线性代数 上

文章目录

• • • 线性代数知识整理
    • • 一、求行列式
      • • 1、 套公式
        • 2、利用性质，化为可套公式
        • 3、抽象行列式
        • 4、抽象向量
      • 二、代数余子式的线性组合
      • 三、求 A n A^n An
      • 四、证明A可逆
      • 五、求A的逆
      • • 1、定义法
        • 2、初等变换
        • 3、公式
      • 六、求秩
      • 七、线性表示的判定
      • 八、线性无关
      • 九、求极大线性无关组
      • 十、等价向量组

线性代数知识整理

一、求行列式

1、 套公式

（1）二阶、三阶行列式

∣ 1 45 2 ∣ \\left|\\begin {array}{c} 1 &4 \\\\ 5 &2 \\\\ \\end{array}\\right| ​15​42​ ​ = 1 * 2 - 4 * 5 = -18

∣ 1 2 34 5 67 8 9 ∣ \\left|\\begin {array}{c} 1 &2 &3 \\\\ 4 &5 &6 \\\\ 7 &8 &9 \\\\ \\end{array}\\right| ​147​258​369​ ​ = 1 * 5 * 9 + 2 * 6 * 7 + 3 * 4 * 8 - 3 * 5 * 7 - 2 * 4 * 9 - 1 * 6 * 8 = 0

（2） 三角行列式

• 主对角线行列式

  ∣ a 11 a 12 … a 1 n 0 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … a n n ∣ \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\dots & a_{1n} \\\\ 0 & a_{22} & \\dots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\dots & a_{nn} \\end{vmatrix} ​a11​0⋮0​a12​a22​⋮0​……⋱…​a1n​a2n​⋮ann​​ ​ = ∣ a 11 0 … 0 a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ \\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \\dots & 0 \\\\ a_{21} & a_{22} & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\dots & a_{nn} \\end{vmatrix} ​a11​a21​⋮an1​​0a22​⋮an2​​……⋱…​00⋮ann​​ ​ = ∣ a 11 0 … 0 0 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … a n n ∣ \\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \\dots & 0 \\\\ 0 & a_{22} & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\dots & a_{nn} \\end{vmatrix} ​a11​0⋮0​0a22​⋮0​……⋱…​00⋮ann​​ ​ = ∏ i = 1 n a i i \\prod_{i=1}^{n} a_{ii} ∏i=1n​aii​

• 副对角线行列式

  ∣ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 0 … 0∣ = ∣ 0 0 … a 1 n 0 0 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = ∣ 0 0 … a 1 n 0 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 0 … 0∣ = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2∏ i = 1 n a i , n − i + 1 \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\dots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_{n1} & 0 & \\dots & 0 \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} 0 & 0 & \\dots & a_{1n} \\\\ 0 & 0 & \\dots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\dots & a_{nn} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} 0 & 0 & \\dots & a_{1n} \\\\ 0 & 0 & \\dots & 0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ a_{n1} & 0 & \\dots & 0 \\end{vmatrix} = (-1)^{\\frac{n(n-1)}{2}} \\prod_{i=1}^{n} a_{i,n-i+1} ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮0​……⋱…​a1n​0⋮0​ ​= ​00⋮an1​​00⋮an2​​……⋱…​a1n​a2n​⋮ann​​ ​= ​00⋮an1​​00⋮0​……⋱…​a1n​0⋮0​ ​=(−1)2n(n−1)​i=1∏n​ai,n−i+1​

（3）行和相等

D = ∣ a b c b c a c a b ∣ D = \\begin{vmatrix} a & b & c \\\\ b & c & a \\\\ c & a & b \\end{vmatrix} D= ​abc​bca​cab​ ​

1. 利用行和相等的性质，将第2、3列加到第1列： D = ∣ a + b + c b c a + b + c c a a + b + c a b∣ D = \\begin{vmatrix} a+b+c & b & c \\\\ a+b+c & c & a \\\\ a+b+c & a & b \\end{vmatrix} D= ​a+b+ca+b+ca+b+c​bca​cab​ ​

2. 提出第1列的公因子 ((a+b+c))： D = ( a + b + c ) ∣ 1 b c 1 c a 1 a b∣ D = (a+b+c) \\begin{vmatrix} 1 & b & c \\\\ 1 & c & a \\\\ 1 & a & b \\end{vmatrix} D=(a+b+c) ​111​bca​cab​ ​

3. 进行行变换（( r 2r_2 r2​ - r 1r_1 r1​, r 3r_3 r3​ - r 1r_1 r1​)）： D = ( a + b + c ) ∣ 1 b c 0 c − b a − c 0 a − b b − c ∣ D = (a+b+c) \\begin{vmatrix} 1 & b & c \\\\ 0 & c-b & a-c \\\\ 0 & a-b & b-c \\end{vmatrix} D=(a+b+c) ​100​bc−ba−b​ca−cb−c​ ​

