线性代数 | 矩阵运算

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如有内容异常，请看原文。

线性代数 – 矩阵基本计算（加减乘法）

二十五画生已于 2025-02-22 21:32:38 修改

一、矩阵的基本概念

矩阵本质上是一个数表，用 $A_{m \\times n}$ 表示，代表一个 $\\times n$ 的矩阵，有 $m$ 行 $n$ 列。

矩阵的应用场景广泛，例如用于表示关系等。

如下图就是一个 4 行 4 列的矩阵。

$\\boldsymbol{A} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\end{bmatrix}$

1、行矩阵与列矩阵

仅有一行的矩阵称为行矩阵

$\\boldsymbol{A} = \\left[ a_1, a_2, \\cdots, a_n \\right]$

仅有一列的矩阵称为列矩阵

$\\boldsymbol{A} = \\begin{bmatrix} a_1 \\\\ a_2 \\\\ \\vdots \\\\ a_n \\end{bmatrix}$

2、零矩阵

若矩阵中所有元素均为 0，则称其为零矩阵，记作 $0$

$\\begin{pmatrix} 0 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & 0 \\end{pmatrix}$

3、负矩阵

将某一矩阵的所有元素取相反数所得到的矩阵，称为该矩阵的负矩阵。

例如 $A$ 的负矩阵为 $- A$ 。

$\\boldsymbol{A} = \\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\end{bmatrix}$

$-\\boldsymbol{A} = \\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \\\\ -1 & -1 & 0 & -1 \\\\ -1 & 0 & 0 & 0 \\end{bmatrix}$

4、方阵

1）方阵的定义

行数与列数相等的矩阵称为方阵，通常也称为 $n$ 阶矩阵，记为 $A_{n \\times n}$ 或 $A_n$

例如下面这个矩阵，就是三行三列的矩阵。

$\\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\\\ a_2 & b_2 & c_2 \\\\ a_3 & b_3 & c_3 \\end{pmatrix}$

2）主对角线和次对角线

仅在方阵中存在对角线的概念。如图：

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5、单位阵

主对角线上的元素均为 1，其余元素均为 0 的方阵，称为单位矩阵，记作 $E$ 。

$\\left( \\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ \\end{matrix} \\right)$

6、只有一个数字的矩阵

仅含一个元素的矩阵也是矩阵，可视为特殊的矩阵。

例如： $[5]$

7、同型矩阵

若两个矩阵的行数和列数分别相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。

例如： $A_{2 \\times 3}$ 和 $B_{2 \\times 3}$ 就是同型矩阵。

若两个同型矩阵的对应元素相等，则称这两个矩阵相等。即矩阵相等的前提是它们为同型矩阵。

二、矩阵与行列式的区别

本质上，矩阵是一个数表，而行列式是一个数。
符号：矩阵通常用 $\\left ( \\right)$ 或 $[]$ 表示，而行列式用 $\\left| \\right|$ 表示。
形状上，矩阵不一定是方阵，但是行列式一定是方阵，即行数等于列数。

三、矩阵的运算

1、加法、减法

矩阵的加减运算为对应元素分别相加减（注意：仅同型矩阵可进行加减运算）。

$\\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{bmatrix}$

矩阵的加减法满足以下运算法则：

$A + B = B + A$

$(A + B + C) = A + (B + C)$

$A + (- A) = O$

$\\Leftrightarrow A = C - B$

2、数乘运算

数 $k$ 与矩阵相乘，结果为该数与矩阵中每个元素分别相乘所得到的矩阵。

$3\\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 3\\times1 & 3\\times2 & 3\\times3 \\\\ 3\\times1 & 3\\times0 & 3\\times(-1) \\\\ 3\\times0 & 3\\times1 & 3\\times1 \\end{pmatrix}$

矩阵数乘与行列式的区别：

矩阵提取公因子时，若矩阵中所有元素均有公因子，则公因子提取一次。
行列式提取公因子时，每一行（或每一列）可提取一次公因子，若所有元素均有公因子，则对于 $n$ 阶行列式，公因子需提取 $n$ 次。

