线性代数（第四章：方程组）_基础解系书写格式

目录

• 一、方程组的基础知识
• • 1. 方程组的形式
  • 2. 方程组的解
  • • 1）齐次方程组
    • 2）非齐次方程组
    • 3）总结
  • 3. 方程组解的结构与性质
  • • 1）基础解系
    • 2）齐次方程组的通解
    • 3）非齐次方程组的通解
    • 4）方程组解的性质
  • 4. 克拉默法则（用于 Ax = b 求唯一解）
• 二、方程组求解与参数讨论
• • 1. 齐次线性方程组求解原理与解的形式
  • • 1）齐次线性方程组求解原理
    • 2）齐次线性方程组解的形式
  • 2. 非齐次线性方程组求解原理与解的形式
  • • 1）非齐次线性方程组求解原理（与齐次类似）
    • 2）非齐次线性方程组解的形式
  • 3. 含未知参数的线性方程组
  • • 1）未知参数不可求
    • 2）未知参数可求
  • 4. 其他结论
  • • 1）矩阵方程的求解
    • 2）已知通解反求方程组
    • 3）两个方程解的关系
• 三、求基础解系与通解（小题）
• • 1. 利用 AB = O 或 AA* = O 求通解
  • • 1）AB = O
    • 2）AA* = O
    • 3）例题
  • 2. 通解中无关的重要性
  • • 1）解的叠加原理
    • 2）例题
  • 3. 利用妙凑系数求通解（抽象方程组）
  • • 1）技巧
    • 2）例题
  • 4. 利用正交求通解
• 四、方程组解的判定（小题）
• • 1. 概念
  • 2. 例题
• 五、公共解问题
• • 1. 两个方程组（联立解方程）
  • 2. 两个基础解系（写通解令相等求约束）
  • 3. 一个方程+一个基础解系
• 六、同解的总结
• • 1. 同解结论
  • 2. 均是解结论
  • 3. 常见同解方程组
  • 4. 初等行变换的补充
  • 5. 大题
  • • 1）证明两个方程 Ax = 0 和 Bx = 0 同解
    • 2）例题

---

一、方程组的基础知识

1. 方程组的形式

2. 方程组的解

1）齐次方程组

2）非齐次方程组

3）总结

3. 方程组解的结构与性质

1）基础解系

若向量组 η₁ , η₂ ,…, η_r 满足：

• η₁ , η₂ ,…, η_r 为齐次线性方程组 Ax = 0 的解；
• η₁ , η₂ ,…, η_r 为全部解的极大线性无关组。

则称 η₁ , η₂ ,…, η_r 为 Ax = 0 的一个基础解系。

【注意】：

• 基础解系的本质是解向量的极大无关组
• 基础解系需要符合三点要求：① 是解 ，② 个数（s = n - r(A)），③ 无关
• 基础解系不唯一
• 基础解系中向量个数 s = n - r(A)
• 基础解系的线性组合就是齐次的通解，也就是说齐次的解都可以被基础解系的线性组合表示

I、未知个数 = 矩阵列数 = n
II、秩 = 有效方程个数 = 约束 = 主变量个数
III、基础解系中向量个数 = 自由变量的个数 = n - r(A)

2）齐次方程组的通解

若 η₁ , η₂ ,…, η_r 为 Ax = 0 的一个基础解系，则 Ax = 0 的通解为 k₁η₁ + k₂η₂ +…+ k_rη_r ，其中 k₁ , k₂ ,…, k_r 为任意常数。

3）非齐次方程组的通解

若 η₁ , η₂ ,…, η_r 为 Ax = 0 的一个基础解系，η₀ 是 Ax = b 的一个解，则 Ax = b 的通解为 k₁η₁ + k₂η₂ +…+ k_rη_r + η₀ ，其中 k₁ , k₂ ,…, k_r 为任意常数。

★ 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解。

4）方程组解的性质

① 齐次解的线性组合还是齐次的解

设 α₁ , α₂ ,…, α_s 为齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解，则 k₁α₁ + k₂α₂ +…+ k_sα_s 为 Ax = 0 的解，其中 k₁ , k₂ ,…, k_s 为任意常数。

② 非齐 - 非齐 = 齐次解

设 η₁ , η₂ 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个解，则 η₂ - η₁ 为齐次线性方程组 Ax = 0 的解。

③ 非齐解的线性组合

设 α₁ , α₂ ,…, α_s 为非齐次线性方程组 Ax = b 的一组解，则：

• k₁α₁ + k₂α₂ +…+ k_sα_s 为非齐次线性方程组 Ax = b 的解的充分必要条件是 k₁ + k₂ +…+ k_s = 1

• k₁α₁ + k₂α₂ +…+ k_sα_s 为齐次线性方程组 Ax = 0 的解的充分必要条件是 k₁ + k₂ +…+ k_s = 0

4. 克拉默法则（用于 Ax = b 求唯一解）

二、方程组求解与参数讨论

1. 齐次线性方程组求解原理与解的形式

1）齐次线性方程组求解原理

对原方程组的系数矩阵不断做初等行变换最终得到最简行阶梯形矩阵，在每一次初等行变换下，变换后的矩阵所对应的方程组与变换前的矩阵所对应的方程组同解，所以最简行阶梯形矩阵对应的方程组与原方程组同解，所以说我们只要求出最简行阶梯形矩阵所对应的方程组即可。