4. 按第1列展开计算： D = ( a + b + c ) ⋅ 1 ⋅ ∣ c − b a − c a − b b − c ∣ D = (a+b+c) \\cdot 1 \\cdot \\begin{vmatrix} c-b & a-c \\\\ a-b & b-c \\end{vmatrix} D=(a+b+c)⋅1⋅ ​c−ba−b​a−cb−c​ ​

5. 计算二阶行列式： $$D=(a+b+c)\left[(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)\right]$$

6. 化简最终结果： D = − ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a ) D = -(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) D=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

（4）爪型行列式

利用斜爪消除竖爪或平爪

D= ∣ 1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 ∣ D = \\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 4 \\\\ \\end{vmatrix} D= ​1111​1200​1030​1004​ ​

核心思路 利用斜爪（第2行第2列、第3行第3列、第4行第4列的非零元素）消除横爪（第一行除首元素外的元素），通过行变换将行列式转化为更简单的形式。

利用斜爪主元消除第一行的横爪元素 对第一行进行行变换，减去各行与斜爪主元比值的乘积，即： r 1 = r 1 − 1 2 r 2 − 1 3 r 3 − 1 4 r 4 r_1 = r_1 - \\frac{1}{2}r_2 - \\frac{1}{3}r_3 - \\frac{1}{4}r_4 r1​=r1​−21​r2​−31​r3​−41​r4​

变换后行列式变为： D = ∣ − 1 12 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 ∣ D = \\begin{vmatrix} -\\frac{1}{12} & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 4 \\\\ \\end{vmatrix} D= ​−121​111​0200​0030​0004​ ​

计算下三角行列式的值 此时行列式为下三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积： D = − 1 12 × 2 × 3 × 4 D = -\\frac{1}{12} \\times 2 \\times 3 \\times 4 D=−121​×2×3×4 = -2

（5）范德蒙德行列式
V n ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n ( x j − x i ) V_n(x_1, x_2, \\dots, x_n) = \\begin{vmatrix} 1 & 1 & \\cdots & 1 \\\\ x_1 & x_2 & \\cdots & x_n \\\\ x_1^2 & x_2^2 & \\cdots & x_n^2 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \\cdots & x_n^{n-1} \\end{vmatrix} = \\prod_{\\substack{1 \\leq i \\leq j \\leq n}} (x_j - x_i) Vn​(x1​,x2​,…,xn​)= ​1x1​x12​⋮x1n−1​​1x2​x22​⋮x2n−1​​⋯⋯⋯⋱⋯​1xn​xn2​⋮xnn−1​​ ​=1≤i≤j≤n​∏​(xj​−xi​)

特征：第 i 行($i=1,2\dots ,n$) 元素是 ( x 1 , x 2 ,, x n x_1, x_2, , x_n x1​,x2​,,xn​) 的 i - 1次幂，呈现 “幂次递增” 的三角结构

（6） 按某一行(列)展开
∣ A ∣ = { a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n = ∑ j = 1 n a i j A i j   ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) , a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j = ∑ i = 1 n a i j A i j   ( j = 1 , 2 , ⋯   , n ) . |A| = \\begin{cases} a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \\cdots + a_{in}A_{in} = \\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \\ (i = 1, 2, \\cdots, n), \\\\ a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \\cdots + a_{nj}A_{nj} = \\sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \\ (j = 1, 2, \\cdots, n). \\end{cases} ∣A∣={ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+⋯+ain​Ain​=∑j=1n​aij​Aij​ (i=1,2,⋯,n),a1j​A1j​+a2j​A2j​+⋯+anj​Anj​=∑i=1n​aij​Aij​ (j=1,2,⋯,n).​

（7）拉普拉斯展开式（分块矩阵求行列式）

设 $\mathbf{A}$ 为 $m$ 阶矩阵，$\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶矩阵，则

∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ , ∣ O A B O ∣ = ∣ C A B O ∣ = ∣ O A B C ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ . \\begin{align*} \\begin{vmatrix} \\boldsymbol{A} & \\boldsymbol{O} \\\\ \\boldsymbol{O} & \\boldsymbol{B} \\end{vmatrix} &= \\begin{vmatrix} \\boldsymbol{A} & \\boldsymbol{C} \\\\ \\boldsymbol{O} & \\boldsymbol{B} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} \\boldsymbol{A} & \\boldsymbol{O} \\\\ \\boldsymbol{C} & \\boldsymbol{B} \\end{vmatrix} = \\vert\\boldsymbol{A}\\vert\\vert\\boldsymbol{B}\\vert, \\\\ \\\\ \\begin{vmatrix} \\boldsymbol{O} & \\boldsymbol{A} \\\\ \\boldsymbol{B} & \\boldsymbol{O} \\end{vmatrix} &= \\begin{vmatrix} \\boldsymbol{C} & \\boldsymbol{A} \\\\ \\boldsymbol{B} & \\boldsymbol{O} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} \\boldsymbol{O} & \\boldsymbol{A} \\\\ \\boldsymbol{B} & \\boldsymbol{C} \\end{vmatrix} = (-1)^{mn}\\vert\\boldsymbol{A}\\vert\\vert\\boldsymbol{B}\\vert. \\end{align*} ​AO​OB​ ​ ​OB​AO​ ​​= ​AO​CB​ ​= ​AC​OB​ ​=∣A∣∣B∣,= ​CB​AO​ ​= ​OB​AC​ ​=(−1)mn∣A∣∣B∣.​

