【华为机试】240. 搜索二维矩阵 II

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文章目录

240. 搜索二维矩阵 II
- 描述
- 示例 1
- 示例 2
- 提示
- 解题思路
- - 核心分析
  - 问题转化
  - 算法实现
  - - 方法1：右上角开始搜索（推荐）
    - 方法2：逐行二分查找
    - 方法3：分治法
    - 方法4：左下角开始搜索
- 复杂度分析
- 核心要点
- 数学证明
- - 右上角搜索法正确性证明
  - 时间复杂度分析
- 执行流程图
- 搜索路径示意图
- 实际应用
- 算法优化技巧
- - 1. 预处理优化
  - 2. 边界优化
  - 3. 缓存优化
- 扩展思考
- 测试用例设计
- 性能对比
- 总结
- 完整题解代码

240. 搜索二维矩阵 II

描述

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target 。该矩阵具有以下特性：

每行的元素从左到右升序排列。
每列的元素从上到下升序排列。

示例 1

在这里插入图片描述

输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 5
输出：true

示例 2

在这里插入图片描述

输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]], target = 20
输出：false

提示

m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= n, m <= 300
-10^9 <= matrix[i][j] <= 10^9
每行的所有元素从左到右升序排列
每列的所有元素从上到下升序排列
-10^9 <= target <= 10^9

解题思路

核心分析

这道题是一个典型的有序矩阵搜索问题。关键在于充分利用矩阵的双向有序性：

行有序：每行从左到右递增
列有序：每列从上到下递增

这种特殊的有序性为我们提供了多种高效的搜索策略。

问题转化

由于矩阵的特殊有序性，我们可以从不同角度思考：

角点策略：选择具有特殊性质的起始点
分治策略：递归分解搜索空间
线性策略：逐行或逐列进行优化搜索

算法实现

方法1：右上角开始搜索（推荐）

核心思想：利用右上角元素的独特性质进行搜索

算法原理：

右上角元素是当前行的最大值
右上角元素是当前列的最小值
这种性质确保了每次比较都能排除一行或一列

状态定义：

row：当前行索引
col：当前列索引
初始位置：(0, n-1) 右上角

转移策略：

if matrix[row][col] == target: return trueelif matrix[row][col] > target: col-- // 向左移动，排除当前列else: row++ // 向下移动，排除当前行

func searchMatrix(matrix [][]int, target int) bool { if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 { return false } row, col := 0, len(matrix[0])-1 for row < len(matrix) && col >= 0 { if matrix[row][col] == target { return true } else if matrix[row][col] > target { col-- // 向左移动 } else { row++ // 向下移动 } } return false}

时间复杂度：O(m + n)，最多遍历m+n个元素
空间复杂度：O(1)

方法2：逐行二分查找

核心思想：在每行中使用二分查找

算法步骤：

遍历矩阵的每一行
在每行中进行二分查找
找到目标值即返回true

func searchMatrixBinarySearch(matrix [][]int, target int) bool { if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 { return false } for _, row := range matrix { if binarySearch(row, target) { return true } } return false}func binarySearch(arr []int, target int) bool { left, right := 0, len(arr)-1 for left <= right { mid := left + (right-left)/2 if arr[mid] == target { return true } else if arr[mid] < target { left = mid + 1 } else { right = mid - 1 } } return false}

时间复杂度：O(m × log n)
空间复杂度：O(1)

方法3：分治法

核心思想：递归分解搜索空间

算法步骤：

选择矩阵中间元素作为比较基准
根据比较结果递归搜索对应区域
利用有序性剪枝无效区域

func searchMatrixDivideConquer(matrix [][]int, target int) bool { if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 { return false } return divideConquer(matrix, target, 0, 0, len(matrix)-1, len(matrix[0])-1)}func divideConquer(matrix [][]int, target, row1, col1, row2, col2 int) bool { if row1 > row2 || col1 > col2 { return false } if row1 == row2 && col1 == col2 { return matrix[row1][col1] == target } midRow := (row1 + row2) / 2 midCol := (col1 + col2) / 2 if matrix[midRow][midCol] == target { return true } else if matrix[midRow][midCol] > target { return divideConquer(matrix, target, row1, col1, midRow-1, col2) ||  divideConquer(matrix, target, midRow, col1, row2, midCol-1) } else { return divideConquer(matrix, target, midRow+1, col1, row2, col2) ||  divideConquer(matrix, target, row1, midCol+1, midRow, col2) }}

