = getlmis; % 获取当前LMI系统的设置% 使用seminf函数求解LMI问题[tmin, Xopt, Yopt, lmisys] = feasp(lmisys);

上述代码首先定义了两个矩阵变量 X 和 Y ，接着分别定义了两个LMI条件，并使用 lmiterm 函数将这些条件添加到LMI系统中。最后，调用 feasp 函数求解这个LMI问题， tmin 是求解得到的最小值， Xopt 和 Yopt 是优化后的矩阵变量值。

5.1.2 LMI求解中的参数设置

在MATLAB的LMI求解中，参数设置对于获得有效的解至关重要。 feasp 函数允许用户通过设置权重和目标函数来影响求解过程。例如，您可以指定某些LMI为优先级较高，或者设置目标函数是最大化某个矩阵变量的迹等。

% 定义一个权重向量，决定各个LMI的目标优先级weights = [1, 2]; % 假设第二个LMI比第一个LMI更重要% 求解LMI系统，同时设置目标函数[tmin, Xopt, Yopt, lmisys] = feasp(lmisys, weights, [1, 0; 0, 0]);% 目标函数中[1, 0; 0, 0]表示最大化X的迹迹

在这个例子中， weights 向量被用来指定在优化过程中每个LMI的相对重要性。目标函数则是设置为最大化 X 的迹，这在控制理论中常常与系统的性能指标相关联。

5.2 LMI求解结果的展示

5.2.1 结果输出的解释

一旦通过 feasp 函数求得LMI的解，我们通常需要对结果进行解释以验证是否满足所有定义的LMI约束条件。MATLAB提供了多种函数来展示求解的详细信息。

% 显示求解结果摘要lmisys = showlmi(lmisys);

通过执行 showlmi 函数，可以打印出求解结果的摘要，包括每个LMI约束条件是否得到满足以及矩阵变量的详细值。

5.2.2 结果验证与后续分析

求解LMI后，需要对结果进行验证，确保找到的解确实满足所有LMI条件。此外，根据问题的需要，可能还需要进一步的分析，比如稳定性分析、性能指标计算等。

% 验证LMI是否满足条件if islmisafe(lmisys, Xopt, Yopt) disp(\'所有LMI条件得到满足。\');else disp(\'存在未满足的LMI条件。\');end% 计算性能指标，例如系统增益gain = trace(Xopt); % 假设我们要计算X的迹作为性能指标fprintf(\'系统的性能指标（X的迹）为：%f\\n\', gain);

在上面的代码中， islmisafe 函数用于验证给定的解是否满足LMI系统的所有条件，而 trace 函数用于计算矩阵的迹，作为评估系统性能的指标之一。

5.3 LMI求解的进阶应用

5.3.1 控制系统设计中的LMI应用

在控制系统设计中，LMI可以用于构造鲁棒控制器。通过设置适当的LMI条件，可以确保控制器不仅在理想状态下有效，而且在面对参数变化或外部扰动时也能保持稳定性和性能。

% 假设我们已经定义了一个控制系统模型sys = tf(1, [1, 2, 1]);% 定义一个LMI条件，用于确保系统鲁棒稳定P = lmivar(1, [size(sys,1) size(sys,2)]); % 定义一个块对角矩阵变量P% 添加LMI条件，例如使得A\'P + PA < 0lmiterm([-1, 1, 1, P], sys.A\', -eye(size(sys.A)), 1);% 求解带有控制器的LMI问题[tmin, Xopt, lmisys] = feasp(lmisys);% 提取控制器参数K = -lmi2amat(Xopt, P, sys.B); % 将LMI解转换为控制器参数

在以上代码中，我们首先定义了一个控制系统模型 sys ，然后设置了一个LMI条件以确保系统稳定。使用 feasp 求解后，我们通过 lmi2amat 函数将LMI解转换为控制器矩阵 K ，从而实现控制系统设计。

5.3.2 鲁棒性能优化的代码实现

在控制系统的优化过程中，目标函数的选择至关重要。通过定义一个目标函数，我们可以对系统性能进行优化，例如最小化系统的峰值响应。

% 设置目标函数，例如最小化系统增益weights = [0, 0; 0, 1]; % 第二个矩阵变量的权重更大[tmin, Xopt, Yopt, lmisys] = feasp(lmisys, weights, [0, 0; 0, 1]);% 提取优化后的系统增益gain_opt = trace(Yopt);fprintf(\'优化后的系统性能指标（Y的迹）为：%f\\n\', gain_opt);