所谓 (−1 ) m n (-1)^{mn} (−1)mn即副对角线元素换到主对角线上，交换的次数

2、利用性质，化为可套公式

性质1：行列互换，其值不变，即 ∣ A ∣ = ∣ A T∣ \\vert\\boldsymbol{A}\\vert = \\vert\\boldsymbol{{A^T}}\\vert ∣A∣=∣AT∣

性质2：若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

性质3：若行列式中某行（列）元素有公因子k(k ≠ 0)，则k可提到行列式外面，即

∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ k a i 1 k a i 2 … k a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = k ∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 … a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\dots & a_{1n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ ka_{i1} & ka_{i2} & \\dots & ka_{in} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\dots & a_{nn} \\end{vmatrix} = k \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\dots & a_{1n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \\dots & a_{in} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\dots & a_{nn} \\end{vmatrix} ​a11​⋮kai1​⋮an1​​a12​⋮kai2​⋮an2​​………​a1n​⋮kain​⋮ann​​ ​=k ​a11​⋮ai1​⋮an1​​a12​⋮ai2​⋮an2​​………​a1n​⋮ain​⋮ann​​ ​

性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和，即

∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + b i 1 a i 2 + b i 2 … a i n + b i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ = ∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 … a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b i 1 b i 2 … b i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\dots & a_{1n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \\dots & a_{in} + b_{in} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\dots & a_{nn} \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\dots & a_{1n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{i1} & a_{i2} & \\dots & a_{in} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\dots & a_{nn} \\end{vmatrix} + \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \\dots & a_{1n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ b_{i1} & b_{i2} & \\dots & b_{in} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\dots & a_{nn} \\end{vmatrix} ​a11​⋮ai1​+bi1​⋮an1​​a12​⋮ai2​+bi2​⋮an2​​………​a1n​⋮ain​+bin​⋮ann​​ ​= ​a11​⋮ai1​⋮an1​​a12​⋮ai2​⋮an2​​………​a1n​⋮ain​⋮ann​​ ​+ ​a11​⋮bi1​⋮an1​​a12​⋮bi2​⋮an2​​………​a1n​⋮bin​⋮ann​​ ​

性质5：行列式中两行（列）互换，行列式变号

性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

3、抽象行列式

一般使用$|\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$

【例】 α 1 , α 2 , α 3 均为3维列向量，已知A=[ α 1 , α 2 , α 3 ], B=[ α 1 − α 2 +2 α 3 , 2 α 1 +3 α 2 −5 α 3 ,  α 1 +2 α 2 − α 3 ]且∣A∣=2，则∣B−A∣= 10 ‾ \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3 均为 3 维列向量，已知 \\boldsymbol{A} = [\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3], \\quad \\boldsymbol{B} = [\\boldsymbol{\\alpha}_1 - \\boldsymbol{\\alpha}_2 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_3,\\ 2\\boldsymbol{\\alpha}_1 + 3\\boldsymbol{\\alpha}_2 - 5\\boldsymbol{\\alpha}_3,\\ \\boldsymbol{\\alpha}_1 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_2 - \\boldsymbol{\\alpha}_3] 且 |\\boldsymbol{A}| = 2，则 |\\boldsymbol{B} - \\boldsymbol{A}| = \\boldsymbol{\\underline{10}} α1​,α2​,α3​均为3维列向量，已知A=[α1​,α2​,α3​],B=[α1​−α2​+2α3​, 2α1​+3α2​−5α3​, α1​+2α2​−α3​]且∣A∣=2，则∣B−A∣=10​

∣ B − A ∣ = ∣ − α 2 + 2 α 3 , 2 α 1 + 2 α 2 − 5 α 3 , α 1 + 2 α 2 − α 3 ∣ = ( ∗ ) ∣ [ α 1 , α 2 , α 3 ] [ 0 2 1 − 1 2 2 2 − 5 − 2 ] ∣ |\\boldsymbol{B} - \\boldsymbol{A}| = \\begin{vmatrix} -\\boldsymbol{\\alpha}_2 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_3, & 2\\boldsymbol{\\alpha}_1 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_2 - 5\\boldsymbol{\\alpha}_3, & \\boldsymbol{\\alpha}_1 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_2 - \\boldsymbol{\\alpha}_3 \\end{vmatrix} \\stackrel{(*)}{=} \\left| [\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3] \\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \\\\ -1 & 2 & 2 \\\\ 2 & -5 & -2 \\end{bmatrix} \\right| ∣B−A∣= ​−α2​+2α3​,​2α1​+2α2​−5α3​,​α1​+2α2​−α3​​ ​=(∗) ​[α1​,α2​,α3​] ​0−12​22−5​12−2​ ​ ​

