【数学】线性代数知识点总结

0.前言

线性代数是数学的一个分支，线性代数的研究对象是向量、向量空间（又称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。即线性代数主要处理线性关系问题，线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。
线性（Linear）是指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

根据同济大学数学系编著的《线性代数》教材，将知识点按行列式、矩阵、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换五部分进行归纳总结。

1.行列式

1.1 定义

矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于该矩阵的行列数据所计算的一个标量，n阶行列式的几何意义是以n个向量为邻边的n维图形的体积。

注意：行列式的行数=列数，行列式引入求解线性方程组（后面将提到）

1.2 性质

• 性质1：行列互换，其值不变
  即行列式与它的转置行列式的值相等，∣A∣=∣AT∣|A|=|A^T|∣A∣=∣AT∣
• 性质2：行列式某行（列）的元素全为0，行列式的值为0。
  几何上可以理解为该n阶行列式的值等于n维图形的体积，现在有一个维度（向量）长度为0，则该图形这个维度上体积为0。
  放在定义式中，累加的每一项都是0，因为累加的每一项是取自不同行不同列的n个元素乘积。
• 性质3：行列式的某两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零
  几何上理解为组成n维图形的n个向量中，有两向量（边）在同一直线上，故在该图形这个维度上体积为0。
  在定义式中，成比例的项可以提出公因式，提出公因式后奇排列和偶排列的项会一一抵消（可以列一个简单的3阶行列式进行感受）
• 性质4：某行（列）所有的元素都是两个数的和，则可将其拆成两个行列式之和
  如：∣a1+b1a2+b2a3+b3c1c2c3d1d2d3∣=∣a1a2a3c1c2c3d1d2d3∣+∣b1b2b3c1c2c3d1d2d3∣\\left|\\begin {array}{c}a_1+b_1 &a_2+b_2 &a_3+b_3 \\\\c_1 &c_2 &c_3 \\\\d_1 &d_2 &d_3 \\\\\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{c}a_1 &a_2 &a_3 \\\\c_1 &c_2 &c_3 \\\\d_1 &d_2 &d_3\\\\\\end{array}\\right|+\\left|\\begin{array}{c}b_1 &b_2 &b_3 \\\\c_1 &c_2 &c_3 \\\\d_1 &d_2 &d_3\\\\\\end{array}\\right|​a1​+b1​c1​d1​​a2​+b2​c2​d2​​a3​+b3​c3​d3​​​=​a1​c1​d1​​a2​c2​d2​​a3​c3​d3​​​+​b1​c1​d1​​b2​c2​d2​​b3​c3​d3​​​
  理解这件事情需要从定义式入手
  
  定义式是多项的累加，而每项都包含不同行列的元素之积，这里的可拆其实就是定义式中进行乘法分配律。
  注意：行列式拆是只拆某行（列），而矩阵A+B相加指的是所有元素相加。
• 性质5：两行（列）互换，行列式的值反号
  反号是因为奇偶排列发生了改变，要理解这一点从定义中行列式的定义式入手，j1j2...jnj_1j_2...j_nj1​j2​...jn​是排列，当为偶排列时带正号，为奇排列时带负号，行列式行（列）互换，奇偶排列改变，行列式的值反号。
• 性质6：某行（列）元素有公因子$k（k\ne 0）$，则$k$可提到行列式外面
  要理解性质6需要和性质5一样从行列式的定义式入手，某行（列）的元素都有公因子，代表定义式中累加的每一项都有公因子，那么相当于将每一项的这个公因子k提取到外面。
  注意：行列式只是某行（列）公因子提到外面，而矩阵是每一个元素的公因子提到外面。
• 性质7：某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式的值不变
  从定义式入手，结合定理4，可以将其“乘法分配律”，之后拆成原来的行列式与被加那行（列）替换为k倍加的那行的行列式相加，再根据性质3的理解，知道被加那行（列）替换为k倍加的那行的行列式为0。

