反射式光耦-码盘系统信号占空比数学建模与分析

反射式光耦-码盘系统信号占空比数学建模与分析

• 1. 系统物理模型构建
• • 1.1 码盘几何模型
  • 1.2 光耦响应模型
  • 1.3 信号处理电路
• 2. 占空比数学推导
• • 2.1 单个扇区输出特性
  • 2.2 占空比表达式
• 3. 占空比偏差来源分析
• • 3.1 码盘制造误差
  • 3.2 光耦响应非线性
  • 3.3 安装偏心误差
• 4. 占空比偏差数学表达式
• 5. 仿真验证与参数优化
• • 5.1 蒙特卡洛仿真（参考）
  • 5.2 补偿策略
• 6. 结论

本文针对反射式光耦-码盘系统的信号占空比特性展开数学建模与误差分析。研究构建了包含码盘几何模型、光耦非线性响应及信号处理电路的完整物理模型，其中码盘由明暗交替扇区构成，实际制造误差通过角度偏差 Δ θ i Δθ_i Δθi​描述，光耦输出电压与反射率及入射角相关，并受比较器迟滞效应调制。通过推导单个扇区上升/下降时间与有效电平时间的数学关系，建立了占空比表达式，揭示其偏差来源于制造误差（ Δ θ i Δθ_i Δθi​导致高低电平不对称）、光耦响应非线性（上升/下降时间差 Δ D r e s p o n s e ΔD_{response} ΔDresponse​）及安装偏心（$\epsilon$引起的反射率周期调制）。综合误差模型表明，占空比偏差由三项误差分量叠加形成。蒙特卡洛仿真验证了模型有效性，结果显示标准差 σ D ≈ 1.2 σ_D≈1.2% σD​≈1.2。进一步提出硬件差分补偿与软件FFT重构的优化策略，通过控制码盘加工精度（ Δ θ i < 0.05 ° Δθ_i<0.05° Δθi​<0.05°）、缩短光耦响应时间（$\tau <5\mu s$）及限制偏心量（$e<0.01r$），可将偏差抑制至$\text{0.5\%}$以内。该研究为光电编码器设计提供了量化分析框架与误差抑制方法。

1. 系统物理模型构建

1.1 码盘几何模型

• 理想码盘：由$N$个明（反射率 R high R_{\\text{high}} Rhigh​）暗（反射率 R low R_{\\text{low}} Rlow​）交替的扇形区域构成，每个扇区理论角度为 θ 0 = 2 π 2 N = π N \\displaystyle \\theta_0 =\\frac{2\\pi }{2N}=\\frac{\\pi }{N} θ0​=2N2π​=Nπ​。
• 实际码盘：引入制造误差 Δ θ i \\Delta\\theta_i Δθi​，其中 Δ θ i \\Delta\\theta_i Δθi​服从独立同分布（IID），第 $i$个扇区实际角度为 θ i = θ 0 + Δ θ i \\theta_i = \\theta_0 + \\Delta\\theta_i θi​=θ0​+Δθi​，满足期望值 E [ Δ θ i ] = ∑ i = 1 2 N Δ θ i = 0 \\displaystyle \\mathbb{E}[\\Delta\\theta_i]=\\sum_{i=1}^{2N} \\Delta\\theta_i = 0 E[Δθi​]=i=1∑2N​Δθi​=0（明暗区域总数为$2N$）。

1.2 光耦响应模型

• 发射光强 I emit I_{\\text{emit}} Iemit​恒定，接收光强与反射率$R$及入射角$\varphi$余弦成正比。接收光强 I received ∝ R ⋅ I emit ⋅ cos ⁡ ϕ I_{\\text{received}} \\propto R \\cdot I_{\\text{emit}} \\cdot \\cos\\phi Ireceived​∝R⋅Iemit​⋅cosϕ，其中$\varphi$为入射角偏差，假设 ϕ ∼ N ( 0 , σ ϕ 2 ) \\phi \\sim \\mathcal{N}(0, \\sigma_\\phi^2) ϕ∼N(0,σϕ2​)。
• 输出电压 V out = V DD ⋅ I received I sat \\displaystyle V_{\\text{out}} = V_{\\text{DD}} \\cdot \\frac{I_{\\text{received}}}{I_{\\text{sat}}} Vout​=VDD​⋅Isat​Ireceived​​，其中， V DD V_{\\text{DD}} VDD​为电路的直流电源电压； I sat I_{\\text{sat}} I