= ∣ α 1 , α 2 , α 3 ∣ ∣ 0 2 1 − 1 2 2 2 − 5 − 2∣ = 5 = |\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3 |\\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\\\ -1 & 2 & 2 \\\\ 2 & -5 & -2 \\end{vmatrix} = 5 =∣α1​,α2​,α3​∣ ​0−12​22−5​12−2​ ​=5

4、抽象向量

例如 ∣ α 1 , α 2 , α 3 ∣=5 |\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3 | = 5 ∣α1​,α2​,α3​∣=5 求 [ α 1 + α 2 ,  α 2 − α 3 ,  α 3 − α 1 ] [\\boldsymbol{\\alpha}_1 + \\boldsymbol{\\alpha}_2 ,\\ \\boldsymbol{\\alpha}_2 - \\boldsymbol{\\alpha}_3 ,\\ \\boldsymbol{\\alpha}_3 - \\boldsymbol{\\alpha}_1 ] [α1​+α2​, α2​−α3​, α3​−α1​]

方法一：利用行列式性质

方法二：化矩阵之积

[ α 1 , α 2 , α 3 ] ∣ 1 0 − 11 1 0 0 − 1 1 ∣ [\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3] \\left|\\begin {array}{c} 1 &0 &-1 \\\\ 1 &1 &0 \\\\ 0 &-1 &1 \\\\ \\end{array}\\right| [α1​,α2​,α3​] ​110​01−1​−101​ ​

二、代数余子式的线性组合

设行列式 ( D ) 为：

D= ∣ 1 − 3 1 − 22 − 5 − 2 − 20 − 4 5 1 − 3 9 − 6 7 ∣ D = \\begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 \\\\ 2 & -5 & -2 & -2 \\\\ 0 & -4 & 5 & 1 \\\\ -3 & 9 & -6 & 7 \\end{vmatrix} D= ​120−3​−3−5−49​1−25−6​−2−217​ ​ ，其中 ( M 3 j M_{3j} M3j​ ) 表示 ( D ) 中第 3 行第 ( j ) 列元素的余子式（j = 1,2,3,4 ），求 M 31 +3 M 32 −2 M 33 +2 M 34 M_{31} + 3M_{32} - 2M_{33} + 2M_{34} M31​+3M32​−2M33​+2M34​ 的值。

方法一：

M 31 +3 M 32 −2 M 33 +2 M 34 = A 31 −3 A 32 −2 A 33 −2 A 34 M_{31} + 3M_{32} - 2M_{33} + 2M_{34} = A_{31} - 3A_{32} - 2A_{33} - 2A_{34} M31​+3M32​−2M33​+2M34​=A31​−3A32​−2A33​−2A34​

即求 ∣ 1 − 3 1 − 2 2 − 5 − 2 − 2 1 − 3 − 2 − 2 − 3 9 − 6 7 ∣ \\begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 \\\\ 2 & -5 & -2 & -2 \\\\ 1 & -3 & -2 & -2 \\\\ -3 & 9 & -6 & 7 \\end{vmatrix} ​121−3​−3−5−39​1−2−2−6​−2−2−27​ ​ 的值，值为-3

方法二：求 A ∗ A^* A∗

A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) = ∣ A ∣ A − 1 \\boldsymbol{A}^* = \\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \\cdots & A_{n1} \\\\ A_{12} & A_{22} & \\cdots & A_{n2} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ A_{1n} & A_{2n} & \\cdots & A_{nn} \\end{pmatrix} = |A|A^{-1} A∗= ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​ ​=∣A∣A−1

三、求 A n A^n An

方法一：若r(A)=1,A可以写作 α β T αβ^T αβT, A n =α β T α β T ⋅⋅⋅α β T =((tr(A) ) n − 1 A A^n = αβ^Tαβ^T···αβ^T = ((tr(A))^{n-1}A An=αβTαβT⋅⋅⋅αβT=((tr(A))n−1A

方法二：相似对角化， P − 1 AP=Λ=> A n =P Λ n P − 1 P^{-1}AP = Λ => A^n = PΛ^nP^{-1} P−1AP=Λ=>An=PΛnP−1

方法三： ∣ A 0 0 B ∣ n = ∣ A n 0 0 B n ∣ \\left|\\begin {array}{c} A &0 \\\\ 0 &B \\\\ \\end{array}\\right| ^ n = \\left|\\begin {array}{c} A^n &0 \\\\ 0 &B^n \\\\ \\end{array}\\right| ​A0​0B​ ​n= ​An0​0Bn​ ​

方法四：数学归纳法，如求 ∣ 0 1 0 − 1 0 10 1 0 ∣ \\left|\\begin {array}{c} 0 &1 &0 \\\\ -1 &0 &1 \\\\ 0 &1 &0 \\\\ \\end{array}\\right| ​0−10​101​010​ ​