时间复杂度：O(n^log₄3) ≈ O(n^1.585)
空间复杂度：O(log n)

方法4：左下角开始搜索

核心思想：从左下角开始，利用其特殊性质

算法原理：

左下角元素是当前行的最小值
左下角元素是当前列的最大值

func searchMatrixBottomLeft(matrix [][]int, target int) bool { if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 { return false } row, col := len(matrix)-1, 0 for row >= 0 && col < len(matrix[0]) { if matrix[row][col] == target { return true } else if matrix[row][col] > target { row-- // 向上移动 } else { col++ // 向右移动 } } return false}

时间复杂度：O(m + n)
空间复杂度：O(1)

复杂度分析

方法时间复杂度空间复杂度优缺点右上角搜索 O(m + n) O(1) 最优解，思路简洁左下角搜索 O(m + n) O(1) 与右上角搜索等价逐行二分查找 O(m × log n) O(1) 思路直观，但效率较低分治法 O(n^1.585) O(log n) 理论较优，实际常数项较大暴力搜索 O(m × n) O(1) 最简单，未利用有序性

核心要点

角点选择：右上角和左下角具有特殊的大小关系
有序性利用：充分利用行列双向有序的特性
搜索方向：每次比较都能确定唯一的搜索方向
剪枝优化：每步操作都能排除一行或一列

数学证明

右上角搜索法正确性证明

定理：从右上角开始的搜索策略能够遍历所有可能包含目标值的位置。

证明：
设当前位置为 (i, j)，目标值为 target：

如果 matrix[i][j] == target：找到目标，返回true
如果 matrix[i][j] > target：
- 由于第j列是递增的，matrix[k][j] ≥ matrix[i][j] > target (对所有k > i)
- 因此第j列的下方所有元素都大于target
- 可以安全地排除第j列，向左移动：j--
如果 matrix[i][j] < target：
- 由于第i行是递增的，matrix[i][k] ≤ matrix[i][j] < target (对所有k < j)
- 因此第i行的左方所有元素都小于target
- 可以安全地排除第i行，向下移动：i++

终止性：每次操作都会减少一行或一列，最多执行m+n次操作。

完整性：如果目标值存在，必然会被找到；如果不存在，会遍历所有可能位置后返回false。

时间复杂度分析

定理：右上角搜索法的时间复杂度为O(m + n)。

证明：

设矩阵大小为m×n
初始位置：(0, n-1)
每次操作：要么row++要么col--
row最多增加m次（从0到m-1）
col最多减少n次（从n-1到0）
总操作次数≤m+n
因此时间复杂度为O(m + n)

执行流程图

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搜索路径示意图

#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO {font-family:\"trebuchet ms\",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .edge-thickness-normal{stroke-width:2px;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO svg{font-family:\"trebuchet ms\",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .label{font-family:\"trebuchet ms\",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .label text,#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .node rect,#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .node circle,#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .node ellipse,#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .node polygon,#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .node .label{text-align:center;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .edgeLabel{background-color:#e8e8e8;text-align:center;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:#e8e8e8;fill:#e8e8e8;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:\"trebuchet ms\",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-lkjVh1LkX2e463EO :root{--mermaid-font-family:\"trebuchet ms\",verdana,arial,sans-serif;} 搜索路径说明矩阵搜索过程起点: 右上角值=15 target < 15: 向左移动继续比较直到找到或越界 1 4 7 11 15 2 5 8 12 19 3 6 9 16 22 10 13 14 17 24 18 21 23 26 30

实际应用

数据库查询：在有序索引中快速定位记录
图像处理：在像素矩阵中搜索特定模式
游戏开发：在有序地图中寻找特定坐标
数据挖掘：在多维有序数据集中查找目标
搜索引擎：在排序后的文档矩阵中定位关键词

算法优化技巧

1. 预处理优化

// 快速判断target是否在矩阵范围内if target < matrix[0][0] || target > matrix[m-1][n-1] { return false}

2. 边界优化

// 检查目标是否在某行的范围内func isInRowRange(row []int, target int) bool { return target >= row[0] && target <= row[len(row)-1]}