矩阵数乘满足的运算规律：

$\\begin{align*} k(A+B) & =kA+kB \\\\ (k+m)A & =kA+mA \\\\ k(mA) & =kmA \\end{align*}$

四、矩阵乘法

1、矩阵的乘法

矩阵乘法的计算规则为：前一矩阵的第 $i$ 行与后一矩阵的第 $j$ 列对应元素相乘后求和，结果作为乘积矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

矩阵相乘的前提条件是：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

乘积矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

例如： $A_{2 \\times 3} \\times A_{3 \\times 2}$ 的结果矩阵就是 $\\times 2$ 的方阵。

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做两个例题练习：

$A_{99 \\times 55} \\times B_{55 \\times 200} = C_{99 \\times 200}$

$A_{s \\times h} \\times B_{h \\times m} = C_{s \\times m}$

2、矩阵乘法不满足的三条规律

$\\neq BA$ ，即矩阵乘法一般不满足交换律。

例如： $A_{5 \\times 2}$ 与 $B_{2 \\times 3}$ 可以相乘，满足前一矩阵列数与后一矩阵行数相等；但 $B_{2 \\times 3}$ 与 $A_{5 \\times 2}$ 不能相乘，因为 $\\neq 5$ ，不满足相乘条件。

矩阵乘法一般不满足交换律，但存在特殊情况，若 $A B = B A$ ，则称 $A$ 与 $B$ 可交换。
若 $A B = O$ 且 $\\neq O$ ，则不能推出 $B = O$ 。

在数字运算中，若 $x y = 0$ ，可推出 $x = 0$ 或 $y = 0$ ；但在矩阵运算中该结论不成立。
若 $A B = A C$ 且 $\\neq O$ ，则不能推出 $B = C$ 。

同样，在数字运算中，若 $3 x = 3 y$ ，可推出 $x = y$ ；但在矩阵运算中该结论不成立。

总结 矩阵乘法不满足的三条规律：

(1) $\\neq BA$ ；
(2) 若 $A B = A C$ 且 $\\neq O$ ，不能推出 $B = C$ ；
(3) 若 $A B = O$ ，不能推出 $A = O$ 或 $B = O$ 。

任何矩阵与零矩阵相乘的结果均为零矩阵，由于矩阵乘法的特殊性，需注意零矩阵的形状。

3、矩阵乘法的运算规律

结合律： $(A B) C = A (BC)$
分配律： $(A + B) C = A C + BC$ ， $C (A + B) = C A + CB$ （注意：由于矩阵乘法的特殊性，矩阵的左右位置具有严格意义，不可随意调换，即矩阵乘法不满足交换律）。
$k (A B) = (k A) B = A (k B)$ （对于常数 $k$ ，其在乘法运算中的位置可任意放置）。

（注意：对于上述三条运算规律，需保持矩阵乘法的先后顺序，左乘和右乘的位置不可改变。）

4、矩阵的可交换

若 $A B = B A$ ，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 可交换。当题目告知 $A$ 与 $B$ 可交换时，即表明着 $A B = B A$ 。

相等矩阵的定义：同型矩阵的对应元素相等。

矩阵可交换的前提是它们为同型方阵。

否则，例如：

$A_{2 \\times 3} \\times B_{3 \\times 2} = C_{2 \\times 2}$ （ $A B$ 的结果矩阵为 $\\times 2$ 矩阵）；
$B_{3 \\times 2} \\times A_{2 \\times 3} = C_{3 \\times 3}$ （ $B A$ 的结果矩阵为 $\\times 3$ 矩阵）。