四、证明A可逆

​ |A| = 0

A的列向量线性无关

Ax=0只有零解

A没有0特征值

p+q=n（正负惯性指数）

五、求A的逆

1、定义法

已知矩阵满足的等式（如幂等式），通过构造 ( $\mathbf{AB}=\mathbf{E}$ ) 求逆

【例】

已知 A 2 =E，求(A+2E ) − 1 \\boldsymbol{A}^2 = \\boldsymbol{E} ，求 (\\boldsymbol{A} + 2\\boldsymbol{E})^{-1} A2=E，求(A+2E)−1

由 A 2 −E=0 \\boldsymbol{A}^2 - \\boldsymbol{E} = \\boldsymbol{0} A2−E=0，因式分解得： A 2 −E=(A+2E)(A−2E)+3E=0 \\boldsymbol{A}^2 - \\boldsymbol{E} = (\\boldsymbol{A} + 2\\boldsymbol{E})(\\boldsymbol{A} - 2\\boldsymbol{E}) + 3\\boldsymbol{E} = \\boldsymbol{0} A2−E=(A+2E)(A−2E)+3E=0
调整后构造 $\mathbf{AB}=\mathbf{E}$：

(A+2E)⋅ 2 E − A 3 =E (\\boldsymbol{A} + 2\\boldsymbol{E}) \\cdot \\frac{2\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A}}{3} = \\boldsymbol{E} (A+2E)⋅32E−A​=E
因此 (A+2E ) − 1 = 2 E − A 3 (\\boldsymbol{A} + 2\\boldsymbol{E})^{-1} = \\frac{2\\boldsymbol{E} - \\boldsymbol{A}}{3} (A+2E)−1=32E−A​

2、初等变换

(A∣E) → 初等行变换 (E∣ A − 1 ) (\\boldsymbol{A} \\mid \\boldsymbol{E}) \\xrightarrow{\\text{初等行变换}} (\\boldsymbol{E} \\mid \\boldsymbol{A}^{-1}) (A∣E)初等行变换 ​(E∣A−1)

3、公式

二阶矩阵求逆公式： 设二阶矩阵为 A = ( a b c d ) \\boldsymbol{A} = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} A=(ac​bd​) 若其行列式不等于0（即矩阵可逆），则其逆矩阵为： A − 1= 1 a d − b c ( d − b − c a ) \\boldsymbol{A}^{-1} = \\frac{1}{ad - bc} \\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix} A−1=ad−bc1​(d−c​−ba​)

分块矩阵求逆

( A 0 0 B )− 1 = ( A − 1 0 0 B − 1 ) \\begin{pmatrix} \\boldsymbol{A} & \\boldsymbol{0} \\\\ \\boldsymbol{0} & \\boldsymbol{B} \\end{pmatrix}^{-1} = \\begin{pmatrix} \\boldsymbol{A}^{-1} & \\boldsymbol{0} \\\\ \\boldsymbol{0} & \\boldsymbol{B}^{-1} \\end{pmatrix} (A0​0B​)−1=(A−10​0B−1​)

( 0 A B 0 )− 1 = ( 0 B − 1 A − 1 0 ) \\begin{pmatrix} \\boldsymbol{0} & \\boldsymbol{A} \\\\ \\boldsymbol{B} & \\boldsymbol{0} \\end{pmatrix}^{-1} = \\begin{pmatrix} \\boldsymbol{0} & \\boldsymbol{B}^{-1} \\\\ \\boldsymbol{A}^{-1} & \\boldsymbol{0} \\end{pmatrix} (0B​A0​)−1=(0A−1​B−10​)

六、求秩

方法一：定义法

设A是m×n矩阵，若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式（如果有的话）全为零，则r(A)=k

方法二：化行阶梯矩阵

方法三：线性相关性

方法四：秩公式

设 $\mathbf{A}$ 为矩阵，以下是矩阵秩 $r(\mathbf{A}$) 的常用性质

① 0≤r(A)≤min⁡{m,n} 0 \\leq r(\\boldsymbol{A}) \\leq \\min\\{m, n\\} 0≤r(A)≤min{m,n}

② $r(k\mathbf{A})=r(\mathbf{A})(k\ne 0)$

③ r( A B )≤min⁡{r(A),r(B)} r(\\boldsymbol{AB}) \\leq \\min\\{r(\\boldsymbol{A}), r(\\boldsymbol{B})\\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}

④对同型矩阵A、B

$r(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$

⑤ r( A ∗ )= { n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 , 其中 A 为 n ( n ≥ 2 ) 阶方阵 0 , r ( A ) < n − 1 r(\\boldsymbol{A}^*) = \\begin{cases} n, & r(\\boldsymbol{A}) = n \\quad \\\\ 1, & r(\\boldsymbol{A}) = n - 1 \\quad ,其中A为n(n≥2)阶方阵\\\\ 0, & r(\\boldsymbol{A}) < n - 1 \\quad \\end{cases} r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧​n,1,0,​r(A)=nr(A)=n−1,其中A为n(n≥2)阶方阵r(A)<n−1​