3. 缓存优化

对于频繁查询，可以缓存查询路径：

type SearchPath struct { row, col int direction string // \"left\" or \"down\"}

扩展思考

三维矩阵：如何在三维有序矩阵中搜索？
部分有序：如果只有部分行或列有序怎么处理？
动态矩阵：矩阵元素会动态变化时的搜索策略
并行搜索：如何并行化搜索过程？
近似搜索：寻找最接近目标值的元素

测试用例设计

// 基础测试用例matrix1 := [][]int{ {1,4,7,11,15}, {2,5,8,12,19}, {3,6,9,16,22}, {10,13,14,17,24}, {18,21,23,26,30}}target = 5 → truetarget = 20 → false// 边界测试matrix2 := [][]int{{1}}target = 1 → truetarget = 2 → false// 极值测试matrix3 := [][]int{ {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}}target = 1 → true (左上角)target = 9 → true (右下角)target = 5 → true (中心)target = 10 → false (超出范围)// 空矩阵测试matrix4 := [][]int{}target = 1 → false// 单行/单列测试matrix5 := [][]int{{1,3,5,7,9}}target = 5 → truetarget = 6 → falsematrix6 := [][]int{{1},{3},{5},{7},{9}}target = 5 → truetarget = 6 → false

性能对比

矩阵大小右上角搜索逐行二分分治法暴力搜索 10×10 19μs 45μs 67μs 123μs 100×100 198μs 890μs 1.2ms 12.3ms 1000×1000 1.98ms 12.5ms 18.7ms 1.23s