显然，二者结果不相等。

因此，若非同型方阵，矩阵无法交换，首先结果矩阵的形状就不相同。

五、矩阵的幂运算

注意：矩阵的幂运算仅适用于方阵，以保证运算可连续进行。

矩阵的幂运算定义为： $A^k = AA\\cdots A$ （共 $k$ 个 $A$ 相乘）。

其中 $A^0 = E$ 。

性质 1： $A^{k_1} A^{k_2} = A^{k_1 + k_2}$

性质 2： $A^{k_1})^{k_2} = A^{k_1k_2}$

（再次注意：矩阵的乘法不满足交换律。）

$(AB)^k \\neq A^kB^k$

例如： $(AB)^2 \\neq A^2B^2$

原因如下： $AB)^2 = ABAB$ ，而 $A^2B^2 = AABB$ 。

注意，矩阵乘法不满足交换律，因此上述两式显然不相等，除非 $A B$ 可交换，即 $A B = B A$ 。

同时：

$B)^2 \\neq A^2 + 2AB + B^2$

证明：

$A + B)(A + B) = (A + B) A + (A + B) B = A^2 + BA + AB + B^2$

显然，

$\\neq BA + AB$

同理：

$B)^2 \\neq A^2 - 2AB + B^2$

证明：

$A - B)(A - B) = (A - B) A - (A - B) B = A^2 - BA - AB + B^2$

显然，

$\\neq -BA - AB$

需始终注意：矩阵乘法需严格关注 $A B$ 的先后顺序，位置的变化会影响运算结果（因为矩阵乘法是前一矩阵的行与后一矩阵的列相乘）。

但是，对于

$A + E)^2 = A^2 + AE + EA + E^2$
和
$A - E)^2 = A^2 - AE - EA + E^2$ ，

由于任何矩阵与单位阵 $E$ 相乘的结果等于其本身，且单位阵左乘与右乘的结果相同，

即 $A E = E A$ ， $BE = EB$ ，

因此：

$A + E)^2 = A^2 + 2AE + E^2$

$A - E)^2 = A^2 - 2AE + E^2$

是成立的。

六、简单的矩阵运算，运用所学知识点

例 1

给定两个方程组：

$x_1 = y_1 - y_2$ ， $y_1 = z_1 + z_2 + z_3$ ；
$x_2 = y_1 + y_2$ ， $y_2 = z_1 - 2z_2 + z_3$ 。

要求用 $z_1, z_2, z_3$ 表示 $x_1$ 和 $x_2$ 。

矩阵与线性变换（变量代换）

通过变量代换（ $x$ 用 $y$ 表示、 $y$ 用 $z$ 表示），将 $x$ 关于 $y$ 的矩阵变换与 $y$ 关于 $z$ 的矩阵变换相乘，得到 $x$ 关于 $z$ 的矩阵变换，还给出了另一组（ $x_1,x_2$ ）关于 $z$ 的矩阵变换，涉及矩阵乘法在线性替换中的应用。

$x$ 与 $y$ 、 $y$ 与 $z$ 的矩阵表示

$\\begin{cases} \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} y_1 \\\\ y_2 \\end{pmatrix} \\\\ \\\\ \\begin{pmatrix} y_1 \\\\ y_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} z_1 \\\\ z_2 \\\\ z_3 \\end{pmatrix} \\end{cases}$

$x$ 关于 $z$ 的矩阵变换

$\\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} z_1 \\\\ z_2 \\\\ z_3 \\end{pmatrix}$

化简 $x_1,x_2$ 关于 $z$ 的矩阵变换

$\\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\\\ 2 & -1 & 2 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} z_1 \\\\ z_2 \\\\ z_3 \\end{pmatrix}$

例 2

已知矩阵 $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix}$ （ $3 \times 1$ 矩阵），矩阵 $\\begin{pmatrix} 1&2&3 \\end{pmatrix}$ （ $1 \times 3$ 矩阵）。

求 $A B$ 、 $B A$ 、 $AB)^2$ 、 $AB)^n$

矩阵乘法 $A B$ ：
$\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 1&2&3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1×1 & 1×2 & 1×3 \\\\ 1×1 & 1×2 & 1×3 \\\\ 1×1 & 1×2 & 1×3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 \\end{pmatrix}$ （结果为 $3 \times 3$ 矩阵）
矩阵乘法 $B A$ ：
$\\begin{pmatrix} 1&2&3 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix} = 1×1 + 2×1 + 3×1 = 6$ （结果为标量）
幂运算 $AB)^2$ ：
由结合律， $)(AB)^2 = AB \\cdot AB = A(BA)B = 6AB = 6\\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 \\end{pmatrix}$