1.3 行列式展开定理（公式）

1.3.1 余子式与代数余子式

• 定义：在n阶行列式中，划去元素aija_{ij}aij​所在的$i$行与$j$列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的n-1阶行列式称为元素aija_{ij}aij​的余子式。数学表示上记作MijM_{ij}Mij​
  如：∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\\left|\\begin{array}{c}a_{11} &a_{12} &a_{13} \\\\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\\\a_{31} &a_{32} &a_{33}\\\\\\end{array}\\right|​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​​中，a22a_{22}a22​的余子式M22=∣a11a13a31a33∣M_{22}=\\left|\\begin{array}{c}a_{11} &a_{13} \\\\a_{31} &a_{33} \\\\\\end{array}\\right|M22​=​a11​a31​​a13​a33​​​

• 而根据MijM_{ij}Mij​定义代数余子式Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij​=(−1)i+jMij​
  则在上面行列式中A22=(−1)2+2M22=∣a11a13a31a33∣A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=\\left|\\begin{array}{c}a_{11} &a_{13} \\\\a_{31} &a_{33} \\\\\\end{array}\\right|A22​=(−1)2+2M22​=​a11​a31​​a13​a33​​​

• 引理：一个n阶行列式，如果其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元aija_{ij}aij​外都为零，那么这行列式等于aija_{ij}aij​与它的代数余子式的乘积，即D=aijAijD=a_{ij}A_{ij}D=aij​Aij​
  这一引理可以根据行列式的计算式推导（将i行和j列包含的含0项全部划掉，仅剩含aija_{ij}aij​的项，提出aija_{ij}aij​后剩下的为代数余子式）。

1.3.2 行列式按行（列）展开法则

• 定义：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin   (i=1,2,...,n)D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\\ \\ \\ (i=1,2,...,n)D=ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+...+ain​Ain​   (i=1,2,...,n)或D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj   (j=1,2,...,n)D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\\ \\ \\ (j=1,2,...,n)D=a1j​A1j​+a2j​A2j​+...+anj​Anj​   (j=1,2,...,n)
  这个法则可以根据引理与性质4或行列式计算式推导得到。
• 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0   (i≠j)a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn} =0\\ \\ \\ (i\\neq j)ai1​Aj1​+ai2​Aj2​+...+ain​Ajn​=0   (i=j)或a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj=0   (i≠j)a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+...+a_{ni}A_{nj}=0\\ \\ \\ (i\\neq j)a1i​A1j​+a2i​A2j​+...+ani​Anj​=0   (i=j)
  推论的证明根据性质3：行列式的某两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零。

2.矩阵

2.1 定义

• 由$m\times n$个数aij(i=1,2,...,m;  j=1,2,...,n)a_{ij}(i=1,2,...,m;\\ \\ j=1,2,...,n)aij​(i=1,2,...,m;  j=1,2,...,n)排成的$m$行$n$列的数表a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮ ⋮am1am2⋯amn\\begin{array}{c}a_{11} &a_{12} &\\cdots &a_{1n} \\\\a_{21} &a_{22} &\\cdots &a_{2n} \\\\\\vdots &\\vdots &\\ &\\vdots \\\\a_{m1} &a_{m2} &\\cdots &a_{mn}\\\\\\end{array}a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯ ⋯​a1n​a2n​⋮amn​​称为m行n列矩阵，简称$m\times n$矩阵，记作A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮ ⋮am1am2⋯amn)A=\\left(\\begin{array}{c}a_{11} &a_{12} &\\cdots &a_{1n} \\\\a_{21} &a_{22} &\\cdots &a_{2n} \\\\\\vdots &\\vdots &\\ &\\vdots \\\\a_{m1} &a_{m2} &\\cdots &a_{mn}\\\\\\end{array}\\right)A=​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯ ⋯​a1n​a2n​⋮amn​​​简记为A=Am×n=(aij)m×n=(aij)A=A_{m\\times n}=(a_{ij})_{m\\times n}=(a_{ij})A=Am×n​=(aij​)m×n​=(aij​)。
  这$m\times n$个数称为矩阵A的元素，简称为元。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
  行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