为什么要得到最简行阶梯形矩阵？因为最简行阶梯形矩阵所对应的方程组是最容易求的。

齐次线性方程组求解本质：对原方程组进行同解转换，最终转换成极易求解的最简行阶梯形矩阵所对应的方程组。

下面〚举一个例子〛：

2）齐次线性方程组解的形式

• 性质一：设 A 是 m × n 的矩阵，r(A) < n ，Ax = 0 有 n - r(A) 个线性无关的解，但没有 n - r(A) + 1 个线性无关的解

• 性质二：设 A 是 m × n 的矩阵，r(A) < n ，若 η₁ , η₂ ,…, η_s（s = n - r(A)）是 Ax = 0 的 s 个线性无关的解，则 Ax = 0 的通解为 k₁η₁ + k₂η₂ +…+ k_sη_s

2. 非齐次线性方程组求解原理与解的形式

1）非齐次线性方程组求解原理（与齐次类似）

2）非齐次线性方程组解的形式

• 性质一：设 A 是 m × n 的矩阵，b 是 m 维列向量，r(A) < n ，若 Ax = b 有解，则 Ax = b 有 n - r(A) + 1 个线性无关的解，但没有 n - r(A) + 2 个线性无关的解

• 性质二：设 A 是 m × n 的矩阵，b 是 m 维列向量，r(A) < n ，若 η 是 Ax = b 的解，η₁ , η₂ ,…, η_s 是 Ax = 0 的 s 个线性无关的解（其中 s = n - r(A)），则 Ax = b 的通解为 k₁η₁ + k₂η₂ +…+ k_sη_s + η

3. 含未知参数的线性方程组

1）未知参数不可求

需对未知参数的值进行讨论

2）未知参数可求

求出未知参数后变常规题，通常需要利用到如下结论：

• 若 Ax = b 有两个不同的解，则 Ax = b 有无穷多个解
• 若 Ax = b 有 s 个线性无关的解，则 Ax = 0 有 s - 1 个线性无关的解

4. 其他结论

1）矩阵方程的求解

矩阵方程的求解是一样的，也是对增广矩阵作初等行变换，让系数矩阵变成最简行阶梯形矩阵。

2）已知通解反求方程组

构造齐次方程组使得其通解为 k₁·[1, 1, 0, 1]^T + k₂·[1, 0, 1, 1]^T

构造非齐次方程组使得其通解为 k₁·[1, 1, 0, 1]^T + k₂·[1, 0, 1, 1]^T + [1, 2, 3, 4]^T
（由 k₁·[1, 1, 0, 1]^T + k₂·[1, 0, 1, 1]^T 求出 Ax = b 中的 A ，代入 [1, 2, 3, 4]^T 求出 Ax = b 中的 b）

3）两个方程解的关系

• Ax = 0 和 PAx = 0 解的关系：Ax = 0 的解都是 PAx = 0 的解
• Ax = 0 和 APx = 0 解的关系：Ax = 0 有非零解 ←P可逆→ APx = 0 有非零解
• Ax = b 和 APx = b 解的关系：Ax = b 有解 ←P可逆→ APx = b 有解

注：什么样的矩阵可以表示成 PA 或 AP ？

• 当 B 的行向量都可以由 A 的行向量表示时，则 B 可以表示为 A 左乘某一个矩阵
• 当 B 的列向量都可以由 A 的列向量表示时，则 B 可以表示为 A 右乘某一个矩阵

三、求基础解系与通解（小题）

求方程 Ax = 0 及 Ax = b 的通解，其中 A 是 m × n 矩阵

求方程 Ax = 0 的通解步骤：

• 确定基础解系解向量个数，即 n - r(A)（也就是要确定 r(A)）
• 找出 n - r(A) 个线性无关的解

求方程 Ax = b 的通解步骤：

• 确定 Ax = 0 的基础解系解向量个数，即 n - r(A)（也就是要确定 r(A)）
• 找出 Ax = 0 的 n - r(A) 个线性无关的解
• 找出 Ax = b 的一个解

1. 利用 AB = O 或 AA* = O 求通解

1）AB = O

若 AB = O ，则有 B 的列向量均是 Ax = 0 的通解

2）AA* = O

若 AA* = O ，则有 A* 的列向量均是 Ax = 0 的通解

r(A) < n ⇔ |A| = 0 ⇔ A 不可逆 ⇔ Ax = 0 有非零解
特别地，若 n 阶矩阵 A 不可逆，且 a₁₂ 的代数余子式 A₁₂ ≠ 0 ⇒ r(A) = n-1