⑥设 $\mathbf{A}$ 是 $m\times n$矩阵，$\mathbf{P}$ （m阶）、 $\mathbf{Q}$（ n 阶）是可逆矩阵，则：
$r(\mathbf{A})=r(\mathbf{PA})=r(\mathbf{AQ})=r(\mathbf{PAQ})$

⑦ 若 A m × n B n × s =O，则r(A)+r(B)≤n 若A_{m×n}B_{n×s}=\\boldsymbol{O}，则r(\\boldsymbol{A}) + r(\\boldsymbol{B}) \\leq n 若Am×n​Bn×s​=O，则r(A)+r(B)≤n

⑧ r(A)=r( A T )=r( A T A)=r(A A T ) r(\\boldsymbol{A}) = r(\\boldsymbol{A}^\\text{T}) = r(\\boldsymbol{A}^\\text{T}\\boldsymbol{A}) = r(\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{A}^\\text{T}) r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)

七、线性表示的判定

定义：

若向量β能表示成向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​的线性组合，即存在m个数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， k m k_1,k_2,···，k_m k1​,k2​,⋅⋅⋅，km​，使得 β = k 1α 1 , k 2α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， k mα m β = k_1α_1,k_2α_2,···，k_mα_m β=k1​α1​,k2​α2​,⋅⋅⋅，km​αm​,则称向量β能被向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​线性表示

秩 r( α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​) = r( α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α m ,β α_1,α_2,···，α_m,β α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​,β)

方程组 α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​x = β有解

<= α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​线性无关， α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α m ，β α_1,α_2,···，α_m，β α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​，β线性相关

<= m个m维 α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​线性无关，任意m维β可被 α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​唯一表示

【例】

向量的线性表示综合应用 已知向量组： α 1 = ( 1 2 1 ) , α 2 = ( 1 1 0 ) , α 3 = ( 2 3 1 ) , β = ( 3 4 1 ) \\boldsymbol{\\alpha}_1 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\alpha}_2 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\alpha}_3 = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 3 \\\\ 1 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\beta} = \\begin{pmatrix} 3 \\\\ 4 \\\\ 1 \\end{pmatrix} α1​= ​121​ ​,α2​= ​110​ ​,α3​= ​231​ ​,β= ​341​ ​

回答下列问题：

1. 判断向量$\mathbf{\beta }$能否由向量组 α 1 , α 2 , α 3\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3 α1​,α2​,α3​线性表示？若能，写出一个线性表示式。

2. 利用秩的关系验证第1题的结论。

3. 若存在向量$\mathbf{\gamma }$，使得 α 1 , α 2 , γ \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma} α1​,α2​,γ线性无关，且 α 1 , α 2 , γ , β \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma}, \\boldsymbol{\\beta} α1​,α2​,γ,β线性相关，证明$\mathbf{\beta }$能由 α 1 , α 2 , γ \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma} α1​,α2​,γ线性表示。