2.1.1 矩阵与行列式概念区分

2.1.2 矩阵与线性变换

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系

由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法

• 定义：设由两个$m\times n$矩阵A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij​)和B=(bij)B=(b_{ij})B=(bij​)，那么矩阵A与B的和记作A+B，规定为A+B=(a11+b11a12+b12⋯a1n+b1na21+b21a22+b22⋯a2n+b2n⋮⋮ ⋮am1+bm1am2+bm2⋯amn+bmn)A+B=\\left(\\begin{array}{c}a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} &\\cdots &a_{1n}+b_{1n} \\\\a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} &\\cdots &a_{2n}+b_{2n} \\\\\\vdots &\\vdots &\\ &\\vdots \\\\a_{m1}+b_{m1} &a_{m2}+b_{m2} &\\cdots &a_{mn}+b_{mn} \\\\\\end{array}\\right)A+B=​a11​+b11​a21​+b21​⋮am1​+bm1​​a12​+b12​a22​+b22​⋮am2​+bm2​​⋯⋯ ⋯​a1n​+b1n​a2n​+b2n​⋮amn​+bmn​​​
  注意：只有两个矩阵同型时（行数等于行数、列数等于列数），这两个矩阵才能进行加法运算。
  行列式加法是某行或某列加，矩阵是同型矩阵对应元素一一相加
• 矩阵加法的运算规律
  1. 交换律：$A+B=B+A$
  2. 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$
  3. 矩阵减法相当于：$A-B=A+(-B)$
     其中$-B$称为B的负矩阵，有：$B+(-B)=O$

2.2.2 数与矩阵相乘

• 定义：数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记作$\lambda A$或$A\lambda$，规定为λA=Aλ=(λa11λa12⋯λa1nλa21λa22⋯λa2n⋮⋮ ⋮λam1λam2⋯λamn)\\lambda A=A\\lambda=\\left(\\begin{array}{c}\\lambda a_{11} &\\lambda a_{12} &\\cdots &\\lambda a_{1n} \\\\\\lambda a_{21} &\\lambda a_{22} &\\cdots &\\lambda a_{2n} \\\\\\vdots &\\vdots &\\ &\\vdots \\\\\\lambda a_{m1} &\\lambda a_{m2} &\\cdots &\\lambda a_{mn} \\\\\\end{array}\\right)λA=Aλ=​λa11​λa21​⋮λam1​​λa12​λa22​⋮λam2​​⋯⋯ ⋯​λa1n​λa2n​⋮λamn​​​
  行列式数乘是乘某行（列），矩阵数乘是乘每个元素
• 矩阵数乘的运算规律
  1. 结合律：$(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$
  2. 分配律：$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$，$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

2.2.3 矩阵与矩阵相乘

• 定义：设A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij​)是一个$m\times s$矩阵，B=(bij)B=(b_{ij})B=(bij​)是一个$s\times n$矩阵，那么规定矩阵$A$与矩阵$B$的乘积是一个$m\times n$矩阵C=(cij)C=(c_{ij})C=(cij​)，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj=∑k=1saikbkj(i=1,2,⋯ ,m; j=1,2,⋯ ,n)c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\\cdots +a_{is}b_{sj}=\\sum^s_{k=1}a_{ik}b_{kj} \\\\(i=1,2,\\cdots,m;\\ j=1,2,\\cdots,n)cij​=ai1​b1j​+ai2​b2j​+⋯+ais​bsj​=k=1∑s​aik​bkj​(i=1,2,⋯,m; j=1,2,⋯,n)并把此乘积记作$C=AB$
  
  显然，只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘
• 矩阵乘法的运算规律
  1. 结合律：$(AB)C=A(BC)$
  2. 数乘的结合律：$\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$
  3. 分配律：$A(B+C)=AB+AB，(B+C)A=BA+CA$
  4. 单位矩阵再矩阵乘法中作用类似于数字1：EmAm×n=Am×nEn=AE_mA_{m\\times n}=A_{m\\times n}E_n=AEm​Am×n​=Am×n​En​=A
     推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵$\lambda E$与任何同阶方阵都是可交换的，即：(λEn)An=λAn=An(λEn)(\\lambda E_n)A_n=\\lambda A_n=A_n(\\lambda E_n)(λEn​)An​=λAn​=An​(λEn​)

