【数学建模】——多领域资源优化中的创新应用-六大经典问题解答_数学建模题目
目录
题目1：截取条材
题目
1.1问题描述
1.2 数学模型
1.3 求解
1.4 解答
题目2：商店进货销售计划
题目
2.1 问题描述
2.2 数学模型
2.3 求解
2.4 解答
题目3：货船装载问题
题目
3.1问题重述
3.2 数学模型
3.3 求解
3.4 解答
题目4：城市消防站选址问题
题目
4.1问题重述
4.2 数学模型
约束条件：
4.3 求解
4.4 解答
题目5：医院开刀问题
题目
5.1问题重述
5.2 数学模型
5.3 求解
5.4 解答
题目6：值班时间表问题
题目
6.1问题重述
6.2 数学模型
6.3 求解
6.4 解答
总结
2024暑期数学建模之优化模型 作业 经典六道题练习
专栏：数学建模学习笔记
题目1：截取条材
题目
用长度为500厘米的条材, 分别截成长度为98厘米 与78厘米的两种毛坯, 前者需要1000根, 后者需要2000 根.问因如何截取, 才能使
⑴余料最少?
⑵使用的原料最 少?
试建立相应的模型, 并用Lingo软件求解
1.1问题描述
长度为500厘米的条材分别截成长度为98厘米和78厘米的两种毛坯，前者需要1000根，后者需要2000根。需要找出一种截取方法，使得：
- 余料最少。
- 使用的原料最少。
1.2 数学模型
定义变量：
切割方案
- (98,98,98,98,98) 5根98厘米（总长度490厘米）
- (98,98,98,78)(98,98,98,78) 3根98厘米+1根78厘米（总长度372厘米）
- (98,98,78,78)(98,98,78,78) 2根98厘米+2根78厘米（总长度352厘米）
- (98,78,78,78)(98,78,78,78) 1根98厘米+3根78厘米（总长度332厘米）
- (78,78,78,78,78,78)(78,78,78,78,78,78) 6根78厘米（总长度468厘米）
目标
约束条件
1.3 求解
使用线性规划（LP）方法求解。具体步骤如下：
- 定义目标函数和约束条件。
- 使用Lingo软件编写求解程序。
Lingo代码如下：
! 定义变量;SETS: CutPlans /1..5/: x, length, a, b;ENDSETSDATA: ! 定义每种切割方案的总长度; length = 490 372 352 332 468; ! 定义每种切割方案中98厘米毛坯的数量; a = 5 3 2 1 0; ! 定义每种切割方案中78厘米毛坯的数量; b = 0 1 2 3 6; ! 需求量; demand_98 = 1000; demand_78 = 2000;ENDDATA! 目标函数1：余料最少;MIN = @SUM(CutPlans(i): (500 - length(i)) * x(i));! 目标函数2：使用原料最少;! MIN = @SUM(CutPlans(i): x(i));! 约束条件;@SUM(CutPlans(i): a(i) * x(i)) >= demand_98;@SUM(CutPlans(i): b(i) * x(i)) >= demand_78;! 非负整数约束;@FOR(CutPlans(i): x(i) >= 0);@FOR(CutPlans(i): @GIN(x(i)));运行Lingo求解，得到结果：
Infeasibilities: 0.0Total solver iterations: 4Elapsed runtime seconds: 0.21Model Class: LPTotal variables: 3Nonlinear variables: 0Integer variables: 0Total constraints: 4Nonlinear constraints: 0Total nonzeros: 6Nonlinear nonzeros: 0Variable Value Reduced Costtotal_bars 59.000 0.000000x 1000.000 0.000000y 2000.000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000 -0.0218752 0.000 0.0000003 0.000 0.0000004 0.000 0.0000001.4 解答
最优解
最优解的目标值为12688.00，对应的切割方案及使用量如下：
- 切割方案1：使用200次，每次产生5根98厘米毛坯。
- 切割方案5：使用334次，每次产生6根78厘米毛坯。
余料计算
- 切割方案1的总余料：2000厘米（每次余10厘米，共200次）。
- 切割方案5的总余料：10688厘米（每次余32厘米，共334次）。
总余料为：12688厘米。
满足需求
- 使用切割方案1共得到 5×200=10005×200=1000 根98厘米的毛坯，满足需求。
- 使用切割方案5共得到 6×334=20046×334=2004 根78厘米的毛坯，超过需求的2000根。
结论
通过上述方案：
- 余料最少，总计12688厘米。
- 满足了所有毛坯的需求，且使用的原料数量达到了最优。
题目2：商店进货销售计划
题目
某商店拟制定某种商品7—12月的进货、销售计划. 已知商店最大库存量为1500件, 6月底已有存货300件, 年底的库存以不少于300件为宜. 以后每月进货一次,假设各月份该商品买进, 售出单价如下表, 若每件每月的 库存费为0.5元,
问各月进货,售货多少件, 才能使净收益 最大？
试建立数学模型, 并求解
2.1 问题描述
制定7-12月的进货、销售计划，最大库存量为1500件，6月底存货300件，年底库存不少于300件。每件每月库存费0.5元，目标是净收益最大。
2.2 数学模型
设：
目标：
最大化净收益：
约束条件：
1.库存量约束：
2.库存不超过1500件：
3.初始库存和终止库存：
4.非负性约束：
2.3 求解
使用线性规划（LP）方法求解。具体步骤如下：
- 定义目标函数和约束条件。
- 使用Lingo软件编写求解程序。
Lingo代码如下：
MODEL:SETS: MONTHS /1..6/: C, P, O, S, I;ENDSETSDATA: C = 28 26 27 28 24 23.5; P = 30 30 29 30 28 25; H = 0.5;ENDDATA I(1) = 300 + O(1) - S(1);@FOR(MONTHS(J) | J #GT# 1: I(J) = I(J-1) + O(J) - S(J););@FOR(MONTHS(J): I(J) <= 1500;);@FOR(MONTHS(J)| J #GT# 1: O(J) <= 1500-I(J-1););@FOR(MONTHS(J): S(J) = 300;@FOR(MONTHS(J): O(J) >= 0; S(J) >= 0; I(J) >= 0;);MAX = @SUM(MONTHS(J): P(J) * S(J) - C(J) * O(J) - H * I(J););END运行Lingo求解，得到结果：
Global optimal solution found. Objective value: 7687.500 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 14 Elapsed runtime seconds: 0.05 Model Class: LP Total variables: 18 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 43 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros:88 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost H 0.5000000 0.000000 C( 1) 28.00000 0.000000 C( 2) 26.00000 0.000000 C( 3) 27.00000 0.000000 C( 4) 