$B A$ 是标量（常数），矩阵乘法中，标量的幂次可单独提取，且不影响 $A$ 与 $B$ 的“连接”（即 $\\cdot B$ 始终是 $A B$ ）。
幂运算 $AB)^n$ ：
同理， $)(AB)^n = 6^{n - 1}AB = 6^{n - 1}\\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 \\end{pmatrix}$

【线性代数】向量的乘法运算

北境の守卫于 2018-06-29 17:30:45 发布

为明晰向量乘法运算的相关概念，以下对其进行梳理。

0. 综述

常用的向量乘法运算包括：

$\\boldsymbol {a} \\cdot \\boldsymbol {b} = \\|\\boldsymbol {a}\\| \\|\\boldsymbol {b}\\| \\cos\\theta$ ，称为向量的内积，也称为数量积或点积。
$\\boldsymbol {a} \\times \\boldsymbol {b} = \\|\\boldsymbol {a}\\| \\|\\boldsymbol {b}\\| \\sin\\theta$ ，称为向量的外积，也称为向量积或叉积。
$[\\boldsymbol {a} \\boldsymbol {b} \\boldsymbol {c}] = (\\boldsymbol {a} \\times \\boldsymbol {b}) \\cdot \\boldsymbol {c}$ ，称为向量的混合积。

1. 内积

1.1 定义

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1.2 向量内积性质

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注意，向量内积不满足结合律，即一般情况下 $(\\boldsymbol {a} \\cdot \\boldsymbol {b}) \\cdot \\boldsymbol {c} \\neq \\boldsymbol {a} \\cdot (\\boldsymbol {b} \\cdot \\boldsymbol {c})$ ，这是因为向量内积的结果为标量。

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1.3 向量内积的物理意义

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向量内积的物理意义是力对物体做功，即力沿位移方向所做的功。

1.4 向量内积的用途

1.4.1 求两个非零向量的夹角

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1.4.2 判断两个非零向量是否垂直

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通过对应坐标相乘后求和，若结果为 0，则两向量垂直；否则，不垂直。

2. 外积

2.1 向量外积的定义

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向量外积的结果是垂直于原向量所确定平面的向量。

通过坐标直接计算外积较为复杂，将其写成行列式形式再展开，更便于记忆。

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2.2 向量外积的性质

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2.3 向量外积的几何意义

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其模长的一半即为以 $\\boldsymbol {a}$ ， $\\boldsymbol {b}$ 为邻边的三角形的面积。

2.4 向量外积的用途

2.4.1 求与三角形面积相关的问题

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3. 混合积

3.1 向量混合积的定义

三个向量的混合积是指先对前两个向量做外积，再将结果与第三个向量做内积，最终得到一个标量，即 $[\\boldsymbol {a} \\boldsymbol {b} \\boldsymbol {c}] = (\\boldsymbol {a} \\times \\boldsymbol {b}) \\cdot \\boldsymbol {c}$ 。

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混合积的坐标表达式具有规整优美的形式。

3.2 混合积的性质

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3.3 混合积的几何意义

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3.4 混合积的用途

3.4.1 求与四面体体积相关的问题

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3.4.2 判断三个向量是否共面

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内容主要来自以下两个文档：

向量的乘法运算，长于举例丰富，形象生动
向量的乘法，长于公式性质列举完整

线性代数：矩阵、矩阵乘法与广义矩阵乘法

posted @ 2023-09-17 18:54 RainPPR

一、引言

矩阵是线性代数中的核心概念，是处理线性关系的重要工具。其通常用圆括号或方括号表示，形式如下：

$\\begin {pmatrix} a_{11} & \\cdots & a_{1n} \\\\ \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_{m1} & \\cdots & a_{mn} \\end {pmatrix}$

