【AI数学基础】线性代数：矩阵和线性变换_线性代数 ai

（观前提醒，这是工科AI相关的数学基础的学习笔记，不是数学专业的文章，所以没有严谨的证明和定义，数院大神请勿批评）

3. 矩阵和线性变换

3.1 定义和例子

3.1.1 矩阵的定义

由$m\times n$个数 a i j ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n ) a_{ij}(i=1,2,\\cdots,m;j=1,2,\\cdots,n) aij​(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)排成的$m$行$n$列的数表
a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m \\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 m} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 m} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \\cdots & a_{n m} \\end{array} a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋮⋯​a1m​a2m​⋮anm​​
称为$m$行$n$列矩阵，简称$m\times n$矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作：
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ) \\mathbf{A}=\\left(\\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1 m} \\\\ a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2 m} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots \\\\ a_{n 1} & a_{n 2} & \\cdots & a_{n m} \\end{array}\\right) A= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋮⋯​a1m​a2m​⋮anm​​ ​
这$m\times n$个数称为矩阵$\mathbf{A}$的元素，简称为元（我超，元），数 a i j a_{ij} aij​位于矩阵$\mathbf{A}$的第$i$行第$j$列。

3.1.2 特殊的矩阵

• 行数与列数都等于$n$（即行数与列数相等）的矩阵称为$n$阶方阵，$n$阶矩阵$\mathbf{A}$也记作 A n \\mathbf{A}_n An​；
• 只有一行的矩阵，也称行矩阵或者行向量；
• 只有一列的矩阵，也称列矩阵或者列向量。

3.1.3 例子

灰度图像在计算机中是一个二维的矩阵，像素点的数值越小，该像素点对应的颜色越接近于黑色；像素点的数值越大，该像素点对应的颜色越接近白色，像素点的取值是0-255：

某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵：
A = ( a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 ) \\mathbf{A}=\\left(\\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\end{array}\\right) A= ​a11​a21​a31​​a12​a22