在这个例子中，我们通过修改目标函数的权重，使得 feasp 函数在求解过程中优先考虑最小化 Y 的迹，从而实现系统性能的优化。

以上代码展示了如何在MATLAB中使用LMI工具箱来构建、求解和分析控制系统的LMI问题。这些方法在现代控制理论中具有广泛的应用，并可以用来解决诸多实际问题。通过精心设置问题和参数，我们可以实现对系统性能的精确控制和优化。

6. LMI求解结果的分析

在上一章节中，我们学习了如何使用MATLAB解决LMI问题，并通过一系列代码示例来直观展示求解过程。现在，让我们深入分析求解结果的意义，并探索如何解读这些结果以指导实际的控制系统设计和优化。

6.1 求解结果的解读与验证

6.1.1 解的可行性验证

LMI求解后得到的结果需要经过严格的可行性验证。这包括检查求解出的矩阵是否满足所有的LMI约束条件，并且这些解是否能确保系统的稳定性和性能指标。通常，这可以通过回代求解过程中的关键步骤来完成。例如，我们可以利用MATLAB提供的 feasp 函数来验证求解的可行性。以下是进行可行性验证的示例代码：

% 假设我们已经求解了LMI问题并得到了解矩阵X% 下面代码用于验证解的可行性options = [];lmisys = [A, B; C, D]; % 定义LMI系统，这里A、B、C、D为示例矩阵sol = feasp(lmisys, options);if sol == 1 disp(\'解是可行的。\');else disp(\'解是不可行的。\');end

6.1.2 系统性能指标的评估

在确认了解的可行性后，接下来是评估系统性能指标。这通常涉及对系统动态响应的模拟和分析，如阶跃响应、频率响应和鲁棒性分析等。我们可以通过MATLAB的控制系统工具箱，使用 step 、 bode 等函数进行评估，如下所示：

% 继续使用上面的解矩阵Xsys = ss(A, B, C, X); % 构建系统模型step(sys); % 绘制阶跃响应bode(sys); % 绘制Bode图进行频率响应分析

6.2 结果分析与控制系统设计

6.2.1 控制器设计的调整与优化

LMI求解结果提供了设计控制器的可行方向。我们可以根据LMI的解来调整和优化控制器参数，以改善系统性能。例如，对于状态反馈控制器，我们可能会调整状态增益K来达到期望的动态性能。

% 假设求解得到的反馈增益矩阵为KK = [k11, k12; k21, k22]; % 示例矩阵，实际应由LMI解得sys_cl = feedback(K*sys, 1); % 构造闭环系统step(sys_cl); % 模拟闭环系统的阶跃响应

6.2.2 LMI求解结果在控制系统设计中的应用实例

为了更好地展示LMI求解结果的实际应用，我们可以通过一个简化的系统模型来说明如何应用这些结果。例如，考虑一个简化的车辆悬挂系统的模型，我们可以使用LMI来设计一个控制器，以达到在不同路面条件下的最优悬挂性能。

% 设计问题描述：找到反馈增益K，使得闭环系统具有良好的阻尼性能% 定义悬挂系统的状态空间模型% 该模型是一个简化的二阶系统模型A = [0, 1; -k/m, -b/m];B = [0; 1/m];C = [1, 0];D = [0];% 这里k为弹簧刚度，m为质量，b为阻尼系数% 定义性能指标LMIP = lmivar(1, [size(A,1) 1]);lmis = [A\'*P + P*A, P*B; B\'*P, -1]; % 例子中构造的LMI% 求解LMI问题options = [];sol = feasp(lmis, options);% 假设求解得到的解为PP = [p11, p12; p21, p22]; % 示例矩阵，实际应由LMI解得% 计算控制器增益KK = lqr(A, B, eye(2), eye(2)); % 使用LQR方法计算反馈增益% 应用控制器并模拟系统响应% ...

以上步骤展示了如何使用LMI求解结果来设计一个简单但有效的控制器，并通过模拟验证其性能。

通过本章的分析，我们可以看到LMI求解结果不仅能够指导控制系统设计，还能通过具体的实例演示如何将理论应用于实际问题。这种分析与应用的结合，是将LMI方法成功运用到控制系统优化中的关键。