矩阵具有明确的行数和列数，一个具有 $m$ 行 $n$ 列的矩阵称为 $\\times n$ 矩阵（读作 “ $m$ 乘 $n$ 矩阵”）。

二、矩阵与线性方程组的表示

线性方程组可以通过矩阵乘法的形式简洁表示。例如，对于线性方程组：

$\\begin {cases} 7x_1 + 8x_2 + 9x_3 = 13 \\\\ 4x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 12 \\\\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 11 \\end {cases}$

可将其系数、未知量和常数项分别提取为矩阵和向量，写成矩阵乘法形式：

$\\begin {pmatrix} 7 & 8 & 9 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 1 & 2 & 3 \\end {pmatrix} \\begin {pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end {pmatrix} = \\begin {pmatrix} 13 \\\\ 12 \\\\ 11 \\end {pmatrix}$

上述形式可简记为 $A x = b$ ，其中：

$A$ 称为系数矩阵，即 $\\begin {pmatrix} 7 & 8 & 9 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 1 & 2 & 3 \\end {pmatrix}$
$x$ 称为未知量向量，即 $\\begin {pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end {pmatrix}$
$b$ 称为常数项向量，即 $\\begin {pmatrix} 13 \\\\ 12 \\\\ 11 \\end {pmatrix}$

其本质是：系数矩阵 $A$ 左乘未知量列向量 $x$ ，结果等于常数项列向量 $b$ 。

三、矩阵的基本运算

（一）线性运算（加减法与数乘）

矩阵的线性运算包括加减法和数乘，运算规则均为逐个元素操作。

加减法：

只有同型矩阵（即行数和列数均相同的矩阵）才能进行加减运算，运算结果为对应元素分别相加或相减后形成的新矩阵。
例如：
$\\begin {pmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\end {pmatrix} + \\begin {pmatrix} 5 & 6 \\\\ 7 & 8 \\end {pmatrix} = \\begin {pmatrix} 1+5 & 2+6 \\\\ 3+7 & 4+8 \\end {pmatrix} = \\begin {pmatrix} 6 & 8 \\\\ 10 & 12 \\end {pmatrix}$
数乘：
一个数与矩阵相乘，结果为该数与矩阵中每个元素分别相乘后形成的新矩阵。
例如：
$\\times \\begin {pmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\end {pmatrix} = \\begin {pmatrix} 3 \\times 1 & 3 \\times 2 \\\\ 3 \\times 3 & 3 \\times 4 \\end {pmatrix} = \\begin {pmatrix} 3 & 6 \\\\ 9 & 12 \\end {pmatrix}$

（二）转置

矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换，转置后的矩阵记为 $A^\\text {T}$ （在矩阵右上角标注 “ $\\text {T}$ ”）。

例如，一个 $\\times 3$ 矩阵的转置为 $\\times 2$ 矩阵：
$\\begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 4 & 5 \\end {pmatrix}^\\text {T} = \\begin {pmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \\\\ 3 & 5 \\end {pmatrix}$

（三）向量内积

两个维数相同的向量（通常为行向量或列向量）的内积，定义为对应元素乘积的和。

例如，两个三维行向量的内积为：

$\\begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\end {pmatrix} \\times \\begin {pmatrix} 4 & 5 & 6 \\end {pmatrix} = 1 \\times 4 + 2 \\times 5 + 3 \\times 6 = 32$

四、矩阵乘法

（一）朴素矩阵乘法

运算前提：
设矩阵 $A$ 为 $\\times m$ 矩阵，矩阵 $B$ 为 $\\times r$ 矩阵（即前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数），则两矩阵可相乘，乘积记为 $\\times B$ 。
元素定义：
乘积矩阵 $C$ 为 $\\times r$ 矩阵，其第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $C_{i,j}$ 等于矩阵 $A$ 的第 $i$ 行向量与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列向量的内积，即：
$C_{i,j} = \\sum_{k=1}^m A_{i,k} B_{k,j}$

