Java:实现在增广矩阵上使用高斯消去法来求矩阵的逆算法（附带源码）
项目背景详细介绍
在数值计算与线性代数应用中，矩阵求逆是最基本且最重要的操作之一。矩阵逆被广泛用于线性方程组求解、最小二乘、控制系统设计、信号处理、计算机视觉等地方。对于一个可逆的 n×n 矩阵 A，求得其逆矩阵 A⁻¹ 后，可以通过 A⁻¹·b 直接求解 A·x=b，极大简化计算。
Java 语言在企业应用、科学计算、教学演示上得到广泛应用。但 Java 标准库并未内置矩阵求逆接口。常见的做法是调用第三方库（如 Apache Commons Math、EJML），但在学习或教学场景中，手写一个基于增广矩阵的高斯消去求逆算法，有助于深入理解行初等变换与矩阵逆的本质，同时也能锻炼编程能力。
项目需求详细介绍
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功能需求
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输入：任意可逆的 n×n 矩阵 A，元素类型为
double。 -
输出：矩阵 A 的逆矩阵 A⁻¹，或在 A 不可逆时抛出异常提示。
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性能需求
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时间复杂度：O(n³)，与高斯消去法求解线性方程组一致。
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空间复杂度：O(n²)，用于存储增广矩阵。
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健壮性需求
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输入校验：若 A 不是方阵，抛出
IllegalArgumentException； -
可逆性判断：若在消去过程中发现主元接近零（小于某阈值），判定矩阵奇异，抛出
RuntimeException；
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可扩展需求
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支持取模矩阵逆（如在有限域或整数模 p 场景）；
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支持多线程并行消去（后续优化）；
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使用需求
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提供易用的静态方法
invert(double[][] A)； -
在控制台打印函数中，方便测试与调试；
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相关技术详细介绍
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增广矩阵思想
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将待求逆矩阵 A 与单位矩阵 I 拼接成增广矩阵 [A | I]；
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对其施行行初等变换，将左半部分化为 I，则右半部分即变为 A⁻¹。
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行初等变换
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交换两行（row swap）：交换任意两行；
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行乘常数（row scale）：将一行乘以非零常数；
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行加至另一行（row addition）：将一行的 k 倍加至另一行。
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主元选择策略
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为提高数值稳定性，可采用“部分主元”策略（partial pivoting），即在当前列下方选绝对值最大的元素作为主元，交换到对角位置。
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误差与奇异判定
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在浮点计算中避免除以非常小的数；当主元绝对值 < 1e-10 时，判定矩阵为奇异。
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实现思路详细介绍
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构造增广矩阵
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输入 A（n×n），创建
aug（n×2n），前 n 列填 A，后 n 列填单位矩阵 I。
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逐列消去
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对每列 i=0…n−1：
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在第 i 列的第 i…n−1 行中，选取绝对值最大的主元行
maxRow； -
若
aug[maxRow][i]绝对值小于阈值，则矩阵奇异，退出； -
交换行 i 与
maxRow； -
将第 i 行除以主元，使
aug[i][i]=1； -
对所有行 k ≠ i，令因子 =
aug[k][i]，用第 i 行的因子倍消去第 k 行第 i 列，使其为 0；
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提取逆矩阵
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当左半部分消为单位矩阵后，右半部分即为逆矩阵。
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返回结果
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将
aug中的右半部分复制到新的 n×n 数组并返回。
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完整实现代码
//=== File: MatrixInverse.java ===package com.example.matrixinverse;/** * 使用增广矩阵与高斯消去法求解 n×n 矩阵的逆 */public class MatrixInverse { /** * 计算矩阵 A 的逆矩阵 * @param A 输入方阵，大小 n×n * @return A 的逆矩阵，大小 n×n * @throws IllegalArgumentException 当 A 不是方阵时抛出 * @throws RuntimeException 当 A 不可逆（奇异）时抛出 */ public static double[][] invert(double[][] A) { int n = A.length; // 校验方阵 for (double[] row : A) { if (row.length != n) { throw new IllegalArgumentException(\"输入矩阵必须为方阵\"); } } // 构造增广矩阵 aug[n][2n] double[][] aug = new double[n][2 * n]; for (int i = 0; i < n; i++) { System.arraycopy(A[i], 0, aug[i], 0, n); aug[i][n + i] = 1.0; } // 高斯消去（带部分主元） for (int i = 0; i < n; i++) { // 主元选择 int maxRow = i; for (int k = i + 1; k Math.abs(aug[maxRow][i])) { maxRow = k; } } // 奇异判断 if (Math.abs(aug[maxRow][i]) < 1e-10) { throw new RuntimeException(\"矩阵不可逆（奇异矩阵）\"); } // 交换当前行与主元行 double[] temp = aug[i]; aug[i] = aug[maxRow]; aug[maxRow] = temp; // 归一化主元行 double pivot = aug[i][i]; for (int j = 0; j < 2 * n; j++) { aug[i][j] /= pivot; } // 消去其他行 for (int k = 0; k < n; k++) { if (k != i) { double factor = aug[k][i]; for (int j = 0; j < 2 * n; j++) { aug[k][j] -= factor * aug[i][j]; } } } } // 提取逆矩阵 double[][] inv = new double[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { System.arraycopy(aug[i], n, inv[i], 0, n); } return inv; } /** * 打印矩阵 */ public static void printMatrix(double[][] M) { for (double[] row : M) { for (double v : row) { System.out.printf(\"%10.4f\", v); } System.out.println(); } } //=== File: Main.java === public static void main(String[] args) { double[][] A = { {4, 7, 2}, {3, 5, 1}, {2, 1, 3} }; System.out.println(\"原矩阵 A：\"); printMatrix(A); try { double[][] invA = invert(A); System.out.println(\"A 的逆矩阵 A⁻¹：\"); printMatrix(invA); } catch (RuntimeException ex) { System.err.println(\"计算失败: \" + ex.getMessage()); } }}代码详细解读
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invert方法：将输入方阵 A 扩展为 [A|I]，通过带部分主元的高斯消去，将左半部分化为单位矩阵，从而右半部分即为 A⁻¹； -
printMatrix方法：格式化打印任意浮点型矩阵； -
main方法：演示 A 的求逆，包含正常场景与奇异矩阵异常捕获。
项目详细总结
本文通过增广矩阵与高斯消去法，实现了 Java 平台上 n×n 矩阵求逆的完整算法。我们在消去过程中加入部分主元选择，提高数值稳定性，并对奇异矩阵进行了判断与异常处理。整个实现简洁明了，时间复杂度 O(n³)、空间复杂度 O(n²)，便于教学与改造。
项目常见问题及解答
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问：为什么要用部分主元？
答：部分主元可避免除以接近零的数，减少浮点误差累积，增强算法稳定性。 -
问：如何处理整型矩阵求逆？
答：整型矩阵若要求精确逆，需在有理数域中计算，可使用BigDecimal或分数型Rational类； -
问：当矩阵不可逆时有何优化？
答：可在抛出异常前返回伪逆（Moore–Penrose 伪逆）或最小二乘解。
扩展方向与性能优化
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并行消去：利用 Java 并行流或 Fork/Join 并行处理各行消去，提升多核性能；
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稀疏矩阵优化：对大规模稀疏矩阵，使用压缩存储格式（CSR/CSC），只对非零元素进行操作；
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分块算法：对超大矩阵分块消去，提高缓存局部性；
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高性能本地库：通过 JNI 调用 LAPACK、BLAS 等本地高性能线性代数库；
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GPU 加速：使用 JCuda、Aparapi，将核心消去内核部署至 GPU；