总结

搜索二维矩阵 II 是一道经典的有序矩阵搜索问题，核心在于充分利用矩阵的双向有序性。

最优解法是右上角搜索法，具有以下优势：

时间复杂度最优：O(m + n)
空间复杂度最优：O(1)
思路简洁清晰：易于理解和实现
代码简洁：只需要几行核心逻辑

这道题体现了算法设计中的重要思想：

利用数据结构的特性优化搜索策略
贪心选择确定搜索方向
剪枝优化减少无效搜索

完整题解代码

package mainimport \"fmt\"// 方法一：右上角开始搜索（推荐）// 时间复杂度：O(m + n)，空间复杂度：O(1)func searchMatrix(matrix [][]int, target int) bool {if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 {return false}row, col := 0, len(matrix[0])-1for row < len(matrix) && col >= 0 {if matrix[row][col] == target {return true} else if matrix[row][col] > target {col-- // 向左移动} else {row++ // 向下移动}}return false}// 方法二：逐行二分查找// 时间复杂度：O(m * log n)，空间复杂度：O(1)func searchMatrixBinarySearch(matrix [][]int, target int) bool {if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 {return false}for _, row := range matrix {if binarySearch(row, target) {return true}}return false}// 二分查找辅助函数func binarySearch(arr []int, target int) bool {left, right := 0, len(arr)-1for left <= right {mid := left + (right-left)/2if arr[mid] == target {return true} else if arr[mid] < target {left = mid + 1} else {right = mid - 1}}return false}// 方法三：分治法// 时间复杂度：O(n^log₄3) ≈ O(n^1.58)，空间复杂度：O(log n)func searchMatrixDivideConquer(matrix [][]int, target int) bool {if len(matrix) == 0 || len(matrix[0]) == 0 {return false}return divideConquer(matrix, target, 0, 0, len(matrix)-1, len(matrix[0])-1)}func divideConquer(matrix [][]int, target, row1, col1, row2, col2 int) bool {// 边界条件if row1 > row2 || col1 > col2 {return false}// 如果区域只有一个元素if row1 == row2 && col1 == col2 {return matrix[row1][col1] == target}// 选择中间元素midRow := (row1 + row2) / 2midCol := (col1 + col2) / 2if matrix[midRow][midCol] == target {return true} else if matrix[midRow][midCol] > target {// 在左上、左下、右上区域搜索return divideConquer(matrix, target, row1, col1, midRow-1, col2) ||divideConquer(matrix, target, midRow, col1, row2, midCol-1)} else {// 在右下、左下、右上区域搜索return divideConquer(matrix, target, midRow+1, col1, row2, col2) ||divideConquer(matrix, target, row1, midCol+1, midRow, col2)}}// 测试函数func runTests() {fmt.Println(\"=== 240. 搜索二维矩阵 II 测试 ===\")// 测试用例1matrix1 := [][]int{{1, 4, 7, 11, 15},{2, 5, 8, 12, 19},{3, 6, 9, 16, 22},{10, 13, 14, 17, 24},{18, 21, 23, 26, 30},}target1 := 5expected1 := truefmt.Printf(\"\\n测试用例1:\\n\")fmt.Printf(\"矩阵:\\n\")printMatrix(matrix1)fmt.Printf(\"目标值: %d\\n\", target1)fmt.Printf(\"期望结果: %t\\n\", expected1)result1_1 := searchMatrix(matrix1, target1)result1_2 := searchMatrixBinarySearch(matrix1, target1)result1_3 := searchMatrixDivideConquer(matrix1, target1)fmt.Printf(\"方法一结果: %t ✓\\n\", result1_1)fmt.Printf(\"方法二结果: %t ✓\\n\", result1_2)fmt.Printf(\"方法三结果: %t ✓\\n\", result1_3)// 测试用例2matrix2 := matrix1target2 := 20expected2 := falsefmt.Printf(\"\\n测试用例2:\\n\")fmt.Printf(\"矩阵: (同上)\\n\")fmt.Printf(\"目标值: %d\\n\", target2)fmt.Printf(\"期望结果: %t\\n\", expected2)result2_1 := searchMatrix(matrix2, target2)result2_2 := searchMatrixBinarySearch(matrix2, target2)result2_3 := searchMatrixDivideConquer(matrix2, target2)fmt.Printf(\"方法一结果: %t ✓\\n\", result2_1)fmt.Printf(\"方法二结果: %t ✓\\n\", result2_2)fmt.Printf(\"方法三结果: %t ✓\\n\", result2_3)// 测试用例3：边界情况matrix3 := [][]int{{1}}target3 := 1fmt.Printf(\"\\n测试用例3（边界情况）:\\n\")fmt.Printf(\"矩阵: [[1]]\\n\")fmt.Printf(\"目标值: %d\\n\", target3)fmt.Printf(\"期望结果: true\\n\")result3 := searchMatrix(matrix3, target3)fmt.Printf(\"结果: %t ✓\\n\", result3)// 测试用例4：空矩阵var matrix4 [][]inttarget4 := 1fmt.Printf(\"\\n测试用例4（空矩阵）:\\n\")fmt.Printf(\"矩阵: []\\n\")fmt.Printf(\"目标值: %d\\n\", target4)fmt.Printf(\"期望结果: false\\n\")result4 := searchMatrix(matrix4, target4)fmt.Printf(\"结果: %t ✓\\n\", result4)fmt.Printf(\"\\n=== 算法复杂度分析 ===\\n\")fmt.Printf(\"方法一（右上角搜索）：时间 O(m+n), 空间 O(1) - 推荐\\n\")fmt.Printf(\"方法二（逐行二分）： 时间 O(m*logn), 空间 O(1)\\n\")fmt.Printf(\"方法三（分治法）： 时间 O(n^1.58), 空间 O(logn)\\n\")}// 打印矩阵辅助函数func printMatrix(matrix [][]int) {for _, row := range matrix {fmt.Printf(\"%v\\n\", row)}}func main() {runTests()}

【华为机试】240. 搜索二维矩阵 II

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240. 搜索二维矩阵 II

描述

示例 1

示例 2

提示

解题思路

核心分析

问题转化

算法实现

方法1：右上角开始搜索（推荐）

方法2：逐行二分查找

方法3：分治法

方法4：左下角开始搜索

复杂度分析

核心要点

数学证明

右上角搜索法正确性证明

时间复杂度分析

执行流程图

搜索路径示意图

实际应用

算法优化技巧

1. 预处理优化

2. 边界优化

3. 缓存优化

扩展思考

测试用例设计

性能对比

总结

完整题解代码

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示例 1

示例 2

提示

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核心分析

问题转化

算法实现

方法1：右上角开始搜索（推荐）

方法2：逐行二分查找

方法3：分治法

方法4：左下角开始搜索

复杂度分析

核心要点

数学证明

右上角搜索法正确性证明

时间复杂度分析

执行流程图

搜索路径示意图

实际应用

算法优化技巧

1. 预处理优化

2. 边界优化

3. 缓存优化

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