【数学建模】【优化算法】：【MATLAB】从【一维搜索】到】非线性方程】求解的综合解析_数学建模 黄金分割

目录

第一章：一维搜索问题

黄金分割法

股票交易策略优化

总结：

第二章：线性规划

线性规划（Simplex 算法）

生产计划优化

总结：

第三章：无约束非线性优化问题

梯度下降法

神经网络训练

总结：

牛顿法

非线性系统求解

总结：

第四章：有约束非线性优化问题

拉格朗日乘数法

机械设计优化

总结：

第五章：二次规划

二次规划

投资组合优化

总结：

第六章：混合整数线性规划

混合整数线性规划（MILP）

工厂选址问题

总结：

第七章：多目标规划

多目标规划（权重法）

生产计划优化

总结：

第八章：极大最小化

极大最小化

供货中心选址问题

总结：

第九章：半无限问题

半无限优化

天线设计优化

总结：

第十章：最小二乘问题

线性最小二乘法

数据拟合

总结：

第十一章：非线性方程（组）的求解

牛顿法

非线性系统求解

总结：

割线法

非线性方程求解

总结：

总结

专栏：数学建模学习笔记

第一章：一维搜索问题

黄金分割法

应用类型： 函数优化问题

算法简介： 黄金分割法是一种用于一维搜索问题的优化算法，特别适用于无导数信息的目标函数。通过利用黄金分割比（φ ≈ 0.618），该算法逐步缩小搜索区间，以快速逼近极值点。黄金分割法在优化问题中具有高效性和稳健性，特别适用于目标函数光滑但无导数信息的情况。

优势：

1. 效率高： 通过逐步缩小搜索区间，迅速逼近极值点。
2. 简单易用： 算法步骤简单，容易实现和理解。
3. 无需导数信息： 适用于目标函数不易求导或不可导的情况。

应用领域： 黄金分割法广泛应用于各种一维搜索优化问题，如经济学中的定价策略、金融学中的投资决策、工程中的设计参数优化等。

股票交易策略优化

已知数据： 假设某只股票在一个交易日中的价格变化函数如下：

其中，t是交易时间，以小时为单位。我们希望找到在交易日内（0到10小时）最佳的买入和卖出时机，以最大化利润。

% 定义股票价格变化函数price = @(t) -0.1*t.^3 + 2*t.^2 - 15*t + 50;% 黄金分割法function [xmin, fmin] = golden_section_search(f, a, b, tol) phi = (sqrt(5) - 1) / 2; % 黄金分割比 c = b - phi * (b - a); d = a + phi * (b - a); while (b - a) > tol if f(c) < f(d) b = d; else a = c; end c = b - phi * (b - a); d = a + phi * (b - a); end xmin = (a + b) / 2; fmin = f(xmin);end% 定义搜索区间和容差a = 0;b = 10;tol = 1e-5;% 使用黄金分割法找到最佳买入和卖出时机[xmin, fmin] = golden_section_search(price, a, b, tol);fprintf(\'Optimal time to buy/sell: %.5f\\n\', xmin);fprintf(\'Optimal price: %.5f\\n\', fmin);

代码解释：

1. 定义目标函数：函数 price 表示股票价格随时间的变化。
2. 黄金分割法实现：函数 golden_section_search 使用黄金分割比 φ 逐步缩小搜索区间，寻找极值点。
3. 搜索区间和容差：初始化搜索区间为 0 到 10 小时，设置容差为 1e-5。
4. 求解最优时机：调用 golden_section_search 函数，找到最佳的买入和卖出时机，并打印结果。

总结：

黄金分割法在无导数信息的情况下，通过逐步缩小搜索区间，能够高效地找到目标函数的极值点。在股票交易策略优化竞赛中，利用黄金分割法可以有效地确定最佳的买入和卖出时机，以最大化交易利润。

第二章：线性规划

线性规划（Simplex 算法）

应用类型： 资源分配、生产计划、投资组合优化

算法简介： 线性规划（Linear Programming，LP）是一类求解线性目标函数在一组线性约束条件下的优化问题的算法。Simplex 算法是最经典的线性规划求解算法之一。它通过逐步移动顶点来搜索可行区域，最终找到最优解。Simplex 算法以其高效性和鲁棒性，广泛应用于各种线性优化问题中。