【解】

1. 判断$\mathbf{\beta }$能否由 α 1 , α 2 , α 3 \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3 α1​,α2​,α3​线性表示 假设 β = k 1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 \\boldsymbol{\\beta} = k_1\\boldsymbol{\\alpha}_1 + k_2\\boldsymbol{\\alpha}_2 + k_3\\boldsymbol{\\alpha}_3 β=k1​α1​+k2​α2​+k3​α3​，展开得方程组： { k 1 + k 2 + 2 k 3 = 3 2 k 1 + k 2 + 3 k 3 = 4 k 1 + 0 k 2 + k 3 = 1 \\begin{cases} k_1 + k_2 + 2k_3 = 3 \\\\ 2k_1 + k_2 + 3k_3 = 4 \\\\ k_1 + 0k_2 + k_3 = 1 \\end{cases}⎩ ⎨ ⎧​k1​+k2​+2k3​=32k1​+k2​+3k3​=4k1​+0k2​+k3​=1​ 对增广矩阵作初等行变换： ( 1 1 2 3 2 1 3 4 1 0 1 1 ) → ( 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 ) \\left(\\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \\end{array}\\right) \\to \\left(\\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{array}\\right) ​121​110​231​341​ ​→ ​100​010​110​120​ ​ 方程组有解（无穷多解），取 k 3 = 0 k_3 = 0 k3​=0，得 k 1 = 1 , k 2 = 2 k_1 = 1, k_2 = 2 k1​=1,k2​=2，故一个线性表示式为： β = α 1 + 2 α 2 + 0 α 3 \\boldsymbol{\\beta} = \\boldsymbol{\\alpha}_1 + 2\\boldsymbol{\\alpha}_2 + 0\\boldsymbol{\\alpha}_3β=α1​+2α2​+0α3​
2. 用秩的关系验证 构造矩阵： 向量组矩阵： A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) \\boldsymbol{A} = (\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3) A=(α1​,α2​,α3​) 增广矩阵： B = ( α 1 , α 2 , α 3 , β ) \\boldsymbol{B} = (\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3, \\boldsymbol{\\beta}) B=(α1​,α2​,α3​,β) 由第1题的行变换结果可知： $$r(\mathbf{A})=2,r(\mathbf{B})=2$$ 根据线性表示的等价条件： r ( α 1 , α 2 , α 3 ) = r ( α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 r(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3) = r(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3, \\boldsymbol{\\beta}) = 2r(α1​,α2​,α3​)=r(α1​,α2​,α3​,β)=2 故$\mathbf{\beta }$能由 α 1 , α 2 , α 3 \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3 α1​,α2​,α3​线性表示。
3. 证明$\mathbf{\beta }$能由 α 1 , α 2 , γ \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma} α1​,α2​,γ线性表示 已知条件： α 1 , α 2 , γ \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma} α1​,α2​,γ线性无关    ⟹    r ( α 1 , α 2 , γ ) = 3 \\implies r(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma}) = 3 ⟹r(α1​,α2​,γ)=3 ， α 1 , α 2 , γ , β \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma}, \\boldsymbol{\\beta} α1​,α2​,γ,β线性相关    ⟹    r ( α 1 , α 2 , γ , β ) ≤ 3 \\implies r(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma}, \\boldsymbol{\\beta}) \\leq 3 ⟹r(α1​,α2​,γ,β)≤3 又因为： r ( α 1 , α 2 , γ ) ≤ r ( α 1 , α 2 , γ , β ) r(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma}) \\leq r(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma}, \\boldsymbol{\\beta})r(α1​,α2​,γ)≤r(α1​,α2​,γ,β) 所以 r ( α 1 , α 2 , γ , β ) = 3 r(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma}, \\boldsymbol{\\beta}) = 3 r(α1​,α2​,γ,β)=3，即： r ( α 1 , α 2 , γ ) = r ( α 1 , α 2 , γ , β ) r(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma}) = r(\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma}, \\boldsymbol{\\beta})r(α1​,α2​,γ)=r(α1​,α2​,γ,β) 根据线性表示的等价条件，$\mathbf{\beta }$能由 α 1 , α 2 , γ \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\gamma} α1​,α2​,γ线性表示。

八、线性无关

证明** α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​**线性无关

定义 k 1 α 1 , k 2 α 2 ,⋅⋅⋅， k n α n =0当且仅当 k i 全为0 k_1α_1,k_2α_2,···，k_nα_n = 0 当且仅当k_i全为0 k1​α1​,k2​α2​,⋅⋅⋅，kn​αn​=0当且仅当ki​全为0

秩r( α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​) = n

方程 α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​x = 0 只有零解

任意一个 α i α_i αi​均不可由其他α表示

<= | α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​| ≠ 0

九、求极大线性无关组

①将列向量们组成矩阵A，作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，并确定r(A)

②按列找出一个秩为r(A)的子矩阵，即为一个极大线性无关组

【例】

已知列向量组：
α 1 = ( 1 2 2 3 ) , α 2 = ( 1 1 2 3 ) , α 3 = ( 0 1 0 0 ) , α 4 = ( 2 5 4 6 ) \\boldsymbol{\\alpha}_1 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\alpha}_2 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\alpha}_3 = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\quad \\boldsymbol{\\alpha}_4 = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 5 \\\\ 4 \\\\ 6 \\end{pmatrix} α1​= ​1223​ ​,α2​= ​1123​ ​,α3​= ​0100​ ​,α4​= ​2546​ ​

按以下步骤求该向量组的极大线性无关组：

1. 将列向量组成矩阵并化为行阶梯形，确定矩阵的秩；
2. 根据行阶梯形矩阵找出一个极大线性无关组。

【解】

将列向量按顺序组成矩阵 $\mathbf{A}$：
A = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = ( 1 1 0 2 2 1 1 5 2 2 0 4 3 3 0 6 ) \\boldsymbol{A} = (\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\alpha}_3, \\boldsymbol{\\alpha}_4) = \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 1 & 5 \\\\ 2 & 2 & 0 & 4 \\\\ 3 & 3 & 0 & 6 \\end{pmatrix} A=(α1​,α2​,α3​,α4​)= ​1223​1123​0100​2546​ ​

对矩阵作初等行变换：
( 1 1 0 2 2 1 1 5 2 2 0 4 3 3 0 6 ) → r 2 − 2 r 1 r 3 − 2 r 1 r 4 − 3 r 1 ( 1 1 0 2 0 − 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) → − r 2 ( 1 1 0 2 0 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \\begin{align*} &\\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 1 & 5 \\\\ 2 & 2 & 0 & 4 \\\\ 3 & 3 & 0 & 6 \\end{pmatrix} \\xrightarrow[\\substack{r_2-2r_1\\\\r_3-2r_1 \\\\ r_4-3r_1}]{} \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix} \\xrightarrow[]{-r_2} \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix} \\end{align*} ​ ​1223​1123​0100​2546​ ​ r2​−2r1​r3​−2r1​r4​−3r1​​​ ​1000​1−100​0100​2100​ ​−r2​ ​ ​1000​1100​0−100​2−100​ ​​