【拓展】：

求方程 A*x = 0 的通解步骤：（其中 A 是 n × n 矩阵）

• 确定基础解系解向量个数，即 n - r(A*) ，也就是要确定 r(A*)
  

• 找出 n - r(A*) 个线性无关的解（A 的列向量都是方程 A*x = 0 的解）

3）例题

2. 通解中无关的重要性

1）解的叠加原理

若 α₁ 是 Ax = b₁ 的解，α₂ 是 Ax = b₂ 的解，则 α₁ ± α₂ 是 Ax = b₁ ± b₂ 的解

由此可推出如下结论：

• 若 α₁ 是 Ax = 0 的解，α₂ 是 Ax = 0 的解，则 α₁ ± α₂ 是 Ax = 0 的解（齐次解 ± 齐次解 = 齐次解）

• 若 α₁ 是 Ax = 0 的解，α₂ 是 Ax = b 的解，则 α₁ + α₂ 是 Ax = b 的解（齐次解 + 非齐次解 = 非齐次解）

• 若 α₁ 是 Ax = b 的解，α₂ 是 Ax = b 的解，则 α₁ - α₂ 是 Ax = 0 的解（非齐次解 - 非齐次解 = 齐次解）

• 若 α₁ 是 Ax = b 的解，α₂ 是 Ax = b 的解，则 k₁α₁ + k₂α₂ 是 Ax = (k₁ + k₂)·b 的解，特别地，当 k₁ + k₂ = 1 时，k₁α₁ + k₂α₂ 是 Ax = b 的解

2）例题

3. 利用妙凑系数求通解（抽象方程组）

1）技巧

2）例题

4. 利用正交求通解

若 α 与 β 是正交的两个不同的 n 维列向量，则 α^Tβ = β^Tα = 0 ，而 α^Tα = α 的模长，β^Tβ = β 的模长。

例题：

四、方程组解的判定（小题）

1. 概念

确定方程 Ax = 0 及 Ax = b 解的情况：

设 A 是 m × n 矩阵，有如下结论

• Ax = 0：当 r(A) = n 时仅有零解；当 r(A) < n 时有无穷多解
• Ax = b：当 r(A,b) ≠ r(A) 时无解；当 r(A,b) = r(A) = n 时有唯一解；当 r(A,b) = r(A) < n 时有无穷多解

注意：上述总结中，反推不成立！

2. 例题

五、公共解问题

【重点】：

1. 两个方程组（联立解方程）

2. 两个基础解系（写通解令相等求约束）

还有另一种方法，转换成一个新的方程组：

Ax = 0 有基础解系 ξ₁ 与 ξ₂ ，Bx = 0 有基础解系 η₁ 与 η₂ ，
I、若 Ax = 0 和 Bx = 0 有非零公共解 ⇒ k₁·ξ₁ + k₂·ξ₂ - k₃·η₁ - k₄·η₂ = 0 有非零解；
II、若 Ax = 0 和 Bx = 0 没有非零公共解 ⇒ k₁·ξ₁ + k₂·ξ₂ - k₃·η₁ - k₄·η₂ = 0 仅有零解。
注意：Ax = 0 与 Bx = 0 一定有公共解！

3. 一个方程+一个基础解系

六、同解的总结

1. 同解结论

同解 = 初等行变换 = 行向量组等价 = 三秩相等。

【例题】：

2. 均是解结论

【总结】：

【例题】：

3. 常见同解方程组

【拓展】：

• Ax = 0 与 A^TAx = 0 同解（√）
• Ax = 0 与 AA^Tx = 0 同解（×）
• A^Tx = 0 与 AA^Tx = 0 同解（√）
• A^Tx = 0 与 A^TAx = 0 同解（×）

【例题】：

设 A 是 n 阶矩阵，方程组 (I) Ax = 0 和 (II) A^TAx = 0 ，必有（A）

A. II 的解是 I 的解，I 的解也是 II 的解
B. II 的解是 I 的解，I 的解不是 II 的解
C. I 的解是 II 的解，II 的解不是 I 的解
D. I 的解不是 II 的解，II 的解不是 I 的解

4. 初等行变换的补充

• 初等行变换，A 与 B 的行向量组等价

• 初等行变换不改变列向量组的线性关系，初等行变换会改变行向量组的线性关系；
  初等列变换不改变行向量组的线性关系，初等列变换会改变列向量组的线性关系

【例题】：

设 A = [α₁ , α₂ , … , α_n] 经过若干次初等行变换得 B = [β₁ , β₂ , … , β_n] ，则 A 与 B 有（B）

A. 对应的任何部分行向量组具有相同的线性相关性
B. 对应的任何部分列向量组具有相同的线性相关性
C. 对应的任何 k 阶子式同时为零或同时不为零
D. 对应的非齐次方程组 Ax = b 和 Bx = b 是同解方程组

5. 大题

1）证明两个方程 Ax = 0 和 Bx = 0 同解

2）例题