2.2.4 矩阵的幂运算

• 定义：设$A$是n阶方阵，定义A1=A，A2=A1A1，…，Ak+1=AkA1，A^1=A，A^2=A^1A^1，\\dots，A^{k+1}=A^kA^1，A1=A，A2=A1A1，…，Ak+1=AkA1，
  其中$k$为正整数，显然只有方阵的幂才有意义
• 矩阵的幂满足的运算规律
  1. AkAl=Ak+lA^kA^l=A^{k+l}AkAl=Ak+l
  2. (Ak)l=Akl(A^k)^l=A^{kl}(Ak)l=Akl

2.2.5 矩阵的转置

• 定义：把矩阵$A$的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做$A$的转置矩阵，记作ATA^TAT
  注意：若A=ATA=A^TA=AT，则将A称为对称阵；若A=−ATA=-A^TA=−AT，则将A称为反对称阵。
• 转置矩阵的运算性质
  1. (AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A
  2. (A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT
  3. (λA)T=λAT(\\lambda A)^T=\\lambda A^T(λA)T=λAT
  4. (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT（穿脱原则）

2.2.6 方阵的行列式

• 定义：由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵$A$的行列式，记作$detA$或$|A|$。
  注意：方阵与行列式是两个不同概念，$n$阶方阵是n2n^2n2个数按一定方式排列成的数表，而$n$阶行列式则是这个数表的数按一定的运算法则所确定的一个数。
• 由$A$确定的$|A|$满足的运算规律
  1. ∣AT∣=∣A∣|A^T|=|A|∣AT∣=∣A∣（行列式性质1）
  2. ∣λA∣=λn∣A∣|\\lambda A|= \\lambda^n|A|∣λA∣=λn∣A∣
  3. $|AB|=|A||B|$

2.2.7 伴随矩阵

• 定义：行列式$|A|$的各个元素的代数余子式∣Aij∣|A_{ij}|∣Aij​∣所构成的如下的矩阵A∗=∣A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋯⋯⋯⋯A1nA2n⋯Ann∣A^*=\\left|\\begin {array}{c}A_{11} &A_{21} &\\cdots &A_{n1} \\\\A_{12} &A_{22} &\\cdots &A_{n2} \\\\\\cdots &\\cdots &\\cdots &\\cdots \\\\A_{1n} &A_{2n} &\\cdots &A_{nn} \\\\\\end{array}\\right|A∗=​A11​A12​⋯A1n​​A21​A22​⋯A2n​​⋯⋯⋯⋯​An1​An2​⋯Ann​​​称为矩阵A的伴随矩阵。
• 伴随矩阵满足的性质：
  AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|EAA∗=A∗A=∣A∣E

2.3 逆矩阵

2.3.1 定义

• 对于n阶矩阵$A$，如果有一个n阶矩阵$B$，使$$AB=BA=E，$$则说矩阵$A$是可逆的，并把矩阵$B$称为$A$的逆矩阵，简称逆阵。
• 若矩阵$A$是可逆的，那么$A$的逆矩阵是唯一的。
• $A$的逆矩阵记作A−1A^{-1}A−1，即若AB=BA=E，则B=A−1AB=BA=E，则B=A^{-1}AB=BA=E，则B=A−1。

2.3.2 相关定理

1. 若矩阵$A$可逆，则$|A|\ne 0$
2. 若$|A|\ne 0$，则矩阵$A$可逆，且A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\\frac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1​A∗
   由定理1和2可知，$A$是可逆矩阵的充分必要条件是$|A|\ne 0$，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