优势：

1. 效率高： Simplex 算法在大多数情况下能够高效求解线性规划问题。
2. 鲁棒性强： 适用于各种线性约束和目标函数。
3. 全局最优： 线性规划问题的全局最优解能够通过 Simplex 算法求得。

应用领域： 线性规划广泛应用于资源分配、生产计划、物流调度、金融投资组合优化等地方。

生产计划优化

已知数据： 某工厂生产两种产品 P1 和 P2，每种产品的利润分别为 40 美元和 30 美元。生产每种产品需要的资源如下表：

工厂每天最多有 100 小时的资源1和 80 小时的资源2。目标是通过合理分配资源以最大化利润。

% 定义目标函数和约束f = [-40; -30]; % 注意：由于 linprog 求解的是最小值，这里取负A = [2, 1; 1, 2];b = [100; 80];lb = [0; 0];ub = [];% 求解线性规划问题[x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, ub);fprintf(\'Optimal production of P1: %.2f units\\n\', x(1));fprintf(\'Optimal production of P2: %.2f units\\n\', x(2));fprintf(\'Maximum profit: $%.2f\\n\', -fval);

代码解释：

1. 定义目标函数：向量 f 表示每种产品的单位利润，由于 linprog 求解的是最小化问题，所以取负。
2. 定义约束条件：矩阵 A 和向量 b 分别表示线性约束条件的系数矩阵和右端项，lb 和 ub 表示变量的下界和上界。
3. 求解线性规划问题：调用 linprog 函数，求解最优生产计划，并打印结果。

总结：

线性规划（Simplex 算法）通过高效求解线性目标函数在一组线性约束条件下的最优解，广泛应用于各种资源分配和生产计划优化问题。在生产计划优化竞赛中，利用 Simplex 算法可以有效地确定最优的生产组合，以最大化工厂利润。

第三章：无约束非线性优化问题

梯度下降法

应用类型： 参数优化、机器学习模型训练

算法简介： 梯度下降法（Gradient Descent）是一种用于无约束非线性优化问题的迭代算法。它通过沿着目标函数梯度的反方向逐步更新变量，从而逼近函数的极小值。梯度下降法因其简单易用和适用广泛，成为机器学习模型训练和参数优化中的常用算法。

优势：

1. 简单易用： 算法简单，易于实现。
2. 适用广泛： 适用于多种无约束非线性优化问题。
3. 收敛速度可控： 通过调整步长，可以控制收敛速度和精度。

应用领域： 梯度下降法广泛应用于机器学习模型训练、参数优化、图像处理、信号处理等地方。

神经网络训练

已知数据： 假设一个简单的二次函数作为训练误差函数：

我们希望通过优化权重参数 w使得训练误差最小。

% 定义训练误差函数及其梯度E = @(w) (w(1) - 3)^2 + (w(2) - 2)^2;grad_E = @(w) [2*(w(1) - 3); 2*(w(2) - 2)];% 梯度下降法function [w, fval] = gradient_descent(E, grad_E, w0, alpha, tol) w = w0; while norm(grad_E(w)) > tol w = w - alpha * grad_E(w); end fval = E(w);end% 定义初始权重、步长和容差w0 = [0; 0];alpha = 0.1;tol = 1e-5;% 使用梯度下降法优化权重参数[w, fval] = gradient_descent(E, grad_E, w0, alpha, tol);fprintf(\'Optimal weights: w1 = %.5f, w2 = %.5f\\n\', w(1), w(2));fprintf(\'Minimum error: %.5f\\n\', fval);

代码解释：

1. 定义目标函数及其梯度：函数 E 表示训练误差函数，grad_E 表示其梯度。
2. 梯度下降法实现：函数 gradient_descent 使用梯度下降法，通过沿着梯度反方向更新权重参数，逐步逼近极小值。
3. 初始权重、步长和容差：初始化权重参数为 [0; 0]，设置步长为 0.1，容差为 1e-5。
4. 优化权重参数：调用 gradient_descent 函数，优化权重参数，并打印结果。

总结：

梯度下降法通过沿着目标函数梯度的反方向更新变量，能够有效地逼近函数的极小值。在神经网络训练竞赛中，利用梯度下降法可以有效地优化权重参数，以最小化训练误差。

牛顿法

应用类型： 参数优化、高精度问题求解

算法简介： 牛顿法（Newton\'s Method）是一种用于求解无约束非线性优化问题的迭代算法。它利用