机器学习零基础小白指南---- 线性代数入门_实验数据集记为d0={x0|y}根号什么意思

前言

线性代数是机器学习的基石。在掌握机器学习的实战技巧之前，数学基础是绕不过去的一环。本文从零基础视角，通过简明易懂的方式，带你掌握线性代数的核心概念，帮助你构建机器学习的数据表示与运算基础。

为什么从线性代数开始？

• 数据表示：机器学习中的数据多以矩阵或向量形式表示，线性代数是理解这些数据的语言。
• 模型构建：从线性回归到神经网络，矩阵运算是核心。
• 特征变换：降维、特征提取等技术都依赖线性代数。

一、向量：数据的基本单元

1.1 向量的定义

向量是线性代数的核心概念之一，可看作一组有序数值的集合，用于描述对象的特征。

例子：
描述一个人的体型：

• 身高：170 厘米
• 体重：65 公斤
• 年龄：30 岁

这些特征可以组合为一个向量：
[
v = [170, 65, 30]
]

1.2 向量的维度与表示

• 维度：向量元素的数量。例如，向量 (v = [170, 65, 30]) 是三维向量。
• 表示方法：
  • 数学形式：列向量或行向量
    [
    v =
    \\begin{bmatrix}
    170 \\
    65 \\
    30
    \\end{bmatrix},\\quad
    v = [170, 65, 30]
    ]
  • 编程形式（Python）：

    import numpy as npv = np.array([[170], [65], [30]]) # 列向量

1.3 向量的基本运算

1. 向量加法
   [
   a = [1, 2],\\quad b = [3, 4],\\quad a + b = [4, 6]
   ]
   Python实现：

a = np.array([1, 2])b = np.array([3, 4])print(a + b)

2. 数乘
   [
   c \\cdot v = [c \\cdot v_1, c \\cdot v_2]
   ]
   例子：
   [
   2 \\cdot [3, 4] = [6, 8]
   ]
   Python实现：

v = np.array([3, 4])c = 2print(c * v)

3. 向量的长度（范数）
   [
   |v| = \\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \\dots + v_n^2}
   ]
   例子：
   [
   v = [3, 4],\\quad |v| = \\sqrt{3^2 + 4^2} = 5
   ]
   Python实现：

from numpy.linalg import normv = np.array([3, 4])print(norm(v))

二、矩阵：多维数据的集合

2.1 什么是矩阵？

矩阵是一个二维数组，由行和列组成，用于表示数据集、模型参数和特征变换。

例子：房价数据集

对应的矩阵表示：
[
X =
\\begin{bmatrix}
50 & 5 \\
100 & 10 \\
150 & 8
\\end{bmatrix}, \\quad y =
\\begin{bmatrix}
100 \\
200 \\
300
\\end{bmatrix}
]

2.2 矩阵的运算

1. 矩阵加法
   两个相同维度的矩阵逐元素相加。
   [
   A =
   \\begin{bmatrix}
   1 & 2 \\
   3 & 4
   \\end{bmatrix}, \\quad B =
   \\begin{bmatrix}
   5 & 6 \\
   7 & 8
   \\end{bmatrix}, \\quad A + B =
   \\begin{bmatrix}
   6 & 8 \\
   10 & 12
   \\end{bmatrix}
   ]
   Python实现：

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])print(A + B)

2. 矩阵乘法
   [
   C = A \\cdot B
   ]
   规则：若 (A) 为 (m \\times n) 矩阵，(B) 为 (n \\times p) 矩阵，则结果为 (m \\times p) 矩阵。
   Python实现：

C = A.dot(B) # 或 np.matmul(A, B)

三、矩阵的高级操作

3.1 矩阵的逆

定义：若存在矩阵 (A^{-1})，使得 (A \\cdot A^{-1} = I) （单位矩阵），则 (A^{-1}) 为 (A) 的逆矩阵。

计算公式（对于 (2 \\times 2) 矩阵）：
[
A =
\\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\\end{bmatrix},\\quad
A^{-1} = \\frac{1}{ad - bc}
\\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\\end{bmatrix}
]
Python实现：

A = np.array([[4, 7], [2, 6]])A_inv = np.linalg.inv(A)print(A_inv)

四、矩阵在机器学习中的应用

4.1 线性回归中的矩阵运算

线性回归目标：找到参数向量 (\\theta)，使得
[
y = X\\theta
]
通过最小化误差：
[
\\min_\\theta |X\\theta - y|^2
]
正规方程解：
[
\\theta = (X^T X)^{-1} X^T y
]
Python实现：

X = np.array([[1, 50], [1, 100], [1, 150]])y = np.array([100, 200, 300])theta = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)print(\"参数向量 theta:\", theta)

结语

线性代数是理解机器学习算法的关键工具。希望本文能帮助你从零基础逐步建立数学认知，为后续学习奠定基础。如果你有任何问题或建议，欢迎评论交流！