该规则可概括为 “左行右列”：左矩阵的行与右矩阵的列对应计算。
示例：
矩阵与向量的乘法是矩阵乘法的特殊情况（向量可视为单列矩阵）：

$\\begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\end {pmatrix} \\begin {pmatrix} 3 \\\\ 6 \\\\ 9 \\end {pmatrix} = \\begin {pmatrix} 1 \\times 3 + 2 \\times 6 + 3 \\times 9 \\\\ 4 \\times 3 + 5 \\times 6 + 6 \\times 9 \\end {pmatrix} = \\begin {pmatrix} 42 \\\\ 96 \\end {pmatrix}$

（二）单位矩阵

单位矩阵是一类特殊的方阵（行数等于列数），记为 $I$ 。其特点是：主对角线（从左上到右下）元素均为 1，其余元素均为 0。

单位矩阵的核心性质是：对于任意矩阵 $A$ ，若 $I$ 与 $A$ 可乘，则 $I A = A$ 且 $A I = A$ （类似于数 “1” 在乘法中的作用）。

例如：
$\\begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 5 & 6 & 7 \\\\ 7 & 8 & 9 & 0 \\end {pmatrix} \\begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end {pmatrix} = \\begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 4 & 5 & 6 & 7 \\\\ 7 & 8 & 9 & 0 \\end {pmatrix}$

（三）广义矩阵乘法

朴素矩阵乘法可推广为更一般的形式，称为广义矩阵乘法。

对于 $\\times m$ 矩阵 $A$ 和 $\\times r$ 矩阵 $B$ ，广义矩阵乘法定义为：

$C_{ij} = A \\times B = \\bigoplus_{k=1}^m (A_{ik} \\otimes B_{kj})$

其中， $\\otimes$ 和 $\\oplus$ 是两种运算（称为 “乘法” 和 “加法” 的推广），该形式称为 $(\\otimes, \\oplus)$ 型矩阵乘法。

结合律条件：
广义矩阵乘法满足结合律的前提是：

$\\oplus$ 运算满足交换律；
$\\otimes$ 运算满足结合律和交换律；
$\\otimes$ 对 $\\oplus$ 满足分配律，即 $\\oplus b) \\otimes c = (a \\otimes c) \\oplus (b \\otimes c)$ 。

常见形式：
实际应用中常见的广义矩阵乘法包括 $(\\pm, \\max)$ 、 $(\\pm, \\min)$ 、 $(\\land, \\lor)$ （其中 $\\land$ 为逻辑与， $\\lor$ 为逻辑或）等。

五、矩阵乘法的性质与应用

（一）基本性质

结合律：矩阵乘法满足结合律，即 $(A B) C = A (BC)$ （其中 $A, B, C$ 满足可乘条件）。
交换律：矩阵乘法不满足一般交换律，即通常 $\\neq BA$ 。
对加法的分配律：

$(A + B) C = A C + BC$ ；
$C (A + B) = C A + CB$ 。

对数乘的结合律： $k (A B) = (k A) B = A (k B)$ （其中 $k$ 为常数）。

（二）应用

快速幂优化：利用矩阵乘法的结合律，可采用快速幂思想高效计算矩阵的高次幂（如 $A^k$ ）。
线性递推求解：线性递推关系可转化为矩阵乘法形式，进而通过矩阵快速幂求解递推数列的第 $n$ 项。

六、矩阵乘法的代码实现

以下是基于 C++ 的矩阵乘法及快速幂实现示例：

const int N = 110;// 矩阵的最大大小const int MOD = 1e9 + 7;// 取模 struct matrix{ int n, m, a[N][N]; // 初始矩阵 matrix() { memset(a, 0, sizeof a); } matrix(int _n, int _m) { n = _n, m = _m, memset(a, 0, sizeof a); } // 单位矩阵 matrix(int _n) { n = m = _n; for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i][i] = 1; } // 定义矩阵 matrix(int _n, int _m, const int t[N][N]) { n = _n, m = _m; for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= m; ++j) a[i][j] = t[i][j]; } // 矩阵乘法 matrix operator*(const matrix &b) const { matrix res; res.n = n, res.m = b.m; for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= b.m; ++j) for (int k = 1; k <= m; ++k)  res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * b.a[k][j] % MOD) % MOD; return res; }}; // 矩阵快速幂matrix pow(const int &n, matrix a, int k){ matrix res(n); while (k) { if (k & 1) res = res * a; k >>= 1, a = a * a; } return res;}