推论：

1. 若AB=E（或BA=E）,则B=A−1AB=E（或BA=E）,则B=A^{-1}AB=E（或BA=E）,则B=A−1
2. 如果$A、B$为同阶矩阵且均可逆，则A−1、AT、λA(λ≠0)与ABA^{-1}、A^T、\\lambda A(\\lambda \\neq 0)与ABA−1、AT、λA(λ=0)与AB也可逆，且(A−1)−1=A(AT)−1=(A−1)T(λA)−1=1λA−1(AB)−1=B−1A−1(A^{-1})^{-1}=A\\\\(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\\\\(\\lambda A)^{-1}=\\frac{1}{\\lambda}A^{-1}\\\\(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(A−1)−1=A(AT)−1=(A−1)T(λA)−1=λ1​A−1(AB)−1=B−1A−1

2.4 矩阵的初等变换与线性方程组

2.4.1 矩阵的初等变换

• 定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
  1. 对换两行（对换$i，j$两行，记作ri↔rjr_i \\leftrightarrow r_jri​↔rj​）；
  2. 以数$k\ne 0$乘某一行中的所有元（第$i$行乘$k$，记作ri×kr_i \\times kri​×k）；
  3. 把某一行所有元的$k$倍加到另一行对应的元上去（第$j$行的$k$倍加到第$i$行上，记作ri+krjr_i+kr_jri​+krj​）.

把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。

• 显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换：
  1. ri↔rjr_i \\leftrightarrow r_jri​↔rj​的逆变换是其本身
  2. ri×kr_i \\times kri​×k的逆变换是ri×(1k)r_i \\times (\\frac{1}{k})ri​×(k1​)（或记作ri÷kr_i \\div kri​÷k）
  3. ri+krjr_i+kr_jri​+krj​的逆变换为ri+(−k)rjr_i+(-k)r_jri​+(−k)rj​（或记作ri−krjr_i-kr_jri​−krj​）

2.4.2 矩阵之间的等价关系

如果矩阵$A$经有限次初等行变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$B$行等价，记作A∼rBA\\stackrel{r}{\\sim}BA∼rB；如果矩阵$A$经有限次初等列变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$B$列等价，记作A∼cBA\\stackrel{c}{\\sim}BA∼cB；如果矩阵$A$经有限次初等变换变成矩阵$B$，就称矩阵$A$与$B$等价，记作$A\sim B$。

• 矩阵之间的等价关系具有下列性质：
  1. 反身性：$A\sim A$；
  2. 对称性：若$A\sim B$，则$B\sim A$；
  3. 传递性：若$A\sim B$，$B\sim C$，则$A\sim C$.

我们可以通过初等变换来将矩阵变换为“阶梯形”，便于计算：



这些矩阵相互之间的关系可以用下图表示：

2.5 初等变换与矩阵乘法的关系

2.5.1 初等矩阵

• 定义：由单位矩阵$E$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。其中三种初等变换对应有三种初等矩阵
  1. 把单位矩阵中第$i，j$两行对换（或第$i，j$两列对换）
  2. 以数$k\ne 0$乘单位矩阵的第$i$行（或第$i$列）
  3. 以$k$乘单位矩阵的第$j$行加到第$i$行上或以$k$乘单位矩阵的第$i$列加到第$j$列上
• 定理：设$A$与$B$为$m\times n$矩阵，那么
  1. A∼rBA\\stackrel{r}{\\sim}BA∼rB的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$，使$PA=B$；
  2. A∼cBA\\stackrel{c}{\\sim}BA∼cB的充分必要条件是存在$n$阶可逆矩阵$Q$，使$AQ=B$；
  3. $A\sim B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$及$n$阶可逆矩阵$Q$，使$PAQ=B$.
     以上定理可以用初等矩阵与矩阵$A$左乘与右乘证得，同时引出下面定义。

2.5.2 初等变换与矩阵乘法

• 性质：设$A$是一个$m\times n$矩阵，对$A$施行一次初等行变换，相当于在$A$的左边乘相应的$m$阶初等矩阵；对$A$施行一次初等列变换，相当于在$A$的右边乘相应的$n$阶初等矩阵。
  

