16、矩阵增广_增广矩阵

文章目录

• • 引言
  • 描述
  • • 增广矩阵的构成
    • 增广矩阵的作用
    • 增广矩阵求解线性方程组
    • • 1. 建立增广矩阵
      • 2. 行简化
      • 3. 回代求解
      • 4. 检查解的情况
  • 示例

引言

增广矩阵（Augmented Matrix）是线性代数中的一个概念，它用于解决线性方程组。增广矩阵是通过将线性方程组的系数矩阵与常数项向量合并而成的矩阵。这种矩阵的特点是它在系数矩阵的右侧增加了一列，用于存放方程组中每个方程的常数项。

描述

增广矩阵的构成

增广矩阵通常具有以下形式：

其中，( aij ) 是原始线性方程组中第 ( i ) 个方程的系数，( bi ) 是第 ( i ) 个方程的常数项。

增广矩阵的作用

1. 表示线性方程组：增广矩阵提供了一种紧凑的方式来表示线性方程组。

2. 行简化：通过行操作（如交换行、将一行乘以非零标量、将一行加到另一行上），增广矩阵可以被转换为行阶梯形或简化行阶梯形，这有助于找到线性方程组的解。

3. 解线性方程组：增广矩阵的行阶梯形或简化行阶梯形可以用来确定线性方程组的解，包括唯一解、无穷多解或无解的情况。

4. 高斯-诺尔方法：增广矩阵是应用高斯-诺尔方法（Gaussian Elimination）的基础，这是一种系统地解线性方程组的方法。
   

增广矩阵求解线性方程组

使用增广矩阵求解线性方程组是线性代数中的一个基本方法，通常通过高斯-诺尔方法（Gaussian elimination）来实现。以下是使用增广矩阵求解线性方程组的步骤：

1. 建立增广矩阵

首先，将线性方程组写成标准形式，并构建增广矩阵。对于线性方程组：

增广矩阵 ( A|B ) 将是：

其中，( A ) 是系数矩阵，( B ) 是常数项向量。

2. 行简化

使用初等行变换将增广矩阵转换为行阶梯形或简化行阶梯形。这包括：

• 交换两行以将较大的主元（pivot）移动到更优的位置。
• 将一行乘以非零标量，使得主元变为1。
• 将一行加到另一行上，以消除其他行中的主元下方的元素。

3. 回代求解

一旦增广矩阵达到行阶梯形或简化行阶梯形，就可以使用回代（back substitution）来求解变量。从最后一行开始，逐行求解每个变量的值。

4. 检查解的情况

唯一解：如果每个变量都有一个唯一的值，那么方程组有唯一解。

无穷多解：如果存在自由变量（即某些变量可以取任意值），方程组有无穷多解。

无解：如果行阶梯形中出现形式为 ([0 0 … 0 | c]) 且 ( c ≠ 0 )，则方程组无解。

示例

考虑以下线性方程组：

增广矩阵为：

执行行简化：

回代求解：

因此，解为 ( x = 1 ) 和 ( y = 2 )。

增广矩阵是线性代数中一个非常基础的工具，它使得线性方程组的表示和求解过程更加系统化和清晰。