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矩阵的极分解

网友: 技术文档 2025-07-26 20:58:19

        矩阵的极分解（Polar Decomposition）是将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）和一个半正定矩阵的乘积。极分解类似于复数的极坐标表示（z = r e^{i\\theta} ），其中半正定矩阵对应“模长”，酉矩阵对应“相位”。

1. 极分解的前提条件

        极分解适用于任意方阵或长方矩阵。对于 A \\in \\mathbb{C}^{m \\times n} （或 \\mathbb{R}^{m \\times n}），极分解总是存在。特别地，如果 A 是可逆的，则极分解是唯一的。

2. 极分解的两种形式

        极分解有两种等价形式：

(1) 右极分解

        A = UP

其中：

        U 是酉矩阵（U^* U = I），若 A 是实矩阵，则 U 是正交矩阵（U^T U = I）

        P 是半正定矩阵（P = \\sqrt{A^* A} ）

(2) 左极分解

        A = P\' U\'

其中：

        U\' 是酉矩阵（可能与 U 不同）。

        P\' 是半正定矩阵（ P\' = \\sqrt{A A^*} ）。

注：

        如果 A 是方阵且可逆，则 U 和 U\' 相同，P 和 P\' 不同；

        如果 A 是正规矩阵（A A^* = A^* A ），则 P = P\' ，即左右极分解一致。

3. 极分解的计算方法

(1) 计算右极分解 A = UP 

计算 A^* A （即 A^H A 或 A^TA）。

对 A^* A 进行谱分解（特征分解）：

        A^* A = V \\Sigma V^*

其中 \\Sigma 是对角矩阵，包含 A^* A 的特征值（非负）。

计算 P：

        P = \\sqrt{A^* A} = V \\sqrt{\\Sigma} V^*
 
（\\sqrt{\\Sigma} 是对角矩阵，每个元素取算术平方根）。

计算 U：

        U = A P^{-1}
（如果 A 不可逆，则 U 可以通过其他方式构造，如 SVD）。

(2) 计算左极分解 A = P\' U\' 

 
计算 A A^* 

对A A^* 进行谱分解：

        A A^* = W \\Sigma\' W^*

计算 P\' ：

        P\' = \\sqrt{A A^*} = W \\sqrt{\\Sigma\'} W^*

计算 U\' ：

        U\' = P\'^{-1}A

4. 极分解的证明

证明右极分解 A = UP 

设 A \\in \\mathbb{C}^{m \\times n} ，计算 A^* A ，这是一个半正定矩阵（因为 x^* A^* A x = \\| A x \\|^2 \\geq 0 ）。

由于 A^* A 是半正定的，它可以被谱分解：

        A^* A = V \\Sigma V^*

其中 \\Sigma 是非负对角矩阵，V 是酉矩阵。

定义 P = \\sqrt{A^* A} = V \\sqrt{\\Sigma} V^* ，显然 P 是半正定的。

构造 U = A P^{-1}  （如果 A 不可逆，P 可能有零特征值，此时 U 在零空间可以任意定义）。

验证 U 是酉矩阵：

        U^* U = (A P^{-1})^* (A P^{-1}) = P^{-1} A^* A P^{-1} = P^{-1} P^2 P^{-1} = I

因此 U 是酉矩阵，且 A = UP。

5. 极分解与 SVD 的关系

极分解和奇异值分解（SVD）密切相关：

设 A = U \\Sigma V^*  是 A 的 SVD，则：

右极分解：

        A = (U V^*) (V \\Sigma V^*) = UP

其中 U V^* 是酉矩阵，P = V \\Sigma V^* 是半正定的。

左极分解：

        A = (U \\Sigma U^*) (U V^*) = P\' U\'
其中 P\' = U \\Sigma U^*  ，U\' = U V^* 

 

6. 极分解的应用

        几何变换、优化、力学、计算机图形学等。极分解是矩阵分析中的重要工具，广泛应用于数学、物理和工程领域，参考：

矩阵的几何解释，极分解将线性变换分解为旋转/反射（酉部分）和拉伸（半正定部分）。

优化问题，在矩阵优化中，极分解可用于约束优化（如正交 Procrustes 问题）。

力学，在连续介质力学中，极分解用于描述变形梯度张量（F = RU ，其中 R 是旋转，U 是拉伸）。

计算机图形学，用于插值旋转和缩放变换。
 

7. 具体计算示例

例 1：实矩阵的极分解

设：

        A = \\begin{bmatrix} 1 & -1 \\\\ 1 & 1 \\end{bmatrix}

计算右极分解 A = UP：

计算A^T A ：

        A^T A = \\begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 & -1 \\\\ 1 & 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \\end{bmatrix}

计算 P = \\sqrt{A^T A} ：

        P = \\begin{bmatrix} \\sqrt{2} & 0 \\\\ 0 & \\sqrt{2} \\end{bmatrix}

计算 U = A P^{-1}  ：

        U = \\begin{bmatrix} 1 & -1 \\\\ 1 & 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} & 0 \\\\ 0 & \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} & -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} & \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{bmatrix}

这是一个旋转矩阵（正交矩阵）。

最终极分解：

        A = UP = \\begin{bmatrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} & -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} & \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\sqrt{2} & 0 \\\\ 0 & \\sqrt{2} \\end{bmatrix}

例 2：复矩阵的极分解

设：

        A = \\begin{bmatrix} 1 & i \\\\ -i & 1 \\end{bmatrix}

计算右极分解 A = UP ：

计算A^* A：

        A^* A = \\begin{bmatrix} 1 & i \\\\ -i & 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 & -i \\\\ i & 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \\end{bmatrix}

计算 P = \\sqrt{A^* A}  ：

        P = \\begin{bmatrix} \\sqrt{2} & 0 \\\\ 0 & \\sqrt{2} \\end{bmatrix}

计算 U = A P^{-1} ：

        U = \\begin{bmatrix} 1 & i \\\\ -i & 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} & 0 \\\\ 0 & \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} & \\frac{i}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{-i}{\\sqrt{2}} & \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{bmatrix}

验证 U 是酉矩阵：

        U^* U = I

最终极分解：

        A = UP = \\begin{bmatrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} & \\frac{i}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{-i}{\\sqrt{2}} & \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\sqrt{2} & 0 \\\\ 0 & \\sqrt{2} \\end{bmatrix}

8. 小结一下

    极分解将矩阵分解为酉矩阵和半正定矩阵的乘积，类似于复数的极坐标表示。

        右极分解：A = UP ，其中 P = \\sqrt{A^* A}  

        左极分解：A = P\' U\' ，其中 P\' = \\sqrt{A A^*}  

计算方法：通常通过 A^* A 或 A A^*  的谱分解计算。
 

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