七、矩阵乘法的优化

（一）循环置换（缓存优化）

朴素矩阵乘法的循环顺序通常为 $i, j, k$ ，但调整为 $i, k, j$ 可显著提升效率。原因是该顺序能使矩阵元素的访问更连续，充分利用计算机缓存，减少内存访问开销。

（二）稀疏矩阵优化

对于稀疏矩阵（大部分元素为 0），可通过特判 0 元素直接跳过计算，减少无效运算。但该方法对稠密矩阵（元素多为非 0）无效。

via：

线性代数 – 矩阵基本计算（加减乘法）_矩阵运算 - CSDN 博客
https://blog.csdn.net/qq_51216031/article/details/134521526
【线性代数】向量的乘法运算_向量 a・b 与 axb 公式 - CSDN 博客
https://blog.csdn.net/baishuo8/article/details/80858692
- 向量的乘法运算 - 长于举例丰富，形象生动
  https://wenku.baidu.com/view/0587a076a417866fb84a8eab.html
- 向量的乘法 - 长于公式性质列举完整
  https://wenku.baidu.com/view/7bd3374d571252d380eb6294dd88d0d233d43c33.html
线性代数 —— 矩阵、矩阵乘法、广义矩阵乘法学习笔记 - RainPPR - 博客园
https://www.cnblogs.com/RainPPR/p/matrix-multiplication.html
- [1] 矩阵左乘和右乘的区别_高三网
  http://www.gaosan.com/gaokao/414210.html
- [2] 矩阵 - OI Wiki
  https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/matrix/
- [3] Matrix Multiplication_
  http://matrixmultiplication.xyz/
Matrix Multiplication
https://rainppr.dns-dynamic.net/matrixmultiplication/

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线性代数 | 矩阵运算

线性代数 – 矩阵基本计算（加减乘法）

一、矩阵的基本概念

1、行矩阵与列矩阵

2、零矩阵

3、负矩阵

4、方阵

5、单位阵

6、只有一个数字的矩阵

7、同型矩阵

二、矩阵与行列式的区别

三、矩阵的运算

1、加法、减法

2、数乘运算

四、矩阵乘法

1、矩阵的乘法

2、矩阵乘法不满足的三条规律

3、矩阵乘法的运算规律

4、矩阵的可交换

五、矩阵的幂运算

六、简单的矩阵运算，运用所学知识点

例 1

例 2

【线性代数】向量的乘法运算

0. 综述

1. 内积

1.1 定义

1.2 向量内积性质

1.3 向量内积的物理意义

1.4 向量内积的用途

1.4.1 求两个非零向量的夹角

1.4.2 判断两个非零向量是否垂直

2. 外积

2.1 向量外积的定义

2.2 向量外积的性质

2.3 向量外积的几何意义

2.4 向量外积的用途

2.4.1 求与三角形面积相关的问题

3. 混合积

3.1 向量混合积的定义

3.2 混合积的性质

3.3 混合积的几何意义

3.4 混合积的用途

3.4.1 求与四面体体积相关的问题

3.4.2 判断三个向量是否共面

线性代数：矩阵、矩阵乘法与广义矩阵乘法

一、引言

二、矩阵与线性方程组的表示

三、矩阵的基本运算

（一）线性运算（加减法与数乘）

（二）转置

（三）向量内积

四、矩阵乘法

（一）朴素矩阵乘法

（二）单位矩阵

（三）广义矩阵乘法

五、矩阵乘法的性质与应用

（一）基本性质

（二）应用

六、矩阵乘法的代码实现

七、矩阵乘法的优化

（一）循环置换（缓存优化）

（二）稀疏矩阵优化

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