【高等数学】第五章 定积分——第四节 反常积分-CSDN博客

上一节：【高等数学】第五章 定积分——第三节 定积分的换元法和分部积分法
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• 1. 无穷限的反常积分
• 2. 无界函数的反常积分

1. 无穷限的反常积分

• 定义
  设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty )$上连续
  任取$t>a$，作定积分 ∫ a t f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{a}^{t} f(x) \\mathrm{d}x ∫at​f(x)dx，极限
  lim ⁡ t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x \\lim_{t \\to +\\infty} \\int_{a}^{t} f(x) \\mathrm{d}x t→+∞lim​∫at​f(x)dx
  称为函数$f(x)$在无穷区间$[a,+\infty )$上的反常积分，记为 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x ∫a+∞​f(x)dx，即
  ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim ⁡ t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x \\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x = \\lim_{t \\to +\\infty} \\int_{a}^{t} f(x) \\mathrm{d}x ∫a+∞​f(x)dx=t→+∞lim​∫at​f(x)dx
• 敛散性
  设函数$f(x)$在区间$[a,+\infty )$上连续如果反常积分对应的极限存在
  那么称反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x ∫a+∞​f(x)dx收敛，并称此极限为该反常积分的值
  如果反常积分对应的极限不存在
  那么称反常积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x ∫a+∞​f(x)dx发散
  根据微积分基本定理，反常积分的敛散性取决于原函数在无穷限的极限敛散情况
• 类似地可以定义 ∫ − ∞ b f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{-\\infty}^{b} f(x) \\mathrm{d}x ∫−∞b​f(x)dx、 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x ∫−∞+∞​f(x)dx，这些反常积分统称为无穷限的反常积分
• 反常积分 ∫ a + ∞ d x x p \\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty} \\frac{\\mathrm{d}x}{x^p} ∫a+∞​xpdx​ ($a>0,a\le 0$有瑕点)，当$p>1$时收敛，当$p\le 1$时发散.
  

  当$p=1$时， ∫ a + ∞ d x x = [ ln ⁡ ∣ x ∣ ] a + ∞ = + ∞ \\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty} \\frac{\\mathrm{d}x}{x}=\\left[\\ln |x|\\right]_a^{+\\infty}=+\\infty ∫a+∞​xdx​=[ln∣x∣]a+∞​=+∞
  当$p\ne 1$时， ∫ a + ∞ d x x p = [ x 1 − p 1 − p ] a + ∞ = { + ∞ , p 1 \\displaystyle\\int_{a}^{+\\infty} \\frac{\\mathrm{d}x}{x^p}=\\left[\\frac{x^{1-p}}{1-p}\\right]_a^{+\\infty}=\\begin{cases}+\\infty,&p1\\end{cases} ∫a+∞​xpdx​=[1−px1−p​]a+∞​=⎩ ⎨ ⎧​+∞,p−1a1−p​,​p<1p>1​

2. 无界函数的反常积分

• 瑕点与瑕积分
  如果函数$f(x)$在点$a$的任一邻域内都无界
  那么点$a$称为函数$f(x)$的瑕点（也称为无界间断点）
  无界函数的反常积分又称为瑕积分
• 定义
  设函数$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，点$a$为$f(x)$的瑕点.
  任取$t>a$，作定积分 ∫ t b f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{t}^{b} f(x) \\mathrm{d}x ∫tb​f(x)dx ，极限
  lim ⁡ t → a + ∫ t b f ( x ) d x \\lim_{t \\to a^{+}} \\int_{t}^{b} f(x) \\mathrm{d}x t→a+lim​∫tb​f(x)dx
  称为函数$f(x)$在区间$(a,b]$上的反常积分，仍然记为 ∫ a b f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx，即
  ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ t → a + ∫ t b f ( x ) d x \\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x = \\lim_{t \\to a^{+}} \\int_{t}^{b} f(x) \\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx=t→a+lim​∫tb​f(x)dx
• 敛散性
  设函数$f(x)$在区间$(a,b]$上连续，点$a$为$f(x)$的瑕点
  如果反常积分对应的极限存在
  那么称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx收敛，并称此极限为该反常积分的值
  如果反常积分对应的极限不存在
  那么称反常积分 ∫ a b f ( x ) d x \\displaystyle\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx发散
  根据微积分基本定理，反常积分的敛散性取决于原函数在瑕点的极限敛散情况
• 类似地可以定义 ∫ a b f ( x ) d x , x ∈ [ a , b ) \\displaystyle\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x,\\quad x\\in[a,b) ∫ab​f(x)dx,x∈[a,b)、 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x , x ∈ [ a , c ) ∪ ( c , b ] \\displaystyle\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x=\\displaystyle\\int_{a}^{c} f(x) \\mathrm{d}x+\\int_{c}^{b} f(x) \\mathrm{d}x,\\quad x\\in[a,c)\\cup(c,b] ∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx,x∈[a,c)∪(c,b]
• 反常积分 ∫ a b d x ( x − a ) q \\displaystyle\\int_{a}^{b} \\frac{\\mathrm{d}x}{(x - a)^q} ∫ab​(x−a)qdx​，当$0<q<1$时收敛，当$q\ge 1$时发散
  

  当$q=1$时， ∫ a b d x x − a = [ ln ⁡ ∣ x − a ∣ ] a b = + ∞ \\displaystyle\\int_{a}^{b} \\frac{\\mathrm{d}x}{x - a}=\\left[\\ln|x-a|\\right]_{a}^b=+\\infty ∫ab​x−adx​=[ln∣x−a∣]ab​=+∞
  当$q\ne 1$时， ∫ a b d x ( x − a ) q = [ ( x − a ) 1 − q 1 − q ] a b = { ( b − a ) 1 − q 1 − q , q 1 \\displaystyle\\int_{a}^{b} \\frac{\\mathrm{d}x}{(x - a)^q}=\\left[\\dfrac{(x-a)^{1-q}}{1-q}\\right]_{a}^b=\\begin{cases}\\dfrac{(b-a)^{1-q}}{1-q},&q1\\end{cases} ∫ab​(x−a)qdx​=[1−q(x−a)1−q​]ab​=⎩ ⎨ ⎧​1−q(b−a)1−q​,+∞,​q<1q>1​

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