行阶梯形矩阵有 2个非零行，因此矩阵的秩 $r(\mathbf{A})=2$。

在行阶梯形矩阵中，非零行的首个非零元素（主元）所在的列对应原矩阵的列向量，构成极大线性无关组。

观察行阶梯形矩阵：

• 第1个主元在第1列
• 第2个主元在第2列

因此，原向量组中对应的列向量 α 1 , α 2 \\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2 α1​,α2​ 构成一个极大线性无关组（选法不唯一）。

十、等价向量组

若

（Ⅰ） α 1 , α 2 ,⋅⋅⋅， α s α_1,α_2,···，α_s α1​,α2​,⋅⋅⋅，αs​

（Ⅱ） β 1 , β 2 ,⋅⋅⋅， β t β_1,β_2,···，β_t β1​,β2​,⋅⋅⋅，βt​

证明（Ⅰ）（Ⅱ）等价

（Ⅰ）中的向量可由（Ⅱ）表出且r(Ⅰ) = r(Ⅱ)

r(Ⅰ) = r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)

若r(Ⅰ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示

若r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示

应注意等价矩阵和等价向量组的联系和区别

【例】

已知向量组：
（Ⅰ） α 1 = ( 1 0 1 ) ,   α 2 = ( 1 1 0 ) \\text{（Ⅰ）}\\quad \\boldsymbol{\\alpha}_1 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix},\\ \\boldsymbol{\\alpha}_2 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} （Ⅰ）α1​= ​101​ ​, α2​= ​110​ ​
（Ⅱ） β 1 = ( 0 1 − 1) ,   β 2 = ( 2 1 1 ) ,   β 3 = ( 1 1 0 ) \\text{（Ⅱ）}\\quad \\boldsymbol{\\beta}_1 = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ -1 \\end{pmatrix},\\ \\boldsymbol{\\beta}_2 = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix},\\ \\boldsymbol{\\beta}_3 = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} （Ⅱ）β1​= ​01−1​ ​, β2​= ​211​ ​, β3​= ​110​ ​

完成下列问题：

1. 证明向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价；
2. 说明等价向量组与等价矩阵的区别

【解】

构造矩阵 A=( α 1 , α 2 ) \\boldsymbol{A} = (\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2) A=(α1​,α2​) 并求秩：
A = ( 1 1 0 1 1 0 )→ r 3 − r 1 ( 1 1 0 1 0 − 1)→ r 3 + r 2 ( 1 1 0 1 0 0 ) \\boldsymbol{A} = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix} \\xrightarrow{r_3-r_1} \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix} \\xrightarrow{r_3+r_2} \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix} A= ​101​110​ ​r3​−r1​ ​ ​100​11−1​ ​r3​+r2​ ​ ​100​110​ ​
得 $r(\text{Ⅰ})=2$。

构造矩阵 B=( β 1 , β 2 , β 3 ) \\boldsymbol{B} = (\\boldsymbol{\\beta}_1, \\boldsymbol{\\beta}_2, \\boldsymbol{\\beta}_3) B=(β1​,β2​,β3​) 并求秩：
B = ( 0 2 1 1 1 1 − 1 1 0 )→ r 1 ↔ r 2( 1 1 1 0 2 1 0 2 1 )→ r 3 − r 2 ( 1 1 1 0 2 1 0 0 0 ) \\boldsymbol{B} = \\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 \\end{pmatrix} \\xrightarrow{r_1 \\leftrightarrow r_2 \\\\} \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\end{pmatrix} \\xrightarrow{r_3-r_2} \\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix} B= ​01−1​211​110​ ​r1​↔r2​ ​ ​100​122​111​ ​r3​−r2​ ​ ​100​120​110​ ​
得 $r(\text{Ⅱ})=2$

构造 C=( α 1 , α 2 , β 1 , β 2 , β 3 ) \\boldsymbol{C} = (\\boldsymbol{\\alpha}_1, \\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\beta}_1, \\boldsymbol{\\beta}_2, \\boldsymbol{\\beta}_3) C=(α1​,α2​,β1​,β2​,β3​)，通过行变换得：
$$r(\mathbf{C})=2$$
即 $r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})=2$。

结论：

因 $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})=2$，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

对比项 等价向量组 等价矩阵 定义 互相可线性表示的向量组 经有限次初等变换可互化的矩阵 核心条件 $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})$ 同型且秩相等 维度要求 向量需同维（不一定同个数） 必须同型（行数和列数均相同） 应用场景 线性表示、基变换等 矩阵秩的判定、方程组同解性等