2.6 矩阵的秩

2.6.1 秩

• 定义：设在矩阵$A$中有一个不等于0的$r$阶子式$D$，且所有$r+1$阶子式（如果存在的话）全等于0，那么$D$称为矩阵$A$的最高阶非零子式，数$r$称为矩阵$A$的秩，记作$R(A)$。并规定零矩阵的秩等于0
  矩阵$A$的秩就是$A$中非零子式的最高阶数
• 关于矩阵的秩有以下结论：
• 一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的，一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数，而两个等价的矩阵的秩相等。
• 矩阵的秩的性质：

2.6.2 结合秩判断线性方程组的解

3.向量组的线性相关性

3.1 向量组及其线性组合

• 向量定义：$n$个有次序的数a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\\cdots,a_na1​,a2​,⋯,an​所组成的数组称为 $n$维向量 ，这$n$个数称为该向量的$n$个分量，第$i$个数aia_iai​称为第$i$个分量。
  • 分量全为实数的向量称为实向量
  • 分量为复数的向量称为复向量
  • 向量分为行向量和列向量
• 向量组定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
  
• 定理：向量$b$能由向量组A:a1,a2,⋯ ,amA:a_1,a_2, \\cdots,a_mA:a1​,a2​,⋯,am​线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,⋯ ,am)A=(a_1,a_2, \\cdots,a_m)A=(a1​,a2​,⋯,am​)的秩等于矩阵B=(b1,b2,⋯ ,bm)B=(b_1,b_2, \\cdots,b_m)B=(b1​,b2​,⋯,bm​)的秩。
  
  
• 定理：向量组B:b1,b2,⋯ ,blB:b_1,b_2, \\cdots,b_lB:b1​,b2​,⋯,bl​能由向量组A:a1,a2,⋯ ,amA:a_1,a_2, \\cdots,a_mA:a1​,a2​,⋯,am​线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,⋯ ,am)A=(a_1,a_2, \\cdots,a_m)A=(a1​,a2​,⋯,am​)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,⋯ ,am,b1,⋯ ,bl)(A,B)=(a_1, \\cdots,a_m,b_1, \\cdots,b_l)(A,B)=(a1​,⋯,am​,b1​,⋯,bl​)的秩，即$R(A)=R(A,B)$
  推论：向量组A:a1,a2,⋯ ,amA:a_1,a_2, \\cdots,a_mA:a1​,a2​,⋯,am​与向量组B:b1,b2,⋯ ,blB:b_1,b_2, \\cdots,b_lB:b1​,b2​,⋯,bl​等价的充分必要条件是$$R(A)=R(B)=R(A,B)$$
  

3.2 向量组的线性相关性

• 定义：给定向量组A:a1,a2,⋯ ,amA:a_1,a_2, \\cdots,a_mA:a1​,a2​,⋯,am​，如果存在不全为零的数k1,k2,⋯ ,kmk_1,k_2, \\cdots,k_mk1​,k2​,⋯,km​使k1a1,k2a2,⋯ ,kmam=0，k_1a_1,k_2a_2, \\cdots,k_ma_m=0，k1​a1​,k2​a2​,⋯,km​am​=0，则称向量组$A$是线性相关的，否则称它线性无关
  

• 线性相关与线性无关有其几何意义：
  

• 线性相关与线性无关的判断非常重要：
  

• 定理：

3.3 向量组的秩

• 定义：设有向量组 $A$ ，如果在 $A $中能选出 $r$个向量a1,a2,⋯ ,ara_1,a_2, \\cdots,a_ra1​,a2​,⋯,ar​满足：
  • 向量组A0：a1,a2,⋯ ,arA_0 ：a_1, a_2, \\cdots, a_rA0​：a1​,a2​,⋯,ar​线性无关；
  • 向量组 $A$中任意$r+1$个向量（如果$A$中有$r+1$个向量的话）都线性相关；
    那么称向量组A0A_0A0​是向量组$A$的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．
    最大无关组所含向量个数$r$称为向量组$A$的秩，记作RAR_ARA​ ．